手機遊戲Euclidea的2.8關3E解法如何證明？

這一關要求是過圓上的黃點，作圓的切線。題目已知圓、圓心、圓上黃點(圓是中間那個細線小圓)。

3E解法過程：如圖。

第一步，在圓0上任意找異於黃點的任意一點(紅點)為圓心過黃點作圓1，交圓0於點(上)。

第二步，以黃點為圓心，過點(上)為作圓2，交圓1於點(下)。

第三步，作過黃點和點(下)的直線，即為圓0的切線。

我想問的是，為什麼用這種方法作出的線是切線？

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首先，增加輔助線 A－O1 與圓 O2 交於B點，線 B－O2 與圓 O2 交於 C 點，如圖：

可見三角形 ABC 為圓 O2 的內接三角形，並且圓心在 BC 上，故此 ∠BAC 為直角。O1 在 AB 上，可得 AC 為圓 O1 的切線。

接下來，問題就是：A-O1-B 和 B-O2-C 只是方便分析的輔助線，真正作圖時不畫出來的，是通過以 A 點為圓心，AD 為半徑作一個圓，與圓 O2 相交來得到C點的。為什麼說這個 C 點 與 BO2 連線得到的 C 點是同一個點？

看這張圖：

∠AO2C = 2 ∠ABO2， ∠ABO2 = ∠BAO2 = 1/2 ∠DO2A，

可得：∠DO2A = ∠AO2C，即 DA＝AC

故此，以A為圓心，AD為半徑作圓可得到C點。

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如圖，圓的位置略有區別但同理

∠DAB=2∠DCB=2∠BCE, 又∠DAB=∠CAB ∠CAB=2∠BCECE為切線（弦切角逆定理）

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畫了兩條輔助線:

應該可以看出來了吧。

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