圓周上一個點轉動n個弧度，n為一切自然數，就得到圓周上許多點，試求得到的點集的所有極限點？

01-11

卓里奇上的題目頗有點益智題的味道。

通過一點簡單的分析工具(Borel測度的Fourier級數), 能推出的結論比"稠密"還要強一些. 能夠得出的結論實際上是遍歷性.

把 $S^1$ 認同為 $mathbb{R}^1/2pimathbb{Z}$ , 不區分彼此相差 $2pi$ 的點. 固定點 $x_0in S^1$ . 設 $alpha$ 與 $pi$ 不可公度. 命 $x_n=x_0+nalpha$ ,

$F_n(x)=frac{ u_n(x)}{n}$ ,

這裡 $u_n(x)$ 是區間 $[0,x)$ 內屬於集合 ${x_1,...,x_n}$ 的點的個數. 顯然 $F_n$ 是遞增的階梯函數, 且序列 ${F_n}$ 具有一致有界的變差. 定義Borel測度 $mu_n=dF_n$ , 則它們是一族Borel概率測度. 易見

$mu_n=frac{1}{n}(delta_{x_1}+...+delta_{x_n})$ .

於是通過直接計算, 立即可算出Fourier係數

$hatmu(N)=frac{1}{n}sum_{k=1}^ne^{iN(x_0+kalpha)}.$

對於固定的非零整數 $N$ , 當 $n$ 趨於無窮時, 由於 $alpha$ 和 $pi$ 不可公度, 可見上述和式趨於零(由簡單的等比數列求和就知道了). 由於三角多項式在連續函數空間中稠密, 可見Borel測度序列 $mu_n$ 弱收斂到某個Bore概率l測度 $mu$ . 由上面的極限關係式立刻知道對所有非零整數 $N$ , $hatmu(N)=0$ . 於是 $mu$ 實際上就是Lebesgue測度. 根據弱收斂的性質即得到: 對於任何 $eta,gammain S^1$ , 都有

$u_n(eta,gamma)sim frac{|eta-gamma|n}{2pi}$

換句話說, 序列 $x_0,x_0+alpha,...,x_0+nalpha,...$ 中那些落在弧 $(eta,gamma)$ 上的點的個數占序列的比例漸近等價於弧長占圓周的比例.

我記得當時大一時做過這個作業，結論是圓上都是極限點，但是忘記當時怎麼做了/*想起來了，我當時方法是用反證法，假設某個點周圍存在鄰域沒有那些轉動的點，那麼這個鄰域逆時針旋轉1個弧度得到的鄰域也沒有那些轉動的點，最後得到整個圓上都沒有那些轉動的點，這就可笑了。需要把細節補清楚*/。下面是另證。

下面這個定理可資參考

(Hurwitz Theorem)Let $alpha$ be any irrational number . Then there exist infinitely many of rational numbers $frac{p}{q}$ such that $left|alpha-frac{p}{q} ight|<frac{1}{sqrt{5}q^2}$ . And in fact, $sqrt{5}$ is the best approximation.

回到這題，即估計

存在無窮多整數對(n,m)，使 $left|frac{n}{2pi}-m-gamma ight|<epsilon$ ,這裡 $gamma$ 是一個[0,1]間的實數， $epsilon$ 是固定的正數。方法是，先用有理數去估計 $gamma$ , 然後在Hurwitz定理裡面代 $alpha=frac{1}{2pi}$ 即可。當然要先知道 $pi$ 是無理數。