為什麼物理公式的數學表述看似簡單，如 E=mc2、薛定諤方程？

01-12

因為複雜的你看不到。。

比方說標準模型，你以為的是這個樣子的，科學家隨便開開腦洞就像小孩子擺弄積木一樣的。。

然而實際上，標準模型是這樣的。。

【參考文獻：http://www.symmetrymagazine.org/article/the-deconstructed-standard-model-equation】

我就寫下 @qfzklm 提到的那個Gamma矩陣，你就會覺得形式很不簡單了。

$gamma^{mu}gamma^{ u}+gamma^{ u}gamma^{mu} =0 (mu eq u)$

${ gamma^{mu},gamma^{ u}}=gamma^{mu}gamma^{ u}+gamma^{ u}gamma^{mu} =2g^{mu u}$

$gamma^{0}=egin{pmatrix} 10 \0 -1 end{pmatrix}$ $gamma^{i}=egin{pmatrix} 0 sigma^i \ -sigma^i 0 end{pmatrix}$

其中 $sigma^{i}$ 稱為Pauli矩陣

引入 $gamma^{5}$

$gamma^{5}=gamma_5 =igamma^{1}gamma^{2}gamma^{3}=egin{pmatrix} 0 1 \ 1 0 end{pmatrix}$

除此以外還要引入Feynman記號（知乎的Latex打不出來。。。）

這樣我們才把Dirac方程寫成簡單的形式。

你說狹義相對論簡單不簡單？

我就這麼寫就行 $x^{$

你要讓我全寫出來能累死我。

一切都沒那麼簡單，

就像忘掉一個人那樣艱難。

原理往往是簡潔優美的，但是算起來就。。。薛定諤方程確實很簡潔漂亮， $mathrm{i} hbar frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t} left|psi ight>=hat{H} left|psi<br /> ight>$ 定態薛定諤方程就更簡潔了 $hat{H} left|psi ight>=E left|psi<br /> ight>$ 然而想具體算一個東西，往往要寫出在坐標表象下（或者別的什麼表象）的形式 $mathrm{i} hbar frac{partial}{partial t} Psi(t,vec{r})=-frac{hbar^2}{2m} abla^2 Psi(t,vec{r})+V(vec{r})Psi(t,vec{r})$ ，這尼瑪就已經美感大打折扣了。定態方程的坐標表象 $left(-frac{hbar^2}{2m} abla^2+V(vec{r}) ight) psi(vec{r})=Epsi(vec{r})$ 。話說統治微觀非相對論性現象的方程就這麼幾項經很令人驚訝了。

但是我不但想知道方程，還想解啊，讓我們算一個氫原子吧。代入定態薛定諤方程 $-frac{hbar^2}{2m}left[ frac{1}{r^2}frac{partial}{partial r}left( r^2frac{partialpsi}{partial r} ight)+frac{1}{r^2 sin heta}frac{partial}{partial heta}left( sin heta frac{partialpsi}{partial heta} ight)+frac{1}{r^2}frac{partial^2psi}{partialphi^2} ight] -frac{e^2}{4pi epsilon_0 r}psi=Epsi$ ，解是 $psi_{nlm}(r, heta,phi)=sqrt{left(frac{m_e e^2}{2npiepsilon_0hbar^2} ight)^3frac{left(n-l-1 ight)!}{2nleft[left(n+l ight)! ight]^3}}left(frac{m_e e^2}{2npi epsilon_0 hbar^2} r ight)^l L_{n-l-1}^{2l+1}left(frac{m_e e^2}{2npi epsilon_0 hbar^2} r ight) Y_l^m left( heta,phi ight)$ 。額，好歹氫原子還是能嚴格求解的，多電子原子連解析解都沒有。。

好好好，我不算氫原子了，算個簡單的，重力場里地面附近垂直下落的電子總得很簡單吧，放在牛頓力學裡不就是個勻加速嘛~我就這樣想過，然後特么光速打臉，發現方程一樣不好解，解是艾里函數。。。好歹氫原子的能級還是簡單的初等函數，這次經典力學裡簡單的勻加速的問題，量子力學裡連能級都只有靠數值解了。。。

畢竟世界是複雜的啊。。。

emmmmmm……最高票的兩個大神已經講的很好了。我這裡就斗膽補充一點大神們不屑於講的東西。

i.薛定諤方程

不會用手機打公式只能拍照。上式是普遍的薛定諤方程，下式是定態薛定諤方程，U（x,y,z）後的括弧表示U由什麼東西表示，可以略去。自然單位制中約化普朗克常量（就是那個h上面有一橫的東西）等於1，諸位可以自己寫一下，這可以說是相當簡潔了。 @dalao.周 @snickers 你們要的薛定諤方程。

ii.反對幾個人的觀點（僅僅是觀點不同，歡迎討論）

1. @曇花再現 @BlueJacket

首先，大統一理論或者說物理學終極理論的存在性從未被證明，我們沒有任何理由認為它一定存在。事實上只是幾乎所有的物理學家願意相信它存在而已。

其次，如果它存在，那很自然的想法就是有一個存在創造了這個世界，一般人稱之為「上帝」。同樣的，只是絕大多數人相信這個所謂「上帝」的東西造這個世界的時候，使用的基本理論「應該」是有簡潔的表述，並且可以被人類理解的。但我的觀點同上，實際情況不一定是這樣的。

2. @Ginger Lee

就是稍微提一下，大角度單擺周期可以寫成橢圓積分的形式，不一定要展開，所以也可以說它是簡潔的。

3. @趙梓涵

彈力公式並不是本質的，它歸根到底是由物質性質決定的一個經驗公式，從這個角度看，它複雜是一個必然的結果。我覺得題主並不是想知道「經驗公式為什麼簡單」，而是「物理學基礎理論的公式為什麼簡單」。

iii.懟一個人

就是那個匿名用戶

這個人的回答極度反智，所謂「所有的公式方程都有簡潔形式」，我問你，憑什麼？為什麼？你有證明嗎？

「騙騙你們這些門外漢」，說的好像你很懂一樣啊？你最多也就高中課內水準！從高中再往上各種複雜到不行的公式就一個接一個的出，你厲害，你倒是來化簡一個啊！我就掛一個史瓦西度規，太難的怕你不會，你化出來我看看！這些東西都是前輩大佬們儘力化簡過的，你以為物理學家不喜歡簡潔？還是你打算拋棄良心說這個東西足夠簡潔？

還有，敢發這種回答，不敢取消匿名？我就實名懟你了，來啊！所有參考資料均來源於《朗道理論物理學教程》。薛定諤方程在第三卷《量子力學（非相對論理論）》第六版P46，史瓦西度規在第二卷《場論》第八版P336。如有錯漏，歡迎指正。

Because definitions and notations hide all dirty work

我們之所以看不見黑暗，是因為有人把黑暗擋在我們看不見的地方。

首先我們假設這個理論形式真的很簡單，就用麥克斯韋方程組舉例子吧，即便你用外微分形式寫麥氏方程，即便你用纖維叢理解電磁場，在面對靜電邊值問題時，還不得乖乖滾回去解泊松方程(〒_〒)

因為科普書的編輯水平有限複雜公式不會打，所以你看得見的都很簡潔...

每隔三個月問一次這種問題有意思嗎...

先問是不是再問為什麼的知乎精神哪裡去了...

這個問題趁早重定向吧...

貴乎搜索功能做不好的話辦個比賽讓各位大佬來幫你們寫吧...

數分的老師告誡我們你們一定也要把大學物理學好，不然以後你做出來的東西沒有一個直觀的體現，那是很痛苦的事情

這些方程也是數學家們追求的簡潔表達的直觀體現而已

我們印象中的地圖：

對我們有點用處的地圖

我敢打賭題主一定沒學過量子場論。

因為這樣比較好裝逼，呸，交流。

你知道展開打LaTex公式有多累嗎。

因為這些表述簡單的公式要麼是高度近似的結果，要麼抽象程度很高。

在物理學裡面既有複雜的公式也會有簡單的公式。這些簡單的公式有些是為了應用或其它處理方便而做了高度近似，例如單擺的周期公式，抑或彈簧的Hooke定律；其它的往往是在對各種複雜情況進行層層抽象以後獲得的高度抽象的形式，例如Lagrangian Dynamics中的Lagrange方程。

進一步說明，同時也反對一下所有聲稱簡潔性是「複雜性被符號掩蓋的結果」的回答。這些回答不能說錯，只能說講得太不認真。

我們承認存在利用符號將複雜性掩蓋的情況，而且不少。但是這種方法導致的簡潔公式基本上不會有太多理論意義，或者應該說這是一種trivial的情況。與此同時，我們也見到過non-trivial的情況，這些公式往往具有極高的理論意義，並為人們所熟知。

例如，Lagrange方程就是其中比較典型的。一般來說，場論的Lagrange方程有如下形式

$frac{partialmathcal{L}}{partialvarphi} - partial_mufrac{partialmathcal{L}}{partialpartial_muvarphi} = 0$

這個方程有簡潔形式的原因在於Lagrangian是一個高度抽象的量，可以涵蓋各種理論的特徵。從一般的電動力學到廣義相對論再到量子場論，Lagrange方程都可以適用。也就是說，Lagrange方程可以被理解為是這些理論的抽象。

而讓理論產生複雜性的原因，根據其它答主的回答，主要有兩個

將理論運用於某一具體場景，降低了理論的抽象程度
需要對理論中的某些抽象量進行展開，方便計算

對於第一種情況，顯然，如果將Lagrangian顯式地寫出，那麼原則上可以通過構造複雜的表達式讓得出的運動方程變得複雜。然而這時，這個複雜的方程已經不再是Lagrange方程，而是退化成了某一具體理論的運動方程。

對於第二種情況，很多時候展開一些抽象量會破壞理論顯式的對稱性。例如，我們可以將標準模型的Lagrangian中的所有covariant derivative展開，那麼得到的結果如其它答主所述，可能要一頁紙才能寫得下。然而這一操作卻破壞了標準模型Lagrangian的顯式規範對稱性。

另一個例子是廣義相對論中的Riemann curvature ${R_{abc}}^d$ 。廣義相對論中的引力場方程形式如下

$R_{ab} - frac{1}{2}Rg_{ab} = kappa T_{ab}$

這是簡潔的。然而許多人[1]將 $R_{ab} = {R_{acb}}^c$ 中的 Riemann curvature ${R_{abc}}^d$ 展開為

${R_{abc}}^d = {varGamma^d}_{ac,b} - {varGamma^d}_{bc,a} + {varGamma^e}_{ca} - {varGamma^d}_{be} - {varGamma^e}_{cb} - {varGamma^d}_{ae}$

以此來說明其實形式是複雜的。然而實際上，上述公式除了在計算中（或者是展開為分量形式）以外，嚴格來說是不準確的。理由是上式左側是幾何量，具有坐標不變性，而右側則是坐標系依賴的。嚴格來說Riemann curvature應該由下式定義

$[ abla_a, abla_b]omega_c = {R_{abc}}^domega_d$

可以看到在這種抽象形式下，依然是簡潔的。

綜上所述，如果你認為一些物理學公式不夠簡潔，那麼主要有一下兩種情況

你討論的理論抽象性不足
你使用了不恰當的數學定義

高度抽象的、定義良好的物理公式應當是簡潔的，是literally簡潔的。並沒有掩蓋任何複雜性。以及，抽象量未必需要可計算才能存在，例如Riemann curvature即使不知道展開式，只要有定義式就足以支撐抽象的引力場方程。

[1] 為什麼著名的方程大多很簡潔？

如果一切都像看起來那麼簡單，那些提出如此簡單公式的牛頓，麥克斯韋，愛因斯坦，玻爾茲曼，薛定諤，海森堡，狄拉克就不會有如此巨大的聲望。

標準模型其實並不簡單，所以才會有那麼長的公式，所以所有物理學家都知道標準模型並非「真的標準」。

因此物理學家們現在研究「萬物理論」，希望把那麼長的公式寫得更簡單一點。在更簡單的同時還要概括更多的物理現象，比如把引力與其他三種力統一起來，把力與物質統一起來。

物理學就是如此定義的，用簡單的公式概括複雜的物理現象就是它與生俱來的目標，所以不必驚訝。

如果你拿一個巨長的公式告訴人們，這個可以描述什麼什麼物理現象，恐怕多數人會覺得你那個根本不是物理規律，或者即便會覺得那個是個物理規律，也只是個暫時的近似的規律，一定存在一個更為簡單的公式來代替她。

總之:如果一切都是簡單易懂的，那麼物理學就不會存在；如果一切都是複雜的毫無規律的，那麼物理學也不會存在。

正是那些看似複雜的物理現象背後蘊含了簡單的但難以輕易發覺的物理定律，這才有了物理學這一門學科。

複雜的你記不住而已

簡單背後有一堆定義和前提，當你理解公式以後就知道並不是那麼簡單了

之所以題主認為物理公式看起來形式如此簡單，主要是因為現行中學階段，其中一個原因是許多公式都是在理想化的條件下得到的，忽略了大量的非線性效應與更複雜的情況。

一個經典的案例是單擺的周期公式 $T = 2pi sqrtfrac{l }{g }$ ，該公式只適用於擺角 $heta <5°$ 時，如果擺角大於 5° 的話，非線性效應則不可忽略，不能被近似看作簡諧振動，此時周期公式則相當複雜：

$T=4int_{0}^{ heta_0}frac{l{ m d} heta }{sqrt{2gl(cos{ heta}-cos{ heta_0})}}$ 。

Taylor 展開後，可得

$T = 2pi sqrtfrac{l} {g} ( 1+ frac{1}{16} heta_0^2 + frac{11}{3,072} heta_0^4 + frac{173}{737,280} heta_0^6 + frac{22,931}{1,321,205,760} heta_0^8 + frac{1,319,183}{951,268,147,200} heta_0^{10} + frac{233,526,463}{2,009,078,326,886,400} heta_0^{12} +...)$ 。

還有一個極其類似的案例，就是胡克定律 $F =-kx$ 只在彈性限度內，才滿足回復力與伸長量之間簡單的正比關係。

提到狹義相對論，許多人都會提到愛因斯坦質能方程 $E=mc^{2}$ ，它是狹義相對論的直接推論，以簡潔、優美著稱。然而，許多人不知道的是質能方程的推導利用了複雜的微積分：

題主的疑惑還有另外一個原因，就是這些公式大多是在某一具體現象中通過實驗歸納總結的，很多時候並不能反映更深層次的普適原理。一個經典的案例就是利用拉格朗日量描述的「粒子物理標準模型」：

標準模型成功地描述了迄今為止我們在實驗室里觀察到的所有基本粒子和相互作用（引力除外）。

還有一個很經典的案例，就是麥克斯韋方程組：

它在電動力學中的地位相當於牛頓第二定律在牛頓力學中的地位，它成功地描述了經典電磁現象的普適規律。理論上，我們在中學與大學物理電磁學中能夠遇到的幾乎所有實驗定律（定義除外）都可以從這四個微積分等式中推導出來。包括電路中常用的歐姆定律也可以利用 Maxwell 方程組完美地得到。

另外，熱力學中的一個著名公式――理想氣體狀態方程 $pV=nRT$ ，除了摩爾氣體常數 R 之外有 4 個變數，以形式簡單、變數多、適用範圍廣而著稱。然而，在統計物理中也不過是一個推論，其中也利用了大量抽象、複雜的物理公式與數學推導。

請問你會寫薛定諤方程嗎？

因為複雜的不適合作為科普啊，課本上學的基本都是「真空中的球形雞」這種簡化到極致的模型了，這種情況下複雜方程的很多項都被忽略了

是時候上這張圖了: