如何筆算出ln2?

01-12

最好是能用高中數學知識求得，精確4,5位就可以

樓上兩位說的當然是對的，但是收斂太慢了，算到精確到4,5位要算很多項才行。

給一個收斂稍微快一點的。

$ln(1+x)=sum_{n=1}^{infty}{frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}$

$ln(1-x)=sum_{n=1}^{infty}{frac{-x^n}{n}}$

兩式相減，消掉一些項，然後得到

$ln(frac{1+x}{1-x})=sum_{n=1}^{infty}{frac{2x^{2n-1}}{2n-1}}$

帶入 $x=frac1 3$ 即可，這個收斂的截斷誤差是指數階的，算幾項就能精確到4，5位了。

不過這樣需要假設高中生理解那個級數。。有點難度。。

如果考慮一般高中生的水平，手算能用的函數恐怕僅限有理函數了。這時可以考慮認為ln(2)是1/x在[1,2]上的積分，那麼就可以按照黎曼和的方式寫出公式來，不過這個比起上面的方法就差遠了。。

高中生除了 @王箏提到的轉化成黎曼和的方式之外沒有別的辦法了。但是在大學，轉化成定積分之後有更好的方法。

1.辛普森公式：

$int_{a}^{b} f(x) , dx approx frac{b-a}{6}left[f(a) + 4fleft(frac{a+b}{2} ight)+f(b) ight]$

也就是說

$ln2=int_{1}^{2} frac{dx}{x} approx frac{1}{6} left[ 1+4 imes frac{2}{3} +frac{1}{2} ight] =frac{25}{36}$

用計算機檢驗誤差：

$ln2-25/36=-0.00129$

只有3位，怎麼辦呢？沒關係，我們可以等分區間，然後對兩側的區間分別應用辛普森公式，再加起來。

$ln2=int_{1}^{1.5}frac{dx}{x} +int_{1.5}^{2}frac{dx}{x} approx frac{1}{6} left[ 1+4 imes frac{4}{5}+frac{2}{3}+frac{2}{3}+4 imes frac{4}{7} +frac{1}{2} ight] =frac{1747}{2520}$

這次的誤差就足夠小了

2.另外，還可以直接用科特斯公式

計算，結果應該更準確。

當時在考場上做這一個問做了半個小時並且沒做出來的路過…感覺答案不是人能想出來的…詳情請參見吉林省2014年數學高考題最後一題最後一問…

我勒個擦，黎曼級數辛普森都是高中知識嘛？給樓上那些高中就會黎曼，級數以及辛普森公式的大神跪爛了...

弱渣提供一個「正常」高中中學生知識範圍內的解法，親民易懂，只需要明白導數就OK

牛頓迭代：

設個方程， $y=e^{x} -2$ ,求ln2等價於求這個方程的零點

隨便取一點A做切線，得到其與X軸的交點B，然後對B點重複上述操作就OK了

$Theta_{1}= Theta_{0} - f(Theta_{0}) / f$

$Theta_{2}= Theta_{1} - f(Theta_{1}) / f$

$Theta_{3}= Theta_{2} - f(Theta_{2}) / f$

……

1. 起始點隨便取，定義域內就OK。

2. 迭代四五次以後就會收斂，小數點後四五位的話，大概需要迭代十幾次吧。

高中化學競賽知識——ln10 = 2.303，lg2 = 0.301

後面還用我說嘛？換底啊

其實高中化學競賽也有這樣一條——ln2 = 0.693

鑒於之前的答案玩樂為主，不符合貴乎一貫的發展要求、前進方向，作為一個死理性派，看著這一坨各種泰勒展開 blahblah 給少不更事的高中生算，——怎麼可以這樣。於是祭出許多年沒用的兵器——草稿紙跟筆，大體上算了一下，感覺應該再寫出來給各位圍觀，順便 AT 各位覺得原答案沒有幫助的，瞅瞅新來的答案再判刑？

（以下演算法力求通俗易懂，覺得看不懂的請拿鹹鴨蛋扔過來，——微山湖的最好 XD）

由於 $e$ 是個該死的無理數（小數就夠煩人了），又由於，假設大家都知道換底公式，或者

$ln 2 = frac{1}{log_2 e}$

所以我們決定先去算 $log_2 e$ 了。事實上，以下方法對付以二為底的對數還是比較好用噠，——所以理論上換個底所有對數都可以這樣算了（咦似乎「發明」了一種很神(dou)奇(bi)的本領我是不是很棒 ^w^）

首先讓我們假定，大家已經知道了以下事實：

$egin{cases} sqrt{2} = 1.41421356237,\ sqrt[4]{2} = 1.189207115,\ sqrt[8]{2} = 1.090507733,\ sqrt[16]{2} = 1.04427378,\ sqrt[32]{2} = 1.02189715,\ cdots end{cases}$

如果你還不知道，戳這裡：開2次方可以手算，但開n(n&>2)次方有手算的方法嗎？ - LiTuX 的回答

然後呢，我們執行下面的演算法：

* step 0, let $a:=2$ , $k:=sqrt{2}$ , $r:=1$ , $d:=0.5$ ;
* step 1, compare $a$ and $e$ , if $|a-e|le 10^{-4}$ , finish; Otherwise, if $a<e$ , go to step 2; if $a>e$ , go to step 3;

* step 2, let $a:=a*k$ , $r:=r+d$ , $k:=sqrt{k}$ , $d:=ddiv 2;$ , go to step 1;
* step 3, let $a:=adiv k$ , $r:=r-d$ , $k:=sqrt{k}$ , $d:=ddiv 2$ , go to step 1;
finish, $r$ is now $log_2 e$ and of course $ln 2 = frac 1 r$ .

作為一個給計算機用的演算法，上面這個東西簡直簡單粗暴有(di)效，不過人這麼聰明是吧，演算法雖然這麼寫，也可以耍耍小聰明的嘛 ^w^，來大家看看我現在是怎麼算的：

先列一個 2 的依次根號迭代出來的數表備用（咳咳，我先用計算器算了，手算太慢 T T），然後：

+ $e div 2 approx 1.359$ ，接近 $sqrt{2}$ ，乘以 $sqrt{2}$ ，對應近似值 $r approx 1.5$ ;

+ $2sqrt{2} div e approx 1.04052$ ，接近 $sqrt[16]{2}$ ，除之，對應近似值 $r approx 1.4375$ ；

+ $e div (2sqrt{2} div sqrt[16]{2}) approx 1.0036$ ，接近…… $sqrt[256]{2} imes sqrt[1024]{2} imes sqrt[2048]{2}$ ，乘之，對應近似值 $r approx 1.44287109375$ ，對應 $ln 2$ 的近似值為 $0.69306260575296$ （才擦著四位！我這一口老血！！）

好吧，逗比方案簡單！！粗暴！！誰用這個方法算我喊他濕傅！

［2015.05.05-20:18 更新完］

======== 原逗比答案 =========

我來講一個「悲傷」的故事……

初中的時候，因某種原因，流行過一系列的（多功能）科學計算器，各種牌子的、橫的豎的黑的銀的 blahblah，用兩顆鋅銀電池（AG10）供電，提供常用函數計算、簡單的統計功能等……主晶元共有 36 跟引線出來，其中兩根接電源，（主要有）三根提供各種不同功能的引線（當然要跟其他線搭配），四根類似行掃描的顯示線，以及 24 根（這個數字記不太清了）類似列掃描的顯示線，其中有十一根（也記不太清了）復用做功能開關。

（別問我為什麼知道這麼詳細，當年我還記得哪根跟哪根連起來是什麼功能你信不信［此處請腦補暴漫的扶額表情］）

這種計算器呢，大部分函數啊計算啊的，是直接針對屏幕上顯示的數字執行的，於是在當年無聊作死的時候，試過各種「奇思妙想」，比如解個簡單的方程啊、找個不動點啊什麼的（後來才知道很多是他喵的迭代啊摔！）

然後有一天無聊，心說自然數倒數求和（嗯！就是高中才知道名字的調和級數！）不是據說什麼數都能算出來喵？我要不要試一試……

然後就是作死的算了半天……結果怎麼樣你們猜？

當然是他喵的越來越慢啥也看不出來撂挑子不幹了啊摔！（幸好還沒腦殘到一定要算下去［暴漫捂臉苦笑表情］）

然後轉念一想，咦要是一個用加一個用減的算，會出來個啥？（當我學到正向級數跟交錯級數的時候，瞬間覺得當年的想法帥爆了！）

於是又花了一個下午的時間在算……（來繼續猜我看到了啥 ^_^ ）

毛線啊！啥**玩意兒啊！白算了這一天……

咦等等，剛剛算的時候一會兒大一會兒小，現在前面幾位已經不變了哎（我是不是離發現什麼不遠了）

又摁了半天，前面穩定下來的幾位半天不見增長……於是靈機一動，要不把一大一小取個平均得了，應該能比較接近吧。

取完平均，盯著那個 0.693147xxx 盯了半天，沒覺得之前曾經見過……然後挨個兒試，妄圖發現些什麼，在按下 exp 指數函數的按鍵之後，感覺自己發現了新大陸，——

雖然數值不精確，但「小心求證大膽假設」之後，我認為，那個加減交錯的東西算到最後，結果應該等於 ln 2。（很多年之後，當我看著數分課本上 ln(1+x) 的展開式，無奈的笑了）

########### 分割線 ############

故事講完了，所以我是要說什麼呢？——暴力算那個級數其實也沒多費勁嘛！（尤其是如果我們截斷兩個再求平均 XD）i.e.,

2*ln 2 approx (1/1-1/2+1/3-1/4+...+1/n) + (1/1-1/2+1/3-1/4+...+1/n - 1/(n+1) )

@LiTuX 真實經歷

註：

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1. 計算器提供的隨機數（在我還以為隨機是「隨著機器」的意思時），[2nd f] + [.]，範圍是 0.000 - 0.999，我試了好幾年才知道這是個左閉右開的區間，只有 0 沒有 1；

2. 它只能算到 69 的階乘是因為裡面的科學計數法指數只能有兩位數字；

3. 我一直以為 -1 真的就是 11111111...111 直到我學了 C 語言；

4. 別懷疑，那個交錯級數我最後真的算了差不多一千多項，——當然不是一節課算完的！

5. 逗比的當年不需要解釋，我覺得如果沒搬家，當年那些折騰「計算器小型化」的手稿還能找得到（就算搬了也很有可能還隱藏在某個角落裡）；

6. 以及後來在高中的時候，設計過幾種不同的「液晶屏」顯示方案，——要麼把現在用的八塊的方式減少一些，要麼增加點兒別的什麼讓它顯示字母。

7. 當然還有，八塊液晶（除了小數點之外還剩七塊啦）顯示 26 個拉丁字母外加部分希臘字母的方案我也弄過……

（我真特么無聊［扶額］）

實際中，ln2 ≈ 0.693 是一個很常見的數值。

普通公眾應當了解，至少求半衰期要用到。

用泰勒公式展開成級數和

說段初中黑歷史

那時候學校組織我們買Casio的高級計算器，記得好像是90塊錢

有一天上數學課，突然靈感來了（shen

you），想到兩個相鄰的數，大的平方減小的平方，等於這兩個數的和！當時我就尿了，牛頓的蘋果砸我腦袋上了？！於是拿Casio擺弄了一節數學課，發現我靠沒錯啊！我tm就是天才啊，結果後來做操還煞有其事的和數學課代表討論（che dan），接著，我就非常大膽的走向老師辦公室，早已YY好初中少年驚天數學大發現名震中國。

然後我廢了一大堆話和老師闡述我的定理，他很鼓勵的拍了拍我的肩膀，不錯，可惜你不是第一個發現的。

再後來呢，我學了方差公式…

果斷泰勒公式啊，還可以估計誤差，豈不妙哉。

其實這是2014年全國新課標卷二的壓軸題的最後一問。題主赤裸裸地提出這樣一個問題，高中生裡面沒有接觸過數分的人多半難以下手。還好這是一道高考題，作為21題的第三問，前面的鋪墊出題的人已經跟你做得很好，並且第三問中也直接給出了根號2的估值區間，這裡把答題過程給大家分享一下。同時想說明，課標卷的壓軸題並不會突兀得高不可攀，前後聯繫很重要，出題老師也是很貼心噠～