連續乘是否是一塊合格的鋪路石？

為了解決自然數集上的tetration(乘方或指數運算之後的超四運算)向連續統的拓展問題，我們定義了度量空間上規範二元運算的左右連續乘概念。我們發現，正實數集上乘方的形式左右連續乘具有非常奇特的性質，任意點的任意鄰域中都存在發散點和收斂點。這種奇特的性質在其他研究領域中是否出現過，有沒有可能對更多的研究者有啟發？

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補充說明兩點。

首先，數學家對乘方之上的超運算(hyperoperation)的研究有著悠久的歷史，例如歐拉就研究過相關問題。到上世紀中葉，經Goodstein等人的努力，自然數集上的超運算體系基本成型。但到目前為止，如何把乘方之上的超運算，首先是tetration，推廣到連續統上，仍缺少令人滿意的方案。Stephen Wolfram曾說，tetration的連續統推廣問題與物理系統的混沌機制有著深刻的聯繫。

其次，關於用整數序列構造實數的問題，只是冪序理論關於線性連續統定理的一個小推論。事實上，我們給出了一個不同於戴德金分割的構造線性連續統的新方法。凡是戴德金分割能構造的線性連續統，我們的新方法都能做到。但反過來則不一定。例如，新方法可以在任意的非零極限序數的基礎上構造線性連續統，用戴德金分割就很難做到，有興趣的知友可以嘗試驗證。

歡迎有根據的批評指正和進一步討論。無論如何，我們的處境都比卞和以及伽羅瓦的處境要好很多，何況我們所奉獻的比他們所奉獻的要少很多。

謝邀。

大概理解題主想幹什麼事情了，就是想把乘方的迭代從自然數集延拓到正實數集上的連續映射。倒也不算民科，雖然發表單位那個「無錫市委辦公室」確實有點亮瞎眼。。最關鍵的問題是，你的論文看不了，你提供的頁面上找不到下載的地方，由此不得不對題主的專業性產生懷疑。。

xy. 先說一些個人觀點，做數學不要指望別人幫你找應用，更不要好高騖遠的想什麼奇特性質對應什麼暗物質，什麼宇宙大道理不存在的。把自己想算的東西算清楚，自然能找到應用。或者說，你算清楚本身就是很好的應用了。

回到具體的文章，中午吃飯的時候就著飯看了一下，可能比樓上學長看的稍微認真了一點點吧因為我吃飯慢。

先說大前提，把實數按照二進位展開對應到一個下有界上無界的整數子集，這當然沒問題，但是我們知道一個實數可能有兩種表達，這個做法相當於強行去掉了一種，這雖然是嚴格的，但是會導致一個很要緊的問題，我們後面再看。

再來說文章裡面的內容。題主文章明顯是沒算完的，最後試圖去碰一下定義了的乘方的高階運算，但是並沒有給出對任意的x,y，x和y的高階乘方(分左右)的表達式。我自己腦補了一下，這個是可以計算的，也可以找到合適的x和y使得結果收斂，無論左右。甚至可以給出一些具體的公式和結果和運算性質，但這些題主統統沒有做。如果我沒理解錯的話，題主似乎只算了x和1的高階乘方。這看著心裡就不舒坦了。

然後是關於這個推廣本身。我自己腦補了一下，對於位數有限的二進位數，也可以做形式的高階乘方運算，但由於定義中那個帶y(n)的數列只有有限項彼此不同，結果一定是收斂的；但若是換成給定的那種表達，按照題主的證明，右高階乘方一定發散。那我們考慮兩列趨近於y的無理數，但二進位表達分別趨於不同的二進位表達，得到的極限也是不同的。這就說明這個高階乘方是不連續的。雖然這個定義是合理的，但留下了非常非常非常強烈的人造痕迹。單就這一條，比起前面例子裡面的加法-&>乘法-&>乘方就差太多了。所以我不覺得這是個好的定義和推廣。除非題主能利用這個工具證明特別有用的結論，否則我個人不認這個叫做高階乘方。