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純律、十二平均律和五度相生律是如何產生的？

01-12

音律更近乎一個數學問題。

音律要解決的是音階的確定問題。音組都是以「純八度」（倍頻）作為周期。給定一個基準頻率（音高）F_0，頻率區間 [F_0, 2F_0] 即對應純八度。所以問題就約化為：通過一組規則映射出一個頻率區間 [F_0, 2F_0] 內的其他頻率。

一個一般的音律可以表示成：

F(n_1, n_2, cdots) = g(n_1,n_2,cdots) F_0,qquad n_iinmathbb{Z}

不同的映射函數g(n_i)對應不同的律制，由「參數」n_1,,n_2,cdots等來參數化（非常類似原子能級所對應的量子數）。如上所述，只需要確定一個純八度，即滿足1leq g(n_1,cdots) leq 2內的參數取值即可。

十二平均律、五度相生律、純律都是這個一般的音律映射關係的特殊形式。

三種律制：

  • 十二平均律（單參數n）

    g(n)=mu^{n/N} ,qquad mu=2,,N=12,quad ninmathbb{Z}

    十二平均律只有一個單參數n，n取遍所有整數就給出了十二平均律中的所有音高。比如，n從1取到12就給出一個純八度中的十二個音高。這裡N=12所以叫「十二」平均律。
  • 五度相生律（雙參數m,n）

    g(m,n) = mu^{m} u^{n} ,qquad mu=2, u=3, quad m,nin mathbb{Z}
  • 純律（三參數m,n,l）

    g(m,n,l) = mu^{m} u^{n} lambda^{l} ,qquad mu=2, u=3,lambda=5,quad m,n,lin mathbb{Z}

關於參數：

  • 這三種律制都有一個共同的參數mu=2。其對應一個簡單的比例關係 2:1，即「倍頻」，意義是就是「純八度」。在十二平均律中只有這一個參數。

  • 五度相生律引入了第二個比例關係 3:2，對應「純五度」。

    相應地，需要一個新的參數 u=3。所謂「五度相生」，本質上是用兩種比例關係2:1和3:2來生成更多的比例，從而劃分音階。
  • 純律是又引入第三種比例關係 5:4，對應「大三度」。

    當然在 3:2 和 5:4 之間還有一個比例 4:3，但這個比例不是獨立的，因為 4:3 = (2:1) imes (2:3)

    相應地，純律需要引入第三個參數lambda =5。

當然，也可以不用2,,3,,5作為參數，而用比如frac{3}{2},, frac{5}{4}等做參數。但是用2,3,5是最簡單的不可約形式。

在十二平均律中，相鄰半音之間的頻率關係是2^{1/12}倍，除了純八度的倍頻音，其他的音的頻率關係都不是整數比例關係，或者說不是有理數。這樣在樂器製作與調音時就會遇到困難。更易操作的音階序列是五度相生律，即自然音階序列。同時，似乎有理數的音高聽上去也更為和諧。

五度相生律：

下面以「五度相生律」為例，說明音階是怎麼具體定下來的（即參數m,n具體怎麼取）：

五度相生律有兩個參數(m,n)，都取整數，即對應(m,n)-平面上的「整數格點」。

五度相生律中g(m,n) = 2^{m} 3^{n}，在一個純八度內劃分音階，需要確定滿足1leq 2^{m} 3^{n} leq 2 的(m,n)整數取值。畫在(m,n)-平面上，即是下圖中淡紅色區域內的點：

上圖中紅線斜率為-2/3，同在一條紅線上的音高即是「純五度」關係。可見，7音音階包含兩組純五度音。

原則上這個淡紅區域是無限長，也就是說有無限多種(m,n)的取法。但是實際操作中，總是在原點附近取值。結果就是，在原點附近，正好存在7個整數格點，如上圖中的紅點所示。這就是五度相生律中的7音音階。加上基準音高八度（上圖中的綠點）一共8個音對應的坐標和音高列表如下：

egin{tabular}{c|c|c} hline $(m,n)$ $F/F_{0}equiv2^{m}3^{n}$ abularnewline hline $c^{1}$ $(0,0)$ 1 abularnewline hline $d^{1}$ $(-3,2)$ 9/8 abularnewline hline $e^{1}$ $(-6,4)$ 81/64 abularnewline hline $f^{1}$ $(2,-1)$ 4/3 abularnewline hline $g^{1}$ $(-1,1)$ 3/2 abularnewline hline $a^{1}$ $(-4,3)$ 27/16 abularnewline hline $b^{1}$ $(-7,5)$ 243/128 abularnewline hline $c^{2}$ $(1,0)$ 2 abularnewline hline end{tabular}

音高對應的坐標之間的「相生」關係，可由兩個矢量生成：

  • 純五度：m{v} = (-3,2)

  • 純四度：m{q} = (2,-1)

如前所述，有兩組純五度關係，一組由c^1生成，一組由f^1生成，兩組之間分別差純四度。坐標關係如下：

egin{eqnarray*} c^{1} = (0,0),\ d^{1} = c^{1}+m{v},\ e^{1} = c^{1}+2m{v},\ \ f^{1} = c^1 +m{q} ,\ g^{1} = f^{1}+m{v},\ a^{1} = f^{1}+2m{v},\ b^{1} = f^{1}+3m{v}. end{eqnarray*}

將一個純八度劃分完畢，即可以生成其他周期的音階。比如一個音高對應坐標是(m,n)，則比其高八度的音對應坐標是(m+1,n)。於是，只需要將上圖中的點往右平移1個格點，即得到高八度的音階，如下圖。

同樣，同在一條紅線上的音為純五度關係。

低八度的音階依此類推。

要得到包含半音的「12音音階」，則只需要將(m,n)的取值範圍稍稍擴大。如下圖：

各個音高對應的坐標之間的相生關係，可如前得到。

為何是「十二」平均律：

之所以採用「十二」平均律而不是諸如「十一」平均律、「十五」平均律，是因為：「十二」平均律是單參數律制里，對「五度相生律」擬合最好的。之所以要擬合或者模擬五度相生律，是因為五度相生律的頻率比都是有理數，聽起來更和諧。

下圖展示了「五度相生律」和「十二平均律」的12個全音階音高和音名的關係曲線，可見兩者驚人地重合。

如果是「非十二」的「XX平均律」，則音高如下：

上圖中，黑色虛線是「五度相生律」在一個純八度內的音高。其他分別是各種「XX平均律」的音高。再次看出，「十二平均律」同「五度相生律」符合得最好。

下文節選自巴赫的《十二平均律曲集》介紹及下載，文中講述了律制的發展，通俗易懂，給我這個樂盲提供了很大幫助。

————————————————以下正文—————————————————

　　「律」，即「音律」（intonation），指為了使音樂規範化，人們有意選擇的一組高低不同的音符所組成的體系，以及這些音符之間的相互關係。比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，這7個音符就組成了一組音律。研究音律的學問叫做「律學」。也就是研究為什麼要選擇do、re、mi……這7個音（當然也可以選擇其它音）作為規範、這些被當成「標尺」的音是怎麼產生的、以及它們之間到底是什麼關係的學問。

　　對於任何民族來說，只要他們有著豐富的音樂體驗，只要他們想積累起關於音樂的知識，遲早都會遇到關於律學的問題。令人驚訝的是，古今不同民族，雖然各自鍾愛的音樂形式可謂萬紫千紅、百花爭艷，彼此也沒有互相借鑒，但大家的律學的基礎概念卻出奇地相似。這也許是音樂本身超文化、超地域的魅力所致吧。


（BTW：現代人學習的do、re、mi、fa、so、la、si，這些好像沒有意義的單詞，其實都是中世紀時西方教會中很流行的一些拉丁文聖詠（chant）的首音節。這些聖詠是西方現代音樂的源頭。）

　　學過高中物理的都知道，聲音的本質是空氣的振動。而空氣的振動是以波的形式傳播的，也就是所謂的聲波。所有的波（包括聲波、電磁波等等）都有三個最本質的特性：頻率／波長、振幅、相位。對於聲音來說，聲波的頻率（聲學中一般不考慮波長）決定了這個聲音有多「高」，聲波的振幅決定了這個聲音有多「響」，而人耳對於聲波的相位不敏感，所以研究音樂時一般不考慮聲波的相位問題。

　　律學當然不考慮聲音有多「響」，所以律學研究的重點就是聲波的頻率。一般來說，人耳能聽到的聲波頻率範圍是20HZ（每秒振動20次）到20000HZ（每秒振動20000次）之間。聲波的頻率越大（每秒振動的次數越多），聽起來就越「高」。頻率低於20HZ的叫「次聲波」，高於20000HZ的叫「超聲波」。

（BTW：人耳能分辨的最小頻率差是2HZ。舉例而言就是，人能聽出100HZ和102HZ的聲音是不同的，但聽不出100HZ和101HZ 的聲音有什麼不同。另外，人耳在高音區的分辨能力迅速下降，原因見後。）

　　需要特別指出的是，人耳對於聲波的頻率是指數敏感的。打比方說，100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……這些 聲音，人聽起來並不覺得它們是「等距離」的，而是覺得越到後面，各個音之間的「距離」越近。100HZ、200HZ、400HZ、800HZ……這些聲音，人聽起來才覺得是「等距離」的（為什麼會這樣我也不清楚）。換句話說，某一組聲音，如果它們的頻率是嚴格地按照×1、×2、×4、×8……，即按2n的規律排列的話，它們聽起來才是一個「等差音高序列」。

　　由於人耳對於頻率的指數敏感，上面提到的「×2就意味著等距離」的關係是音樂中最基本的關係。用音樂術語來說，×2就是一個「八度音程」（octave）。前面提到的do、re、mi中的do，以及so、la、si後面的那個高音do，這兩個do之間就是八度音程的關係。也就是說，高音do的頻率是do的兩倍。同樣的，re和高音re之間也是八度音程的關係，高音re的頻率是re的兩倍。而高音do上面的那個更高音的do，其頻率就是do的4倍。也可以說，它們之間隔了兩個「八度音程」。顯然，一個音的所有「八度音程」都是它的「諧波」，但不是它的所有「諧波」都是自己的「八度音程」。

　　很自然，用do、re、mi寫的歌，如果換用高音do、高音re、高音mi來寫，聽眾只會覺得音變高了，旋律本身不會有變化。這種等效性，其實就是「等差音高序列」的直接結果。

　　「八度音程」的重要性，世界各地的人們都發現了。比如我國浙江的河姆渡遺址，曾經出土了一管距今9000年的笛子（是用鶴的腿骨做的），它能演奏8個音符，其中就包含了一個八度音程。當然這個八度音程不會是do到高音do，因為只要是一個音的頻率是另一個的兩倍，它們就是八度音程的關係，和具體某一個音有多高沒有關係。

　　明白了八度音程的重要性，下面來介紹在一個八度音程之內，還有那些音是重要的。這其實是律學的中心問題。也就是說，如果某一個音的頻率是F，那麼我們要尋找F和2F之間還有那些重要的頻率。

　　如果大家有學習弦樂器（比如吉它、古琴、小提琴）的經驗的話，都明白它們能發聲是因為琴弦的振動。而琴弦的振動是和琴弦的長度有關係的。如果在一根弦振動的時候，用手指按住弦的中點，即讓原來全部振動的弦，變成兩根以1/2長度振動的弦，我們會聽到一個比較高的音。這個音和原來的音之間就是八度音程的關係。因為在物理上，弦的振動頻率和其長度是成反比的。

　　由於弦樂器是世界各地發展得最早的樂器種類之一，所以這種現象古人早已熟悉。他們自然會想：如果八度音程的2:1的關係在弦樂器上用這麼簡單一按中點的方式就能實現，那麼試試按其它的位置會怎麼樣呢？數學上2:1是最簡單的比例關係了，簡單性僅次於它的就是3:1。那麼，我們如果按住弦的1/3點，會怎麼樣呢？其結果是弦發出了兩個高一些的音。一個音的頻率是原來的3倍（因為弦長變成了原來的1/3），另一個音是原來的3/2倍（因為弦長變成了原來的2/3）。這兩個音彼此也是八度音程的關係（因為它們彼此的弦長比是2:1）。這樣，在我們要尋找的F～2F的範圍內，出現了第一個重要的頻率，即3/2F。（那個3F的頻率正好處於下一個八度，即2F～4F中的同樣位置。）

　　接著再試，數學上簡單性僅次於3:1的是4:1，我們試試按弦的1/4點會怎樣？又出現了兩個音。一個音的頻率是原來的4倍（因為弦長變成了原來的1/4），這和原來的音（術語叫「主音」）是兩個八度音程的關係，可以不去管它。另一個音的頻率是主音的4/3倍（因為弦長是原來的3/4）。現在我們又得到了一個重要的頻率，4/3F。

　　同一根弦，在不同的情況下振動，可以發出很多頻率的聲音。在聽覺上，與主音F最和諧的就是3/2F和4/3F（除了主音的各個八度之外）。這個現象也被很多民族分別發現了。比如最早從數學上研究弦的振動問題的古希臘哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前6世紀）。我國先秦時期的《管子·地員篇》、《呂氏春秋·音律篇》也記載了所謂「三分損益律」。具體說來是取一段弦，「三分損一」，即均分弦為三段，舍一留二，便得到3/2F。如果「三分益一」，即弦均分三段後再加一段，便得到4/3F。

　　得到這兩個頻率之後，是否繼續找1/5點、1/6點等等繼續試下去呢？不行，因為聽覺上這些音與主音的和諧程度遠不及3/2F、4/3F。實際上4/3F已經比3/2F的和諧程度要低不少了。古人於是換了一種方法。與主音F最和諧的3/2F已經找到了，他們轉而找3/2F的3/2F，即與最和諧的那個音最和諧的音，這樣就得到了(3/2)^2 F即9/4 F。可是這已經超出了2F的範圍，進入了下一個八度。沒關係，不是有「等差音高序列」嗎？在下一個八度中的音，在這一個八度中當然有與它等價的一個音，於是把9/4 F的頻率減半，便得到了9/8 F。

　　接著把這個過程循環一遍，找3/2的3次方，於是就有了27/8 F，這也在下一個八度中，再次頻率減半，得到了27/16 F。

　　就這樣一直循環找下去嗎？不行，因為這樣循環下去會沒完沒了的。我們最理想的情況是某一次循環之後，會得到主音的某一個八度，這樣就算是「回到」了主音上，不用繼續找下去了。可是(3/2)^n，只要n是自然數，其結果都不會是整數，更不用說是2的某次方。律學所有的麻煩就此開始。

　　數學上不可能的事，只能從數學上想辦法。古人的對策就是「取近似值」。他們注意到(3/2)^5≈7.59，和2^3＝8很接近，於是決定這個音就是他們要找的最後一個音，比這個音再高一點就是主音的第三個八度了。這樣，從主音F開始，我們只需把「按3/2比例尋找最和諧音」這個過程循環5次，得到了5個音，加上主音和4/3
F，一共是7個音。這就是為什麼音律上要取do、re、mi等等7個音符而不是6個音符或者8個音符的原因。

　　這7個音符的頻率，從小到大分別是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。

　　如果這裡的F是do，那麼9/8F就是re、81/64F就是mi……，這7個頻率組成了7聲音階。這7個音都有各自正式的名字，在西方音樂術語中，它們分別被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下屬音（subdominant）、屬音（dominant）、下中音（submediant）、導音（leading tone）。其中和主音關係最密切的是第5個「屬音」so和第4個「下屬音」fa，原因前面已經說過了，因為它們和主音的和諧程度分別是第一高和第二高的。由於這個音律主要是從「屬音」so即3/2F推導出來的，而3/2這個比例在西方音樂術語中叫「純五度」，所以這種音律叫做「五度相生律」。西方最早提出「五度相生律」的是古希臘的畢達哥拉斯（所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning），東方是《管子》一書的作者（不一定是管仲本人）。我國歷代的各種音律，大部分也都是從「三分損益律」發展出來的，也可以認為它們都是「五度相生律」。

　　仔細看上面「五度相生律」7聲音階的頻率，可以發現它們彼此的關係很簡單：do～re、re～mi、fa～so、so～la、la～si 之間的頻率比都是9:8，這個比例被稱為全音（tone）；mi～fa、si～do 之間的頻率比都是256:243，這個比例被稱為半音（semitone）。

　　「五度相生律」產生的7聲音階，自誕生之日起就不斷被批評。原因之一就是它太複雜了。前面說過，如果按住弦的1/5點或者1/6點，得到的音已經和主音不怎麼和諧了，現在居然出現了81/64和243/128這樣的比例，這不會太好聽吧？於是有人開始對這7個音的頻率做點調整，於是就出現了「純律」（just
intonation）。

　　「純律」的重點是讓各個音盡量與主音和諧起來，也就是說讓各個音和主音的頻率比盡量簡單。「純律」的發明人是古希臘學者塔壬同（今義大利南部的塔蘭托城）的亞理斯托森努斯（Aristoxenus of Tarentum）。（東方似乎沒有人獨立提出「純律」的概念。）此人是亞理士多德的學生，約生活在公元前3世紀。他的學說的重點就是要靠耳朵，而不是靠數學來主導音樂。他的書籍現在留下來的只有殘篇，不過可以證實的是他最先提出了所謂「自然音階」。

　　自然音階也有7個音，但和「五度相生律」的7聲音階有不小差別。7個自然音階的頻率分別是：F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。確實簡單多了吧？也確實好聽多了。這麼簡單的比例，就是「純律」。

　　可以看出「純律」不光用到了3/2的比例，還用到了5/4的比例。新的7個頻率中和原來不同的就是5/4F、5/3（＝5/4×4/3）F、15/8（＝5/4×3/2）F。

　　雖然「純律」的7聲音階比「五度相生律」的7聲音階要好聽，數學上也簡單，但它本身也有很大的問題。雖然各個音和主音的比例變簡單了，但各音之間的關係變複雜了。原來「五度相生律」7聲音階之間只有「全音」和「半音」2種比例關係，現在則出現了3種：9:8（被叫做「大全音」，major tone，就是原來的「全音」）、10:9（被叫做「小全音」，minor tone）、16:15（新的「半音」）。各位把自然音階的頻率互相除一下就能得到這個結果。更進一步說，如果比較自然音階中的re和fa，其頻率比是27/32，這也不怎麼簡單，也不怎麼好聽呢！所以說「純律」對「五度相生律」的修正是不徹底的。事實上，「純律」遠沒有「五度相生律」流行。

　　對於「五度相生律」的另一種修正是從另一個方向展開的。還記得為什麼要取7個音符嗎？是因為(3/2)^5≈7.59，和2^3＝8很接近。可這畢竟是近似值，而不是完全相等。在一個八度之內，這麼小的差距也許沒什麼，但是如果樂器的音域跨越了好幾個八度，那麼這種近似就顯得不怎麼好了。於是人們開始尋找更好的近似值。

　　通過計算，古人發現(3/2)^12≈129.7，和2^7＝128很接近，於是他們把「五度相生律」中「按3/2比例尋找最和諧音」的循環過程重複12次，便認為已經到達了主音的第7個八度。再加上原來的主音和4/3F，現在就有了12個音符。

　　注意，現在的「規範」音階不是do、re、mi……等7個音符了，而是12個音符。這種經過修改的「五度相生律」推出的12聲音階，其頻率分別是：F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。

　　和前面的「五度相生律」的7聲音階對比一下，可以發現原來的7個音都還在，只是多了5個，分別插在它們之間。用正式的音樂術語稱呼原來的7個音符，分別是C、D、E、F、G、A、B。新多出來的5個音符於是被叫做C#（讀做「升C」）、D#、F#、G#、A#。12音階現在不能用do、re、mi的叫法了，應該被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相鄰兩個音符的頻率互相除一下，就會發現它們之間的比例只有兩種：256:243（就是原來的「半音」，也叫做「自然半音」），2187:2048（這被叫做「變化半音」）。

　　也就是說，這12個音符幾乎可以說又構成了一個「等差音高序列」。它們之間的「距離」幾乎是相等的。（當然，如果相鄰兩個音符之間的比例只有一種的話，就是嚴格的「距離」相等了。）原來的7聲音階中，C～D、D～E、F～G、G～A、A～B之間都相隔一個「全音」，現在則認為它們之間相隔了兩個「半音」。這也就是「全」、「半」這種叫法的根據。

　　既然C#被認為是從C「升」了半音得到的，那麼C#也可以被認為是從D「降」了半音得到的，所以C#和Db（讀做「降D」）就被認為是等價的。事實上，5個新加入的音符也可以被寫做：Db、Eb、Gb、Ab、Bb。

　　這種12聲音階在音樂界的地位，我只用舉一個例子就能說明了。鋼琴上的所有白鍵對應的就是原來7聲音階中的C、D……B，所有的黑鍵對應的就是12聲音階中新加入的C#、Eb……Bb。

　　從7聲音階發展到12聲音階的做法，在西方和東方都出現得很早。《管子》中實際上已經提出了12聲音階，後來的中國音律也大多是以「五度相生律」的12聲音階為主。畢達哥拉斯學派也有提出這12聲音階的。不過西方要到中世紀晚期才重新發現它們。

　　能不能把「五度相生律」的12聲音階再往前發展一下呢？可以的。12聲音階的依據就是(3/2)^12≈129.7，和2^7＝128很接近，按照這個思路，繼續找接近的值就可以了嘛。

　　還有人真地找到了，此人就是我國西漢的著名學者京房（77BC~47BC）。他發現(3/2)^53≈2.151×10^9，和2^31≈2.147×10^9也很接近，於是提出了一個53音階的新音律。要知道古人並沒有我們現在的計算器，計算這樣的高次冪問題對他們來說是相當麻煩的。

　　當然，京房的新律並沒有流行開，原因就是53個音階也太麻煩了吧！開始學音樂的時候要記住這麼多音符，誰還會有興趣哦！但是這種努力是值得肯定的，也說明12聲音階也不完美，也確實需要改進。

　　「五度相生律」的12聲音階中的主要問題是，相鄰音符的頻率比例有兩種（自然半音和變化半音），而不是一種。而且兩種半音彼此差距還不小。（2187:2048）/（256:243）≈1.014。好像差不多哦？但其實自然半音本身就是256:243≈1.053了。

　　如果12聲音階是真正的「等差音高序列」的話，每個半音就應該是相等的，各個音階就應該是「等距離」的。也就是說，真正的12聲音階可以把一個八度「等分」成12份。為什麼這麼強調「等分」、「等距離」呢？因為在音樂的發展過程中，人們越來越覺得有「轉調」的必要了。

　　所謂轉調，其實就是用不同的音高來唱同一個旋律。比方說，如果某一個人的音域是C～高音C（也就是以前的do～高音do），樂器為了給他伴奏，得在C～高音C之內彈奏旋律；如果另一個人的音域是D～高音D（也就是以前的re～高音re），樂器得在D～高音D之內彈奏旋律。可是「五度相生律」的12聲音階根本不是「等差音高序列」，人們會覺得C～高音C之內的旋律和D～高音D之內的旋律不一樣。特別是如果旋律涉及到比較多的半音，這種不和諧就會很明顯。可以說，如果現在的鋼琴是按「五度相生律」來決定各鍵的音高，那麼只要旋律中涉及到許多黑鍵，彈出來的效果就會一塌糊塗。

　　這種問題在弦樂器上比較好解決，因為弦樂器的音高是靠手指的按壓來決定的。演奏者可以根據不同的音域、旋律的要求，有意地不在規定的指位上按弦，而是偏移一點按弦，就能解決問題。可是鍵盤樂器（比如鋼琴、管風琴、羽管鍵琴等）的音高是固定的，無法臨時調整。所以在西方中世紀的音樂理論里，就規定了有些調、有些音是不能用的，有些旋律是不能寫的。而有些教堂的管風琴，為了應付可能出現的各種情況，就預先準備下許多額外的發音管。以至於有的管風琴的發音管有幾百甚至上萬根之多。這種音律規則上的缺陷，導致一方面作曲家覺得受到了限制，一方面演奏家也覺得演奏起來太麻煩。

　　問題的根源還是出在近似值上。「五度相生律」所依據的(3/2)^12畢竟和2^7並不完全相等。之所以會出現兩種半音，就是這個近似值造成的。

　　對「五度相生律」12聲音階的進一步修改，東、西方也大致遵循了相似的路線。比如東晉的何承天（370 AD~447 AD），他的做法是把(3/2)^12和2^7之間的差距分成12份，累加地分散到12個音階上，造成一個等差數列。可惜這只是一種修補工作，並沒有從根本上解決問題。西方的做法也是把(3/2)^12和2^7之間的差距分散到其它音符上。但是為了保證主音C和屬音G的3/2的比例關係（這個「純五度」是一個音階中最重要的和諧，即使是在12聲音階中也是如此），這種分散註定不是平均的，最好的結果也是12音中至少有一個「不在調上」。如果把差距全部分散到12個音階上的話，就必須破壞C和G之間的「純五度」，以及C和F之間的4/3比例（術語是「純四度」）。這樣一來，雖然方便了轉調，但代價就是音階再也沒有以前好聽了。因為一個八度之內最和諧的兩個關係――純五度和純四度――都被破壞了。

　　一直到文藝復興之前，西方音樂界通行的律法叫「平均音調律」（Meantone
temperament），就是在保證純五度和純四度盡量不受影響的前提下，把(3/2)^12和2^7之間的差距盡量分配到12個音上去。這種折衷只是一種無可奈何的妥協，大家其實都在等待新的音律出現。

　　終於還是有人想到了徹底的解決辦法。不就是在一個八度內均分12份嗎？直接就把2:1這個比例關係開12次方不就行了？也就是說，真正的半音比例應該是2^(1/12)。如果12音階中第一個音的頻率是F，那麼第二個音的頻率就是2^(1/12) F，第三個音就是2^(2/12) F，第四個音是2^(3/12) F，……，第十二個是2^(11/12) F，第十三個就是2^(12/12) F，就是2F，正好是F的八度。

　　這是「轉調」問題的完全解決。有了這個新的音律，從任何一個音彈出的旋律可以複製到任何一個其它的音高上，而對旋律不產生影響。西方巴洛克音樂中，復調音樂對於多重聲部的偏愛，有了這個新音律之後，可以說不再有任何障礙了。後來的古典主義音樂，也間接地受益匪淺。可以說沒有這個新的音律的話，後來古典主義者、浪漫主義者對於各種音樂調性的探索都是不可能的。

這種新的音律就叫「十二平均律」。首先發明它的是一位中國人，叫朱載堉（yù）。他是明朝的一位皇室後代，生於1536年，逝世於1611年。他用珠算開方的辦法（珠算開12次方，難度可想而知），首次計算出了十二平均律的正確半音比例，其成就見於所著的《律學新書》一書。很可惜，他的發明，和中國古代其它一些偉大的發明一樣，被淹沒在歷史的塵埃之中了，很少被後人所知。

　　西方人提出「十二平均律」，大約比朱載堉晚50年左右。不過很快就傳播、流行開來了。主要原因是當時西方音樂界對於解決轉調問題的迫切要求。當然，反對「十二平均律」的聲音也不少。主要的反對依據就是「十二平均律」破壞了純五度和純四度。不過這種破壞程度並不十分明顯。

「十二平均律」的12聲音階的頻率（近似值）分別是：F（C）、1.059F（C#／Db）、1.122F（D）、1.189F（D#／Eb）、1.260F（E）、1.335F（F）、1.414F（F#／Gb）、1.498F（G）、1.587F（G#／Ab）、1.682F（A）、1.782F（A#／Bb）、1.888F（B）。

　　注意，現在所有的半音都一樣了，都是2^(1/12)，即1.059。以前的自然半音和變化半音的區別沒有了。

　　另外，原來「五度相生律」的12音階中，C和G的比例是3/2（即純五度），現在「十二平均律」的12音階中，C和G的比例是1.498，和純五度所要求的3/2（1.5）非常接近。原來「五度相生律」的12音階中，C和F的比例是4/3（即純四度），現在「十二平均律」的12音階中，C和F的比例是1.335，和純四度所要求的4/3（1.333）也非常接近。所以「十二平均律」基本上保留了「五度相生律」最重要的特性。又加上它完美地解決了轉調問題，所以後來「十二平均律」基本上取代了「五度相生律」的統治地位。現在的鋼琴就是按「十二平均律」來確定各鍵音高的。現在學生們學習的do、re、mi也是按「十二平均律」修改過的7聲音階。現在如果想聽「五度相生律」或者「純律」的do、re、mi，已經很不容易了。

　　BTW：現在鋼琴的音高標準是按「中央C」（即通常的do）右邊的第五個白鍵（按術語說是A4）的頻率來定的。這個A鍵的頻率被確定為440HZ。確定了它，鋼琴上其它鍵的頻率都可以按「十二平均律」類推得到。不過在某些國家（比如東歐），也有把這個鍵的頻率定為444HZ的。歷史上，這個A鍵的標準曾經有過很多次變化。比如在1759年，英國劍橋的「三一學院」（Trinity College Cambridge）的管風琴的這個A鍵，就曾經被定在309HZ。可以想像在這裡聽到的旋律和我們現在聽到的旋律該有怎樣大的差別。研究古代音樂家的作品的時候，對於當時音高標準的研究也是很重要的一部分。

　　關於「十二平均律」，最後要提的是所謂「大調」、「小調」的問題。自從「五度相生律」提出12音階以來，12音階和原來的7音階之間的關係一直就被人們所研究。也就是說，在原來的7音階之外，現在人們可以在12音階中選取其它的7個音來作為音樂的「標尺」了。這可以給作曲家們以更大的創作自由。

　　以C～高音C的八度為例，如果我們選擇原來的7音階，即C、D、E、F、G、A、B，這就被稱為「大調」（major scale），又因為這個大調的主音是C，所以被稱為「C大調」。而如果我們選擇C、D、D#（Eb）、F、G、G#（Ab）、A#（Bb），這就被稱為「c小調」（C minor scale）。用小寫c的原因是表示這是小調。

　　大調和小調的區別就在於，大調和小調里各音之間的「距離感」不同，以它們為基礎來作曲，給聽眾的感覺也不相同。這就讓作曲家有了用音樂表現不同情緒的機會。

　　西方中世紀的音樂理論里，曾經提出了8種不同的方法在12音中選7個音作為基準，其中就包含了我們現在談的大調和小調。當時的音樂理論給予這8種調性（mode）以不同的感情色彩，比如有的被認為是「悲傷的」，有的被認為是「快樂的」，有的被認為是「朝氣蓬勃的」等等。這8種調性中有一些現在已經很少用了，現在最流行的是大調和小調這兩種。

　　由於「十二平均律」允許隨意轉調，這就讓作曲家可以更為地自由創作。以前由於各音之間的半音「不等距」的問題，有些調被認為不能寫作的，現在也可以毫無阻礙的進行創作了。

在問律制是怎麼產生的之前，首先要搞清楚為什麼要有律制。

律制是用來尋找相互和諧的頻率組合的。

並不是任何頻率的聲音配合在一起都會好聽。事實上，如果你任意找兩個不同頻率的聲源一起播放的話，十有八九會形成噪音。

那麼，什麼樣的聲音可以互相配合，形成美妙的音樂呢？有人專門做過實驗，研究當兩個不同頻率的聲音同時播放時，人的主觀感受。結果如下：

圖 1頻率之比與和諧程度的關係(圖片來源於網路,侵刪)

研究表明，人對頻率組合的接受程度與這兩個頻率的比值有關。圖中縱坐標是人對兩種聲音「和諧感」的評價。可以看出，最為和諧的頻率比值是1:1（廢話），其次是1:2，然後是2:3，3:5等。而且似乎有一個規律，即：頻率之比越簡單，兩個聲音就越和諧。（即最小整數比原則，該原則最早由畢達哥拉斯提出。）

值得指出的是，「和諧」並不等於好聽。很多音樂家抱怨頻率為比值1:1或者1:2的聲音配合起來比較「空洞」，他們更喜歡2:3或者3:5的比值，這些聲音組合相對來說更加「飽滿」。有些音樂家會在樂曲中故意使用一些更加「不和諧」的音符，以達到一種特殊的效果。但是這種「不和諧」也是有限度的。

在簡譜體系下，1和5,2和6,3和7的頻率比都是2:3.

而所謂的調式，就是一組可以互相配合的聲音頻率。作曲家在作曲之前選擇一個調式，就像足球教練在比賽前選擇一些互相配合默契的球員。球員之間互相傳球配合，就像一個調式中的各個音階各種排列組合，形成旋律。

好，現在我們有了選擇頻率的標準，即各個頻率互相配合起來要和諧。接下來，用什麼樣的方法來選擇具體頻率呢？

五度相生律

樂理學中將2:3這個比例稱為純五度，故建立在這個比例上的確定音律的方法都可以稱為五度相生律。古代世界各地基本都採用過這種方法（例如所謂的「畢達哥拉斯法」），雖然具體計算的步驟略有區別，但本質是一樣的。

根據圖一和接下來的分析，我們知道1:2和2:3是兩個非常好的頻率比。因此，以任意選取的一個基準頻率為中心，反覆應用這兩個比例，就可以推算出一系列適合相互配合的頻率。最經典的一種是我國春秋時期《管子》一書中所記載的三分損益法。

任取一根弦作為基準，然後三分損一，得到一根長度為原來三分之二的弦，就可以發出與之前那根弦發出的聲音頻率比為2:3的聲音。然後再對第二根弦三分益一，得到長度為第二根弦三分之四的弦，就可以發出與第二根弦發出的聲音頻率比為4:3的聲音（相當於先乘以二分之三，再乘以2）。如此反覆四次，就先後得到宮、徴、商、羽、角五個音。對應西方音樂體系中的C、G、D、A、E。（簡譜為1、5、2、6、3）。其中，1和5、2和6之間的頻率比都是2:3。

如果繼續進行兩次，就會得到B和F兩個音，對應簡譜的7和4，形成七聲音階。

在《呂氏春秋》一書中，將這種方法反覆進行十一次，得到十二個頻率，如圖：

圖 2將三分損益法進行十二次的結果

圖中，假設第七個頻率（即中間那個）是1，分別向兩個方向生律，為了對稱，我一共生成了13個頻率。

《呂氏春秋》還給這十二個頻率起了名字，上邊那一行的六個稱為「六律」,下面那一行的六個（我不小心多畫了一個）稱為「六呂」。黃鐘（即基準音，宮調1）與「三分益一」產生的為陽，六陽律即「律」包括「黃鐘（C）、太簇（D）、姑洗（E）、蕤賓（#F）、夷則（#G）、亡射（#A）」；用「三分損一法」產生的六陰律為「呂」，「六呂」包括「林鐘（G）、南呂（A）、應鐘（B）、大呂（#C）、夾鍾（#D）、中呂（F）」。六陰六陽，統稱十二律呂。

三分損益法進行十二次以後，發現最後生成的一個音頻率差不多是基準音的兩倍，所以之後的音就可以直接把原來的十二個音的頻率乘以二，稱為清黃鐘、清林鐘等，表示頻率加倍，用西方樂理學的術語，稱為「提高一個八度」。

但是三分損益法的問題就出在這個「差不多」上面。

表格 1三分損益法生律的過程(算了這麼多的數字，我也是夠無聊的）

表格1反映了從基準音D（2 re）開始生律的過程。藍色表示陽律（律），綠色表示陰律（呂）。陰律和陽律交錯生出，相鄰的陰律之間頻率比為8/9，相鄰的陽律之間頻率也相差8/9。而一個陽律與比它高的那個陰律頻率比為243/256，而與比它低的那個陰律的頻率比為2187/2048。

也就是說，陰律和陽律分別是兩列公比為8/9的等比數列。知道了這個規律，我們接下來就不用一遍遍的用三分損益法來推導，而是根據公比關係把剩下的音律補充上去。結果如表格1中倒數第三列「補全半音方法一」（嗯，這個名詞是我編的）所示。

而畢達哥拉斯開創的西方經典的五度相生律，採用的卻是「補全半音方法二」。當我們把三分損益法進行12次之後（見表格1），我們發現算出的音律早已跨過一個二倍音程了，但只有中間的幾個音形成了陰律陽律交錯的局面，邊緣的那些白色空格還需要好幾次三分損益才能出來，怎麼辦呢？畢達哥拉斯靈機一動，把已經算出來的那幾個音加倍或減半(運用1:2的比例），恰好可以填在沒算出來的那些空隙里，這就是「補全半音方法二」。（嗯，這段也是我編的，畢達哥拉斯到底是怎麼想的我不知道，但他的計算過程就是這樣的）

巧的是，這兩種方法算出來的結果居然非常得接近！（並不相同）

巧合的背後是數學原理。9/8的6次方約等於2，六陰六陽循環一遍，恰好可以近似保證1:2的比例。（注意右下角的那個黃鐘，它的值是1.77777……，如果給他再乘以一個8/9，恰好等於2.）

但僅僅是近似保證罷了。第一種方法嚴格地保證了2:3的比例，卻無法保證1:2的比例。第二種方法嚴格保證了1:2的比例，卻破壞了音律內部的等比關係，2:3的比例也無法全部保證。

十二平均律

三分損益法進行十一次，得到的「清黃鐘」的頻率是黃鐘的2.0284倍，並不是恰好兩倍。所以用這種方法設計的樂器在進行跨八度演奏時就會出現音程關係混亂的問題。為了保證八度倍頻關係的準確，音樂家不得不調整這十二個音的音高，把這0.284的差值分攤到各個音之間。具體的分攤方法各不相同，但是都會破壞原來這些音頻率之間的比值關係。

一種很容易想到的方法就是平均分攤。這十二個音既然是兩列等比數列，那我們就這種一下，給這十二個音選一個一樣的公比。這十二個音恰好構成一個二倍音程，所以這個公比應該選成.這就是十二平均律。

是不是很簡單的思路？

古人很早就想到了這個辦法，但是他們遇到一個問題。

這個數字到底是多大，他們算不出來。

如果你了解一點歷史，應該知道古希臘人連根號二是多少都不會算。

於是，由於數學知識的限制，十二平均律一直停留在概念上，遲遲沒有被發明出來。

直到公元1581年，明朝的一位王爺朱載堉利用算盤，算出了2的十二分之一次方約等於1.059463094359295264561826，他在著作《律學新說》中詳細介紹了計算方法和其在音律中的應用。52年之後，歐洲的Pere Marin Mersenne提出了十二平均律，並被巴赫發揚光大。雖然朱載堉最先提出十二平均律，考慮到之前葡萄牙到澳門的航線已經在1553年開通，Pere Marin Mersenne極有可能是看了朱載堉的書才得到十二平均律的公比的。但是Pere Marin Mersenne從來沒有說過自己曾經從什麼東方神秘典籍中得到啟示，所以一般西方人都只說十二平均律是Pere Marin Mersenne發明的。

十二平均律不僅嚴格的保證了1:2的比例，而且2的7/12次方等於1.498，有效地兼顧了3:2(即1.5)的比例。如果不是把二倍音程平均分成12份，而是分成11份、13份……就不能兼顧3:2的比例了。當然，有人算過，如果把二倍音程平均分成19份或者53份，也可以較好地兼顧3:2,效果如下表：

2^(7/12)

=1.498307077

2^(11/19)

=1.493758962

2^(31/53)

=1.499940903

表格 2三種不同的平均律對純五度(3:2)的近似結果

相對於五度相生律，十二平均律的優點在於每相鄰兩個音之間的距離（即頻率比）相等，所以旋律可以整體得提升或者降低幾個調，旋律內部的音程關係不變。適合於現代多聲部、立體化的交響樂。鋼琴是第一種根據十二平均律設計的樂器。

純律

純律也是對五度相生律的一種修正。它不僅保證了2:3和1:2的比例，還要保證4:5的比例。

在五度相生律中，相隔四個半音的音律頻率之比為

(8/9)^2=64/81

。這個數字非常討厭，因為它已經非常接近4:5（即64:80）了，可偏偏不是。強迫症簡直不能忍啊！

所以律學家大手一揮，把64：81改成64:80，保證了4:5的比例，這就是純律。（最早干這個事情的是亞里士多德的一個學生，叫亞里斯托森努斯Aristoxenus）為了和這個4:5的音保持9:8的關係,後面的幾個音也要跟著改，結果如下表：

五度相生律

1

9/8

81/64

4/3

3/2

27/16(81/48)

243/128

純律

1

9/8

5/4(80/64)

4/3

3/2

5/3(80/48)

15/8(240/128)

這個得從最基礎的泛音說起！咱們人耳聽的樂音都是複合音，也就是很多個聲音堆積起來的，那每個個體音就是泛音，聽的最明顯的就是基音，很多泛音個組成泛音列。就像歌唱家和普通人，同樣唱一個音，但是歌唱家的就圓滿，普通人就乾癟，這就是這個音中泛音的多少決定的。泛音列的排列有一定的規則 基本規則是這樣：基音1——泛音2——泛音3——4—— 5—— 6。。

以基音 C為例 C 高八度 C 高五度 G高四度C大三度E小三度G

聲音是由震動產生的，在震動的過程中整段震動就是基音1，在基音的1/2處發聲就是泛音2也叫2分音，以此類推，那就是說 基音咱們唱DO 那 2分音就是高八度的DO 3分音就是再高五度的.......

知道這些秘密我們就可以通過一個能掌握它震動規則的物體來定出音高，這就是律法。

五度相生律是比較古老的方法了，也叫三分損益法。顧名思義就是重點在這個「三」上。通過上面的了解我們知道2分音和3分音是純五度關係，這是這個律法的精髓，比如說，一根琴弦 的 3分之一處發出的聲音肯定是2分之一處發出的聲音的上方純五度，找出這個純五度 保留它的長度 在這個長度上再找它的3分之一處 又得到一個純五度，以此類推。就會得到以C為例 C-G-D-A-E-B-#F-#C-#G.......12個音就多出現了。因為他們都是一個「媽」生的所以在橫向的，單聲部的音樂中非常和諧。但縱向上泛音列出入太大不是很和諧。所以多聲部音樂不適合。

如果你能搞清楚五度相生律 那純律就很簡單了，就是在2分音和3分音的基礎上加入第5分音，那就是在五度相生律的基礎上 找完3分音繼續找5分音以此類推 ：C-G-E G-D-B D-A-#C 以此類推。。。12個音也可以都推算出來，他們從一個家族分離成各個部落，正好組成咱們知道3和弦，所以這種律法在縱向結合上非常和諧。

最後一個是咱們都在使用的12平均律，概念非常簡單，把上述的線段平均分成12分就可以了，沒各部分都是相等的，具體演算法就不說了，但是要記住 最早用科學方法計算出來的 咱們國家明朝的朱載堉，但咱么沒實踐，也就是說作曲家沒瞧起他，沒作品。 但是被譽為西方音樂之父的巴赫比較有遠見，直接為此律法創作了兩部鋼琴套曲《平均律鋼琴曲集》被譽為鋼琴聖經中的舊約，用此來證明12平均律的實用性，對西方音樂的發展有著重要的意義。這種律法和向上就和不自然，縱向上結合也不和諧，唯一一個好處就是能轉調！這也為鍵盤樂器的發展有著決定性的作用。

綜上所述，五度相生律 以前在亞洲比較受歡迎，因為咱們的音樂大多是單聲部的。 純律在歐洲還是被應用的很廣泛，但是現在都被12平均律打敗了。這三種是最常見的，還有人在用的。被歷史淘汰的律法還有很多。

一、五度相生律

現在有一個音，假設其頻率是1，人們發現，另一個頻率為2的音，除了聲調較高，其他方面與這個頻率是1的音非常相似。同樣的，頻率是4，頻率是8的音也有類似的性質。這種倍頻的音具有某種相似性，人們認為它們實際上是一個音的不同表現形式。
現在問題是，如何在1到2之間細化出不同的音，用以演奏。
根據實際聽感，當樂音由一系列諧波組成時，聽起來較悅耳，諧波要求頻率組成為等比數列。畢達哥拉斯學派認為，頻率比分別為2:1、3:2、4:3時聽起來最和諧。
以1.5（frac{3}{2} ）為基礎，發展出五度相生律解決1~2之間音調細分的問題。
五度相生律認為，應當將將基音的頻率依次提高frac{3}{2} 倍，這種頻率形成的音最和諧。如果這個頻率超出了1~2這個區間怎麼辦？我們知道，倍頻的音具有相似性，反之，二分之一頻率的音也具有相似性，我們讓這個高音依次除以2，使之回到1~2的區間就行了。
用數學公式表示，就是f=frac{(frac{3}{2} )^x}{2^y} ，通過調整整數x和y，使頻率落在1~2，這就是五度相生律細分1~2這段頻率的方法。
為了避免無限分下去，必須人為給定一些限制。
由於這樣一個數學巧合， frac{(frac{3}{2} )^{7}}{2^4} =1.0679approx 1(1)，這意味著，當基頻乘上7次frac{3}{2} 後，它近似會回到自身的倍頻上，這就是為什麼有7音階（因為乘了7次frac{3}{2} ）。
由於這樣一個數學巧合， frac{(frac{3}{2} )^{12}}{2^7} =1.0136approx 1(2)，這意味著，當基頻乘上12次frac{3}{2} 後，它也近似會回到自身的倍頻上，這就是為什麼有12音（因為乘了12次frac{3}{2} ）。

作出表如下：f=frac{(frac{3}{2} )^x}{2^y}

表中藍字部分即為7音階，紅框部分即為12音。

我們可以看到，人們最初構造7音階的時候，是選擇了x=-1到x=5這7個音，根據數學巧合(1)，這樣劃分近似地構成了一個循環。後來人們覺得7音階以及數學巧合(1)近似度不夠過於粗糙，使用數學巧合(2)構造12音的時候，補上了x=-2到x=-6這5個音。

為什麼一定要強調音階的劃分必須可以構造出一個循環？這是因為只有構造出一個循環，才能以音階中的任意一階為基音，通過音律生成的法則，構建出相同的音階體系。反之，如果無法構造出一個循環，則必須人為規定某一階為基音，人為規定整個音律生成的法則必須停止於某一階，這也正是傳統五度相生律和純律的問題所在。

為什麼7音階是從x=-1而不是x=0開始？這是因為1.3333為frac{4}{3} ，恰巧是畢達哥拉斯學派認為最和諧的三個聲音之一。

為什麼構造12音的時候，補上的是x=-2到x=-6這5個音而不是x=6到x=11這5個音？這是由於數學巧合(2)畢竟是約等於而不是等於，這會使得循環遞增乘frac{3}{2} 形成的音和循環遞減除frac{3}{2} 形成的音並不完全相同。為了使這種差異儘可能的小，既然7音階已經是遞乘frac{3}{2} 了，補上的5個音就遞除frac{3}{2} 。這樣就形成了五度相生律的實際規定：乘5次frac{3}{2} ，除6次frac{3}{2} ，再加上基音，共12個音。

把紅框部分的12音拿出來從小到大排序：

可以看出1.5剛好是7音階中的第5個，這就是五度相生率這個名字的來源。

二、純律

純律是對於五度相生律的一種修正。從上表可知，五度相生律得到的e頻率為1.265625，也就是frac{81}{64} ，這個數字太複雜，偏偏它又非常接近1.25也就是frac{5}{4} （frac{80}{64} ）。如果改成1.25，那麼CEG大三和弦就從1、1.265625、1.5變成了1、1.25、1.5，後者比值恰好是連續的4:5:6，比前者（64:81:94）要和諧得多。從使和弦更和諧的角度考慮，讓五度相生律中出現的所有frac{81}{64} （frac{3^4}{2^6} ）都改成frac{5}{4} ，這就是純律。

三、十二平均律

由於無論是五度相生律還是純律，其所得的12音頻率都不是等比數列，這造成了轉調困難的問題。同時，由於數學巧合是近似等於並非嚴格等於，無論是五度相生律還是純律實際上都無法構造出一個完美的音階循環。為了解決這2個問題，人們提出十二平均律，將1~2中的12個音的頻率嚴格組成一組等比數列。設公比為q，則有1 imes q^{12}=2，易得q=2^{frac{1}{12} } approx 1.06，通過這個比例可以很方便的構造12個音。

為什麼是「平均律」？是為了使構造出來的音的頻率滿足等比關係。

為什麼是「十二」？第一，五度相生律和純律都構造了12個音，新的平均律為了更好的兼容過去的音樂體系，同樣構造12個音是最好的選擇；第二，出於這樣一個數學巧合，2^{frac{7}{12} } =1.4983approx 1.5，十二平均律對於五度相生律的擬合非常之好。

正好我的專欄開始講律制了，現在主要有三種律制：

1. 五度相生律、2.純律、3.十二平均律

【課程】趣味樂理第一課（五度相生律） - 知乎專欄【課程】趣味樂理第二課（純律） - 知乎專欄【課程】趣味樂理第三課（平均律） - 知乎專欄

節選其中的段落：

十二平均律的計算方法很簡單，以某音為基礎，只需要不斷乘以2的根號12次方即可得到下一個音的頻率，如下表：

而且在十二平均律里黑鍵上的音不管是用升號還是降號表示，他們的頻率是一樣的（要注意到在五度相生律和純律中都是不一樣的）。

在十二平均律中，根據標準音定義為a1=440Hz（第一國際高度），計算c1（中央C）的頻率，精確到小數點後兩位：

這就是十二平均律推導出的中央C的頻率。

十二平均律和其他律法的差異到底有多大呢？

註：最小比值是按照五度相生律和純律的最小數字計算，其中三全音按照特殊最小值計算。

從這個表可以看出，差異是非常小的。從此開始，以十二音為基礎的音樂開始普及，經歷了巴洛克時期、古典時期、浪漫時期、印象時期、現代時期，古典音樂蓬勃發展，這些時代的作曲家給我們留下了寶貴的音樂財富，換句話說，沒有十二平均律，就沒有今天我們聽到的這麼多音樂。

十二平均律算得上是音樂與數學中的一個巧合，世界上還有很多其他的律法，比如我國漢代劃分為60個部分、宋朝劃分18部分、印度劃分22部分、阿拉伯劃分24部分等等，這些律法始終都只在小範圍內傳播，也是因為在數學上受到了限制。

文章會不斷更新。

必須承認著微的答案從數學上來說非常優雅，但需要注意到一個事實：現實中律學似乎是和音樂差得十萬八千里：搞音樂的基本上不懂律學，即便是科班畢業的音樂學碩士和博士也幾乎如此；而懂律學的又不懂音樂，或者說不懂音樂的實踐，一個明顯的例子是：著微的回答中提到「似乎有理數的音高聽上去也更為和諧」，「似乎」兩字暴露了他的和音樂實踐脫節的局限。

著微 的答案有著一些不足，主要在於只涉及了what而沒有涉及why：為什麼要有律制，律制主要要解決音樂實踐中的什麼問題，三種律制出現的背景是什麼？它們的差別在哪裡？我認為這些問題才是根本，有了對這些問題的深刻理解，你自然會能夠理解並真正學懂律學。而在不知道why的前提下，直接跳入到「數學世界」，會讓搞音樂的人（一般來說理科不是他們的強項）一頭霧水，這也應該是現在音樂教育的現狀吧。

個人不贊成用如此形式化的數學來闡述音律的問題，雖然很優雅，但方向似乎不對，正確的方嚮應該是用淺顯的道理去說明問題，記憶中，繆天瑞翻譯的《音樂的構成》是這方面最好的文章。

我得承認，我曾經嘗試做過這方面的闡述，但並不理想，也許以後有機會再嘗試嘗試吧，請參考：為什麼中國古代的音樂只有宮、商、角、徵、羽五個音，而西方是Do-Re-Mi-Fa-So-La-Ti七個音？

-- 2016-08-26 補充 --

推薦用手機上的頻譜分析軟體去學習音樂理論：

下圖是小提琴四根弦 G3/D4/A4/E5的頻譜圖。可以看出前一音的第三個泛音總是等於後一音的第二個泛音，如3 f(A4) = 2 f(E5)，也既：f(E5) = 1.5f(A4) 。

PS：頻譜分析軟體基本分析功能都是免費的，我用的這個是 iOS上的SpectrumView，安卓環境不了解，感興趣的朋友可以自己找找。

【好吧我是來吐槽高票答案的】

　　高票答案讓人看得非常爽，然後我開始懷疑我的數學能力是不是被狗(wo)吃了……

　　不過還是有問題存在。

　　首先，這跟其他所有用「純數學」方法解釋律制問題的答案有類似的毛病，就是忽略了各種律制在音樂史上的角色。——具體不知道怎麼描述，但是我覺得，脫離了這一點單純地比較各種律制，那簡直是……

　　其次，本來沒怎麼仔細看高票答案，因為我覺得：①在對律制了解不明確的情況下接受這些觀點容易被誤導；②實在太像數學課本了，有一種陌生又熟悉的久違的恐懼=_=

　　翻看評論之後，發現有知友對作者的這部分設定

音高對應的坐標之間的「相生」關係，可由兩個矢量生成：

  • 純五度：m{v} = (-3,2)

  • 純四度：m{q} = (2,-1)

如前所述，有兩組純五度關係，一組由c^1生成，一組由f^1生成，兩組之間分別差純四度。坐標關係如下：

egin{eqnarray*} c^{1} = (0,0),\ d^{1} = c^{1}+m{v},\ e^{1} = c^{1}+2m{v},\ \ f^{1} = c^1 +m{q} ,\ g^{1} = f^{1}+m{v},\ a^{1} = f^{1}+2m{v},\ b^{1} = f^{1}+3m{v}. end{eqnarray*}

主要是對 d_{1} = c_{1} + v（矢量v||粗體是怎麼弄的...）這個式子表示不解，因為根據一般的了解，由C向上五度生律的話，依次得到(C → ) G → D (→…)，評論中也明確提問到，C、D之間並非純五度，何以有一個式子將其連起來。

　　好吧我也不知道作者為什麼可以用一個式子就解決了兩步問題。翻回去看了看圖，發現圖上可以體現出C→G→D的過程的，只不過不共線，於是被簡化為一次步驟？……看到第一幅圖及前後的文字，又發現了一些問題。

　　再引用一下五度相生律答主的答案

五度相生律：

下面以「五度相生律」為例，說明音階是怎麼具體定下來的（即參數m,n具體怎麼取）：

五度相生律有兩個參數(m,n)，都取整數，即對應(m,n)-平面上的「整數格點」。

五度相生律中g(m,n) = 2^{m} 3^{n}，在一個純八度內劃分音階，需要確定滿足1leq 2^{m} 3^{n} leq 2 的(m,n)整數取值。畫在(m,n)-平面上，即是下圖中淡紅色區域內的點：

" dw="650" dh="466" w="650" data-original="&">上圖中紅線斜率為

上圖中紅線斜率為-2/3，同在一條紅線上的音高即是「純五度」關係。可見，7音音階包含兩組純五度音。

m-n圖的下面一句話，「上圖中紅線斜率為-2/3，同在一條紅線上的音高即是「純五度」關係。可見，7音音階包含兩組純五度音。」，好吧，如果沒有看錯，這兩條線分別為

　　C - D - E

　　F - G - A - B

（為了方便，用音名代替小字一組那些名字）不用多說，這必然是不對的。

　　為了找到錯誤的原因，貌似不得不看到最開始的參量聲明部分。分別有這麼幾句話

音律更近乎一個數學問題。

音律要解決的是音階的確定問題。音組都是以「純八度」（倍頻）作為周期。給定一個基準頻率（音高）F_0，頻率區間 [F_0, 2F_0] 即對應純八度。所以問題就約化為：通過一組規則映射出一個頻率區間 [F_0, 2F_0] 內的其他頻率。

以及

關於參數：

  • 這三種律制都有一個共同的參數mu=2。其對應一個簡單的比例關係 2:1，即「倍頻」，意義是就是「純八度」。在十二平均律中只有這一個參數。

考慮到上面兩部分引用中加下劃線的句子，我覺得，這樣的討論不只是忽略了各種律制在音樂史上的產生次序及應用情況，更加地失去了音樂基礎……

　　如果我的了解不差，各種律制的特點是——

　　十二平均律：把純八度分為頻率比值均等的十二等份；

　　純律：各音頻率取得最簡整數比，首先就是純八度的1：2關係；

　　五度相生律：三分損益法，由起始音通過向上推純五度的操作得到許多律，再將其作八度移動歸於一個八度之內——這樣，由一個音向上生律十一次，就可以得到五度相生律的十二個半音；但是進行第十二次生律的時候，是無法回到初始音的倍頻的。（這也就是五度相生律令人頭疼的轉調的問題，於是明朝的時候朱載堉大師才費盡心力推算出「新法密律」，被公認為世界上最早的十二平均律。）

　　【以上內容部分參考董忠良《基本樂理教程》，上海音樂出版社，2001】

　　【尚有不完善之處，容後補】

來個音盲版的解釋：

1.概念：十二平均律的起源是從五度相生律和純律不斷發展，以人類聽覺的流暢感來不斷驗證和確定的，可以之為基礎不斷升高循環的音高劃分。從結果上簡單的說，十二平均律的平分是對音高，也就是決定音高的振動頻率的劃分，劃分為12個半音。

具體而言：12個音是對「純八度」：CDEFGABC"（即do、re、mi、fa、so、la、si、do）的平均劃分，其中EF之間和BC"之間是半音，其他兩個音之間都是全音，總共12個。

2.全音和半音：

（1）一個全音由兩個半音構成；

（2）半音可以簡單的認為是你聽覺上的等差的差額，即前一個音和後一個音之間升高的部分。十二平均律是等分的，每相鄰兩個音聽起來相差相同音高（都高一個半音），從任何一個音開始彈到下一個音聽起來都是和諧升高的。

律制是方法。從人能聽到的頻率中選出某些音作為代表，在音樂中使用。

人能聽到的頻率就相當於全國人民，在音樂中使用的頻率就相當於人大代表。選出人大代表的方法就相當於律制。

學習了！難怪老師排練合唱時不建議用鋼琴對音準，因為鋼琴是十二平均律樂器，而無伴奏合唱應該以純律為基準。純律和十二平均律音高在頻率上應該只是差零點零幾的音高，恐怕人耳很難分辨吧，怎麼做到唱純律呢？

律制就是各個音的頻率比的制定方法。

五度相生律

頻率比越簡的音組成在一起，聽起來越和諧。

2：1最簡，但人耳敏感聽覺範圍內的頻率有限，用二比一確立的幾個音中間還得再找音，又因雙倍頻率的音聽起來很像，所以以兩倍頻率作為音的循環寬度。

3：1也簡，但跨度太大。

3：2次簡，以之來確定循環寬度之間的音。一個循環七個音最好，即doremifasolasi。兩倍是八度（7個音），一點五倍是五度（4個音）。

設基準音do的頻率是1，那麼高音do的頻率就是2，so的頻率是1.5，高音re的頻率是2.25，高音re的頻率除以二就是re的頻率，以此類推確定七個音。於是有

【C】1……………………………………1

【D】((3/2)2)/2……9/8……1.125

【E】((3/2)4)/4……81/64……1.265625

【F】((3/2)-1)×2……4/3……1.333333

【G】3/2………………………………1.5

【A】((3/2)3)/2……27/16……1.6875

【B】((3/2)5)/4……243/128……1.898438

為什麼是七個音而不是八個九個？

由二比一的循環音可以看出，音的遞增頻率是以二為底的指數增長。一是二的零次方，二是二的一次方，一點五是二的0.585次方，關鍵要看0到1之間分成幾份，會有一個接近0.585的值。

如下是分別分成一至十二份的結果

【一份】0-1

【二份】0-0.5-1

【三份】0-0.3333-0.6667-1

【四份】0-0.25-0.5-0.75-1

【五份】0-0.2-0.4-0.6-0.8-1

【六份】0-0.1667-0.3333-0.5-0.6667-0.8333-1

【七份】0-0.1429-0.2857-0.4286-0.5714-0.7143-0.8571-1

【八份】0-0.125-0.25-0.375-0.5-0.625-0.75-0.875-1

【九份】0-0.1111-0.2222-0.3333-0.4444-0.5556-0.6667-0.7778-0.8889-1

【十份】0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.6-0.7-0.8-0.9-1

【十一份】0-0.0909-0.1818-0.2727-0.3636-0.4545-0.5455-0.6364-0.7273-0.8182-0.9091-1

【十二份】0-0.0833-0.1667-0.25-0.3333-0.4167-0.5-0.5833-0.6667-0.75-0.8333-0.9167-1

可以看出，分成五份時，0.6比較接近0.585，所以可以用五度相生的方法制定出五個音的律，這就是我們古代的宮商角徵羽。如下，

1

((3/2)∧2)/2=9/8（1.125）

((3/2)∧4)/4=81/64（1.2656）

3/2（1.5）

((3/2)∧3)/2=27/16（1.6875）

這生出的四個音都是從高音方向算下來的，為什麼不從低音方向算？也可以，只是把算出的結果相比較，考慮頻率的漸增，選這麼四個最合適。

還可以看出，分成七份時，0.5714也很接近0.585，所以有

【C】1

【D】((3/2)∧2)/2=9/8（1.125）

【E】((3/2)∧4)/4=81/64（1.265625）

【F】((3/2)∧-1)×2=4/3（1.333333）

【G】3/2（1.5）

【A】((3/2)∧3)/2=27/16（1.6875）

【B】((3/2)∧5)/4=243/128（1.898438）

高五低一，這就是五度相生律。

繼續看，分成十二份時0.5833更接近0.585，還用五度相生的方法算出十二個音

五度相生律，高五低六如下

【C】1……………………………1

【bD】256/243……………1.053498

【D】9/8………………………1.125

【bE】32/27…………………1.185185

【E】81/64……………………1.265625

【F】4/3………………………1.333333

【bG】1024/729……………1.404664

【G】3/2…………………………1.5

【bA】128/81……………………1.508247

【A】27/16………………………1.6875

【bB】16/9………………………1.777778

【B】243/128……………………1.898438

分十三份十四份呢？當然還會有更更接近0.585的，但那樣音就太多了，聽不出來區別了。

純律

純律就是在七個音的五度相生律上做幾個改進。

2：5再次簡。（三比四和五比四不是最約比值）

純律是用5：4替換掉五度相生律中的比值較繁的音。

令5：4是大三度。

在原來最簡的三個音的基礎上，用五比四替換掉最繁的三個音。於是有

【C】1……………………………1

【D】9/8………………………1.125

【E】5/4……………………1.25?①

【F】4/3………………………1.333333

【G】3/2…………………………1.5

【A】5/3………………………1.666667?③

【B】15/8……………………1.875?②

替換掉三個較繁的比值，①是1×5/4，②是3/2×5/4，③是4/3×5/4。

十二平均律

如此，已然甚好，但前述律制都有一個共同缺點，即沒法轉調。

試想，我用純律的比值定好了doremi的頻率，按這組音寫了一首曲子，用琴彈出來挺好聽的，但如果我想讓這個曲子整體的音高高一些，怎麼辦呢？直觀來看當然是把原來定好的doremi的頻率整體乘以n，這樣這首曲子的音高就上去了。但是，我總不能因此把琴上的每根弦都旋緊一些吧，我更容易操作的是，把曲子中的do當re、re當mi來拉，這樣曲子不就整體高一個音嗎。

但這樣出來的升高後的doremi的頻率比跟原來的頻率比就不一樣了，拉出來曲子變味了，即不能轉調。

這怎麼辦？於是就有了十二平均律。

你不就十二個或者七個音嘛，幹嘛不把頻率做成等比增加的呢，那樣不就沒有轉調的問題了嗎。如下

【C】1……………………………………1

【bD】1×（12√2）……………………1.059463

【D】1×（（12√2）∧2）…………1.122462

【bE】1×（（12√2）∧3）…………1.189207

【E】1×（（12√2）∧4）…………1.259921

【F】1×（（12√2）∧5）…………1.334839

【bG】1×（（12√2）∧6）…………1.414213

【G】1×（（12√2）∧7）…………1.498306

【bA】1×（（12√2）∧8）…………1.587340

【A】1×（（12√2）∧9）…………1.681791

【bB】1×（（12√2）∧10）………1.781796

【B】1×（（12√2）∧11）…………1.887747

【C】2……………………………………2

這就是鋼琴，白鍵是七個音，加上黑鍵十二個音。中間的全都是等比值的，比值是二的根十二，轉調毫無障礙，但缺點是，任兩個音都不是簡潔的二比三、三比五。

東西方的先民，都把純八度倍頻作為周期，然後在這個周期內尋找幾個其他的因頻,

但2不是任何簡單分數的n次方就能得到的。

也許，如果追求臨近音的簡單比例，而不要求高音A和基準A的簡單兩倍關係，定調就簡單了。也許，當初的音樂大家的數學知識太少了.

比如每組都用n個音階，(n-1):n, 高音A定為基準A的(n-1):n的N次方，這樣轉調什麼的都沒啥問題了.

開眼界，好玩

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