解數學分析證明題找不到思路怎麼辦？

01-12

正在複習數學分析，定理、概念基本能夠看懂，但是解決證明題時感覺無從下手

多讀證明。理解書上或者例題中是如何證明的。很多教科書中的證明實際上都略過了思考的過程。一般你要注意幾個問題：

1. 定義是用來刻畫數學對象的。換句話說，定義提供了證明「證明某個對象是什麼」的途徑。所以如果你看到某個結論需要證明某個對象是什麼，那麼你就首先要看他在證明過程中是否採用定義中所敘述的描述方式。

例如： $mathbb{R}$ 上的連續函數 $f(x)=x^2$ 在 $mathbb{R}$ 上不是一致連續的。

那麼你首先得知道「一致連續」的描述，從而推知「不一致連續」如何描述。

2. 有時候通過定義來證明比較複雜。那麼，你就要看有哪些結論是直接和定義相關的。例如，證明收斂性時會用到的各種判據。

例如：要證明某個級數一致收斂。

從柯西準則出發估計很困難，但是可以簡單地使用Weierstrass 判別法或者Abel, Dirichlet的判別法。當然，這些定理的使用也是有條件的，你要先驗證條件。

3. 如果需要證明的東西不是通過直接驗證可得到的話，那麼就要構造一些特殊的形式來轉化問題。

構造性證明確實比較困難。不過如果一般的課後習題或者考試的話，用的都是常見的方法。這些肯定都包含在書本的範圍內。

4. 不要忘了反證法。有些感覺很顯然的，沒有什麼可下手的結論，可以通過反證法來增加可採用的工具。

例如：Bolzano定理。 $f$ 是閉區間 $[a,b]$ 上的連續函數，且 $f(a)f(b)<0$ ，則有 $xiin(a,b)$ 使得 $f(xi)=0$ 。

這是很直觀的結論，乍看沒有什麼可操作的。但是通過反證法，我們可以採取劃分區間的策略來構造一個閉區間套。然後用閉區間套定理來進行反證。你可以參考：徐森林等人著的《數學分析（第一冊）》。

也就是說，反證法通過假設一個相反的事實，把原來難以證明的結論，轉化為一個容易實現的矛盾。

最後，證明的方法有很多，很難概括全面。但是我覺得數學證明光靠閱讀是不行的（至少對於我這樣的人而言）必須自己寫，把每一個細節都補上，一句話一句話的展開。所以書中說「容易驗證」，或者「易知」的地方都要自己補全。書中說使用了哪個結論，你一定要清楚，這個結論的適用範圍並自己驗證。如果細緻地做好每一步，你會慢慢有感覺的。

對於那些講刷吉米多維奇的同學表示不贊同。在複習考研的過程中，你有大把的時間複習專業課，我感覺看些經典的題目就好，刷題肯定的，但絕對沒有他們說的那麼誇張。我們北航教材的數分習題指導個人感覺收穫頗豐。你也應該找個適合自己的

先不要做題！

把書「真正」弄懂，書上的定理不看書自己要能夠證明，並且最好有發散思維，看到定理自己還能夠想到什麼，嘗試自己去總結一些規律。

然後再去做題，半小時不會做，放在一邊，記住題目，然後吃飯想想，走路想想，睡覺想想，能不能運用定理去解決。

真的不會，看答案，然後舉一反三，套著這個解法再去做同一類題。

休息一會兒，繼續。

知乎首答。我想還需要補充一些例子。評論區請大家暢所欲言。

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通過直觀和圖像去理解數學分析並不困難，困難通常在於如何利用直觀去組織出嚴密的證明。

因此形式邏輯的相應規則必須得非常熟悉，這方面參看卓里奇的第一章

此外需要熟悉定義的嚴格表述，至少得能不看書完全默寫出來。

並不是說定義的直觀理解不重要，但絕對絕對不能把直觀理解和嚴格定義給混淆起來。

在做到以上要求的前提下，以下的原則應該有助於證明的思考和組織

1、永遠要明確待證命題和已知結論

2、當待證命題由全稱量詞起頭的時候，不管三七二十一先將這一變數取定再說
3、當待證明題由存在量詞起頭的時候，就應該去確認已知結論了
4、分析中幾乎所有證明的實質步驟，都在於證明存在命題的步驟

為了解釋這些空泛的原則，我們考慮下面這個非常簡單的例子

設 $S$ 為非空上有界的實數集， $s=sup S$ ，證明 $forall epsilon >0, exists xin S, x > s-epsilon$

首先明確待證命題，

$forall epsilon >0, exists xin S, x > s-epsilon$

這個命題由全稱變數起頭，那麼我們任意取定一個 $epsilon>0$ ，於是我們的待證命題更新為

$exists xin S, x > s-epsilon$

為了找到這個x，我們需要明確我們知道什麼

注意我們假定了 $s=sup S$ 為 $S$ 的上確界，這意味著什麼？

直觀地說，上確界 $s$ 為 $S$ 的最小上界，從而任何比 $s$ 小的數字都不會是上界（＊）

特別地， $s-epsilon$ 不是 $S$ 的上界

於是我們可以找到 $S$ 中的某個元素 $x$ ，使得 $x>s-epsilon$ 。

以上的思考流程，稍加組織就成為嚴格的證明。

證明：取定任意的 $epsilon>0$ ，由於 $s=sup S$ 為 $S$ 的最小上界，而 $s-epsilon<s$ ，於是 $s-epsilon$ 不是 $S$ 的上界，從而存在 $xin S, x>s-epsilon$ 。證畢。

註記：在這裡我們要找的 $x$ ，是通過 $s-epsilon$ 不是 $S$ 的上界這一「已知結論」而找出來的。可以說這是這個證明的核心部分。如果把證明縮減成一句話，那麼這句話就是：對任意取定的 $epsilon>0$ ， $s-epsilon$ 不是上界。

對註記的註記：當然這並不是上確界的直接定義。在分析的教材裡面，比較常見的上確界定義如下：

1、s是S的上界；

2、任意S的上界都大於或等於s

其中的第二條如果換種說法的話

2"、若b為S的上界，則 $bgeq s$

於是由逆否命題為真的規則，我們就有

2""、若b&所以我們才知道，任何比s小的數都不能為S的上界。

像這類型的分析，是需要對定義非常熟悉（你至少得能把1、2條給寫出來），同時對形式邏輯的規則非常熟悉（2到2"以及2"到2""的轉換），才有可能做得出來的。在這個基礎上，才不會卡在上面思考流程裡面的（＊）步驟。單純「看懂」了概念，定理和證明，是不足以進行以上的分析的。

如果真心想要學好數學分析，請先從定義的背講和卓里奇的第一章開始。

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舉個複雜的例子：利用確界原理直接證明Cauchy準則（不經過聚點定理或者單調有界原理）

首先明確待證命題：

若 $(a_n)$ 是Cauchy序列，證明 $(a_n)$ 收斂。

換言之，取定Cauchy序列 $(a_n)$ ，我們要證明

$exists a in mathbb{R}, forall epsilon >0, exists N>0, forall n geq N, |a_n-a|<epsilon$

待證的命題現在由存在量詞起頭，所以就是看已知的時候了：

我們知道確界原理：任意非空的上有界集合都有上確界——這是個存在性論斷，所以可以考慮用確界原理定出來我們要找的實數a。

怎麼定呢？直接看還看不出來。但是我們還有條件沒有使用： $(a_n)$ 是Cauchy序列，這意味著

$forall epsilon >0, exists N > 0, forall m,n geq N, |a_m - a_n|<epsilon$

既然我們要用確界原理去找極限，那麼首要的一點就是得有非空上有界的集合。

Cauchy序列全體元素所構成的集合是非空有界的（這點很容易證明），然而從 $(-1)^n/n$ 的例子可以看到，這個集合比我們想要的大了很多。

對於極限來說，我們更關心的n充分大時的 $a_n$ ，前面的有限項都不重要。

－－－－－－－－－－－－－歪樓－－－－－－－－－－－－－－－－－－

令 $B_n = {a_n, a_{n+1}, ...}$ ,則 $B_1 supseteq B_2 supseteq cdots supseteq B_n supseteq B_{n+1} supseteq cdots$

特別地，因為 $B_1$ 有界，所以所有的 $B_n$ 都有界。

於是確界原理允許我們定義 $u_n = sup B_n, d_n = inf B_n$

由於 $B_n$ 之間的包含關係，我們知道 $u_1 geq u_2 geq cdots geq u_n geq u_{n+1} geq cdots, v_1 leq v_2 leq cdots leq v_n leq v_{n+1} leq cdots$

要繼續下去當然可以，然而這樣做實質上我們要證明單調有界原理。這樣玩就沒意思了。

－－－－－－－－－－－－歪樓結束－－－－－－－－－－－－－－－－－

（熟悉上下極限的同學不可避免地會和答主一樣歪樓的）

怎樣去構造這個合適的集合呢？仍然考慮 $(-1)^n/n$ 的例子：0在這個例子裡面有什麼特殊之處呢？

注意到稍微比0小一點的數字，都會比所有充分大的 $a_n$ 來得小。

將以上的印象一般化，我們可以令

$A = {alpha in mathbb{R}: exists N in mathbb{N}, forall n geq N, a_n geq alpha}$

換個說法的話，我們把歪樓部分的所有 $B_n$ （ $ngeq N$ ）的下界拿出來構成一個集合。

由於 $(a_n)$ 有界，於是 $A$ 有上界。確界原理告訴我們， $sup A$ 存在。

我們猜想這應該就是我們要找的極限

令 $a = sup A$ ，於是待證命題更新為

$forall epsilon > 0, exists N in mathbb{N}, forall n geq N, a - epsilon < a_n < a + epsilon$

取定 $epsilon >0$ ，於是待證命題更新為

$exists N in mathbb{N}, forall n geq N, a - epsilon < a_n < a + epsilon$

先睡覺去，明天再繼續

要抓住數學分析學的本質，定義就是本質，其實數學分析中大部分的證明題，把已知和所證翻譯成定義形式，有時候再加上萬能的柯西收斂原理，基本就證出來了。

另外，如果正著推任意比較難搞，就反過來用反證法舉存在，推矛盾。

先看問題，找個問題相關的定理或者推論，然後在找能讓定理成立的條件。

「先從簡單的開始練，

而且要自己寫，先不要看答案。

還有就是老師講過的證明題，

一定要弄清楚，

每一步，都要很清楚。

注意平時積累，總結一些常用的方法。」

——來自神?秘的帝都?力量。

數學系學渣處女答剛學數分一竅不通，數分書所有定理所有證明所有例題抄了三遍做了兩遍，最後所有定理可以獨立證明。當時就是這麼學的，一步一步過來的，不太刷題，後期定理能做到不翻書知道怎麼用之後做的裴禮文。（親測有效，考前住院一月，考前三天出院數分90+）

你確定你都看懂了嗎，如果書都看懂了的話做題應該是比較簡單的事。推薦北大的數學分析講義，講得比較數學，中科大的那兩本還是太工科了。我覺得大學數學跟高中不一樣，高中數學靠做題，大學數學主要還是靠理解，多看書多思考，少刷題。

數學分析找不到思路說明定義沒有弄清楚，大量定理的證明過程和定理之間的相互關係沒有搞懂，自然就沒辦法做出證明過程。

一個定義下面會有很多定理，改變一個條件就會改變定理的適應性。有些定理給出的條件是充分必要的，有些只是充分條件；這個一定要區分開來而且要明白為什麼某些定理可逆而某些不可以。

推導過程起碼要做三遍才能透徹理解。實數理論裡面的定理更是要循環證明才會發現其中的環環相扣。

我學數學我可恥，我比宅男還費紙。就是這樣，快樂無比。

先把書上的定義定理和性質之間的邏輯關係弄清楚，不要著急做題。當你把他們之間的邏輯弄清楚後，還確保你會自己證明一些書上基本的定理，這些定理的證明過程中已經蘊含了基礎題目的證明思想，會證定理就可以搞定大部分題目，比如，有些題目只是把定義套一套然後往想要證的方向轉化，有的則是定理的直接應用。另外，對於書中的例題，都是很好的練手材料，不要看解題先自己做，看看哪一步不會做，再看答案。最後，有些題目確實很難的，可以先放棄，比如卓里奇。

總之，最基本的是把書搞懂，你真的搞懂搞熟練後，大部分題目就跟easy了

補充一點資料，陶哲軒的《實分析》附錄有一點兒數理邏輯的東西，對了解、理解證明過程很有幫助，看完@羅旻傑的答案（寫的太好了！感謝！！）給我的感覺是，陶後面的數理邏輯基礎是指南針，而@羅旻傑的答案是路上的紅綠燈………刷刷周民強吧，題目很有啟發性

刷題千遍，其意自現。

我的方法就是看看看證明，每一步都努力的理解為什麼要這麼做，可能一遍看不懂，就放一放，看看後面的，要記得前面有的證明沒有弄懂，然後再返回來看可能就明白啦～然而我的數分我真是...

看答案，記下來，過兩天再看一遍。。。

其實我覺得數學分析（尤其是一元部分）最核心的問題就是「估計」，判斷一個極限存不存在是估計尾項是否充分接近（cauchy收斂準則），證明一個極限等式是估計誤差能不能充分小，對於可導的函數，利用導數可以做函數值的估計（中值定理，泰勒展開）。一個好的估計通常可以解決一大批問題，例如大家都知道的數項級數收斂的狄利克雷判別法，阿貝爾判別法，其核心就是一個阿貝爾求和公式，這是乘積和的變形估計的基本手段;相應的廣義積分里這兩個判別法依賴的是定積分的第二中值定理（兩函數乘積積分的變形）作為估計手段。當然還有經典的插項，經常一個估計式拆成兩到三個估計式「分而治之」，這裡經典的例子就是一致收斂的連續函數列，其極限函數也連續的證明，值得注意的是這裡還經常涉及一致性的問題，用於「一致」地控制某些誤差。題主可以從這個角度重新審視書上定理的證明，希望可以幫到題主

看著例題，學他的套路，先是死記，以後再慢慢的融會貫通

數學專業學渣怒答！！！！

把有題目中詞語的各種定理整理成一段通順且步驟清晰前後不打臉的一段話，最後寫上「綜上，得證」，前面再寫上「證明：」，搞定～～～

先看一次過程，過一個禮拜左右自己去試試寫出來，寫不出來的時候停止的地方自己對自己問一問上一步為什麼看看能不能找到某些聯繫，要是找不到，看看答案，然後自己去分析為什麼

首先各書上各定理的證明思路要牢記於心.刷點吉米多維奇，只做書後習題是很不系統完全不夠的....然後就能下筆如有神

不要刷全部的吉米了，吉米的題目相似度太高，尤其是有著大量的計算性質的題目，建議做做裴禮文吧，證明題選材好，難度排列適當

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