假設一個撞球有無限動力，最終是不是一定會進袋？

01-11

只是打撞球的時候突然想到如果力氣足夠大，是不是就一定能讓球進袋？
(排除垂直於邊框的方向）
看到下面pansz的回答，覺得他的表述應該比較接近吧，「給定一個檯面中間某隨機位置的理想撞球，在理想桌面上被往360度各方向隨機擊打，請問最終能進袋的幾率有多少？」

100%

首先如果這個球剛開始放的點的坐標和邊長比值是個無理數,那麼就會遍歷整個檯面,球洞取頂點鄰域,那就肯定會進洞了,

如果是有理數比值的話,除非故意打進,否則總會做周期運動.

然後眾所周知 實數中100%的數都是無理數.

也就是說隨便選個點100%是無理點,所以100%會進洞.

不進的可能性是0%,反正概率為0的事件也能發生,就算沒進我不背鍋...

-----------------------------------------------------------------------

Update:反正沒事幹,給你個模擬看看好了:

Ball2D[r_?NumericQ]:=NDSolveValue[{ x"[t]==vx[t],WhenEvent[x[t]^2==1,vx[t]-&>-vx[t]], y"[t]==vy[t],WhenEvent[y[t]^2==1,vy[t]-&>-vy[t]], x[0]==0,y[0]==0,vx[0]==1,vy[0]==r},{x[t],y[t]}, {t,0,200},DiscreteVariables-&>{vx,vy}]; {Sol1,Sol2}=Ball2D/@{7/5,Sqrt[2]}; Manipulate[GraphicsRow[ ParametricPlot[#,{t,0,[Tau]},Frame-&>True,FrameTicks-&>None, PlotRange-&>1,Axes-&>False,PlotPoints-&>500,PlotStyle-&>Thickness[0.02], Epilog-&>{PointSize[.05],Point[#/.(t-&>[Tau])]}]/@{Sol1,Sol2}], {{[Tau],11.9},0.01,198},SaveDefinitions-&>True]

左邊7/5,右邊 $sqrt 2$ ,一個有理一個無理,相差大約1%.同樣的速度擊出:

這個是混沌效應,1%的差值引起的.

左邊看上去像進洞了一樣...7/5這個值看來選的有點糟糕...

70秒後,路徑完全不一樣了.

200秒後,左邊還在固定軌道上,右邊可以叫發生了遍歷...

長方形,圓,橢圓也有類似的結論...

------------------------------------------------------------------

這個就叫無理數的遍歷性了,無理數又占實數的100%,所以就必然進洞.

Update2:大概分歧就在於鄰域和遍歷了.

給定任意點 $[({x_0},{y_0})]$ ,撞球與點的距離可以任意小

$[left| {sqrt {{{(x - {x_0})}^2} + {{(y - {y_0})}^2}} - d} ight| < varepsilon ]$

這就算"到達"了這個點.

何況現實中撞球有體積,任意小都能到達那有體積更能到達了...

PS:有空幫我算下多個撞球下的情況...

如果母球進洞算停的話.停止前進洞的球的個數期望是多少

------------------------------------------------------------------

Update 3:

模擬軟體Mathematica...這麼標準的駝峰命名看不出來...

數值模擬僅供參考,證明看下面靈劍的...

18位機械精度數值模擬...誤差反正肉眼是看不出來的...

PS:默念:概率為0也能發生,概率為1可以不發生..

PPS:大力出奇蹟,不進是因為你力不夠大...

我還以為這個問題早就被解決了呢…… @QuoraMen 不是已經畫了一張很好的圖了嗎

在這個無限大平面上有均勻格點的模型中，我們將桌的長和寬歸一化，這樣格點都在整數點上。任何一條直線可以寫成方程 $y = kx + b$ 。當x為整數的時候，如果y屬於一個非常接近於整數的小鄰域 $(n-epsilon, n+epsilon)$ ，就認為球進洞了。我們簡單一些考慮 $inf{km + b}$ ，花括弧表示取小數部分，很容易證明當k是無理數的時候，這個下界永遠為0，而k是有理數的時候下界通常不為0。這意味著只有斜率為有理數的時候才不會進洞，而有理數是個零測集。斜率和傾斜角（-π到π範圍）一一對應，或者說每個斜率對應兩個可能的方向，所以可能的方向也是個零測集，所以不進洞的概率為0，進洞的概率為1。

補個簡單的k為無理數，m為正整數時， $inf{km + b} = 0$ 的證明。我們構造一個數列 ${k_n}$ ，其中 $k_0 = {k}$ ，且其中每一項都是(0,1)中的無理數。當 $m = lceilfrac{1}{k_n} ceil$ 時，由於 $frac{1}{k_n}$ 是無理數，因此有

$m - 1 < frac{1}{k_n} < m$

$1 < mk_n < 1 + k_n$

$0 < {mk_n} < k_n$

如果 ${mk_n} le frac{k_n}{2}$ ，則令 $k_{n+1} = {m k_n}$ ；

否則，有 $1 - frac{k_n}{2} < (m-1)k_n < 1$ ，考慮 $m$ ，則

$m$

而

$-1<-lfloorfrac{1}{1 - (m-1)k_n} floor(1 - (m-1)k_n)<-1 + (1 - (m-1)k_n) < -1 + frac{k_n}{2}$

所以

${m$

令 $k_{n+1} = {m$

由數學歸納法，顯然 $k_n$ 都是(0,1)中的無理數，且 $k_{n+1} le frac{k_n}{2}$ ，因此 $lim_{n ightarrow infty} k_n = 0$ 。同時，由於每一個 $k_{n+1}$ 都可以寫成 $k_n$ 的正整數倍的小數部分，也就能進一步寫成 $k_{n-1}$ 直到 $k_0$ 的正整數倍的小數部分，因此每個 $k_n$ 都是 ${km}$ 的可能的取值，所以 $inf{km} = 0$ 。

對於 $inf {km + b}$ ，顯然任意 ${k_n m + b}$ 也是 ${km + b}$ 可能的取值，取 $m = lceil frac{1-{b}}{k_n} ceil$ ，則有 $1 + lfloor b floor le k_nm + b < 1 + lfloor b floor + k_n$ ，因此 $0 le k_n m + b < k_n$ ，所以同樣有 $inf{km + b} = 0$

簡單來說，考慮一個人以步長k在一個周長為1的圓上繞圈走，當它剛好走一圈跨過原點的時候，跨過之前跟跨過之後兩個位置至少有一個小於或等於之前步長的一半。如果是跨過之後離原點比較近，把這麼多步看成新的一步，就可以走得比之前至少密一倍；如果跨過之前離原點比較近，把跨過之前的步數看成倒著走一小步，倒著走回原點，也可以得到小於或等於之前步長一半的新步長。這樣每次都可以找到至少比之前密一倍的走法，因此可以走遍單位圓上每一個任意小的鄰域。

給@王泓卜的回答補兩個圖：

給球撞擊的那邊加裝一面鏡子，桌面看起來就是這樣，球在鏡中的像走直線，球進洞，像也進洞：

給四邊都加上鏡子，桌面看起來就是無限的平面上排滿洞，球的其中一個像始終走直線：

不讓球進任何洞就可以了。那一共有多少方向呢？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－

１。如果把洞和球都看成「點」，那有多少洞就有多少進洞線路唄：

如果把相鄰洞間的距離看成單位１，把球放在某一洞上併當成坐標原點，那所有以有理數為斜率的方向都能進洞，所有以無理數為斜率的方向都不進洞：

球可以隨意移動，進洞和不進洞線路的數目不會變。
－－－－－－－－－－－－

２。如果洞口有半徑，而球還是點：

這時進洞的方向就都從射線變成扇面了，數不清。那扇面覆蓋所有方向了嗎？問題換成@靈劍的「小人兒邁步」的解釋更容易理解：

把洞口排成高樓，球與每層虛線相撞時，都在地上留個影子。只要影子沒在洞口裡球就沒進洞：

這就像是一個小人兒穩步走在有坑的路上，問：步子邁多大才能永遠不掉坑裡？

啊不對，放錯圖了，應該是這個：

再簡化：如果把路捲成一個圓，讓所有洞口的位置重合（圓周長為１），變成一個洞口，圓周上踩出的腳印會有多密？

想一想會發現：只要步長是有理數，當小人走過足夠多步之後，腳印就會重合，之後就不再變密。因為有理數可以寫成分數 $frac{m}{n}$ （ $m$ 和 $n$ 都是整數）的形式，所以只要走 $n$ 步，就正好走了 $m$ 圈，踩到自己第一個腳印。所以圓周上的腳印最多也不會超過 $n$

個。

對應撞球的問題就是：如果以有理數斜率擊球，球在有限次撞邊後軌跡一定會重合，第一次重合前如果沒進洞，以後就沒有機會進洞了。

那如果步長是無理數呢？那無論小人走多少步，也踩不到第一個腳印，同理踩不到任何一個腳印，腳印越來越密，就相當於用越來越小的步子來走：

步子小到比坑還小時，坑就邁不過去了。所以斜率是無理數時，球就會進洞。但要注意，這裡的「有理數」「無理數」其實是球桌長寬比值的「有理數倍」、「無理數倍」。

－－－－－－－－－－－－－－－

２.1 如果有多個球：

－－－－－－－－－－－－－－－

３。如果球也不是點：

－－－－－－－－－－－－－－－

又想起另一個本質相同的問題：如果宇宙無限大，星星整齊排列，人向夜空望去，每一個方向都能看到星光嗎？

－－－－－－－－－－－－－－－

看了@靈劍和 @醬紫君的回答，解決了之前的疑問，問題本質居然是有理數的意義，真是太有意思了，以上內容有了補充，感謝兩位。

－－－－－－－－－－－－－－－

不是，可以找到無數的反例。

這其實可以轉化為平面上的直線是否過整數點的問題。由於撞球桌的長寬比為2:1，因此可以假定六個球袋的位置分別為(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,0)、(1,1)、(1,2)。撞球每次撞擊桌邊時，入射角與反射角相等（理想情形）。這時假想有另一個球桌與現有的球桌關於被撞的桌邊軸對稱。這樣，撞球撞擊桌邊後反彈的過程就可以等價為撞球按原運動直線在假想球桌上繼續運動。然後將整個平面鋪滿假想的球桌（此時球袋位置正好為所有的整數點(m,n)），於是就可以用一條直線模擬撞球運動的整個過程了。

令撞球的出發點為(x0,0)，0&<=x0&<=1（也可以是(0,y0)，一樣處理）。則撞球的運動路線即可表示為直線y=k(x-x0)。如果這條直線過任一整數點(m,n)（m,n為整數），那球最終就會進袋。反之則永遠無法進袋。

當k,x0取某些值時，直線不過任何整數點。而這樣的情況有無數種。圖中是我隨便舉的兩個例子，左圖是k=1,x0=0.1時的情形，右圖是k=2,x0=0.2時的情形。

==============================

看到 @pansz 對問題作了新的表述，我也就再多說兩句吧。

我同意 @朱晉玄說的，如果考慮袋的寬度的話，進袋概率是100%。但如果是完全理想的情況（像前面一樣把球和球袋都看作是點），進袋概率是0%。

根據前面分析的結果，運動路線可表示為y=k(x-x0)。先隨便固定一個出發點的位置，這裡估且令x0=0.1，於是y=k(x-0.1)。可以發現，當k為無理數時，永遠也找不到過直線的整數點。因而進袋概率就是0%（因為無理數集的測度為1）。

繼續分析k為有理數的情況。此時令k=p/q（p,q為整數），gcd(p,q)=1。於是直線方程可以改寫為10px-10qy=p。根據裴蜀定理 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%9D%E7%A5%96%E7%AD%89%E5%BC%8F ，gcd(10p,10q)=10gcd(p,q)=10，當且僅當p是10的倍數時，該方程有整數解，此時球能夠進袋。

雖然理想情形下進袋概率是0%，但能夠使球進袋的k有可數無窮多個（p是10的倍數就行了），而且是稠密的。因此只要考慮球袋比球寬一點的話，進袋概率就變成100%了。

如果不考慮摩擦，認為碰撞是彈性的

如果考慮袋的寬度，可以認為進袋的概率是100%或者說接近100%

但是不能認為一定會進袋

這又是一個概率論的測度的話題了...

當然不是了。你180度無窮彈射不就進不去球袋了

你這個問題可能需要這麼問：給定一個檯面中間某隨機位置的理想撞球，在理想桌面上被往360度各方向隨機擊打，請問最終能進袋的幾率有多少？

我個人認為這個幾率是 100% ，因為一個撞球 360 擊打，意味著你有無窮多個擊打方向。而通常只有有限數量的幾個擊打方向會造成循環（stevenliuyi的那幾種情況都需要球往某個特定方向擊打），這些方向的總數量有限（我粗略計算，對於任何一個特定的球在特定的位置，最多只有8個方向能夠造成循環。），而可以被擊打的總方向無限，8除以無限，結果是0。

因此，撞球永遠不進袋的概率是0，進袋的概率是1，但是，這件概率為0的事情確實會發生。

想起一個數學系的同學說過「如果過馬路的次數趨近於無窮大，那麼被車撞死的概率就趨近於1」。

所以他過馬路總喜歡走天橋_(:з」∠)_

這要看桿法了。

所謂"大力出奇蹟"…

看起來最終問題修改為了「給定一個檯面中間某隨機位置的理想撞球，在理想桌面上被往360度各方向隨機擊打，請問最終能進袋的幾率有多少？」

那麼，概率為1，不一定進。術語叫做「幾乎必然事件」

說到這裡，我也是大學之後才知道「幾乎」這個詞原來有這麼嚴謹的定義（微笑）

必然事件是指必然發生的事件

幾乎必然事件是指概率為1的事件

幾乎必然事件不是必然發生的事件

同樣的概念有幾乎不可能事件

舉個簡單的例子，從（0,1）中隨機取一個實數，結果不是0.5的概率是1，但取到0.5是一個可能的結果

╮(╯_╰)╭數學概念有時候就是這麼神奇

會，但有一個前提，就是撞球再繼續往前走。如果只是嚴格地停留在原地旋轉，那就沒戲。

我的想法比較寬泛，在理想的條件下進球和不進球都有可能。如果在有限的碰庫反彈後，白球運動軌跡可以構成迴路，那麼球將永遠不能進；否則必然可以在有限的軌跡內進庫，只是軌跡比較長而已。

泄補藥

這是我的腳趾頭想出來的反例

你聽說過大力出奇蹟嗎

如果撞球有無限動力的話，球速會非常快。

由於球速太快，對球來說周圍的一切實質上可以被認為是靜止不動的，就連空氣中的分子也是一樣——空氣分子通常以每小時數百英里的幅度來回振動，但由於球速太快，所以對撞球本身來說，它們就像是凝結在了空中一樣。

「空氣動力學」在這種情況下根本不存在。在通常情況下，空氣會從運動物體的邊緣流過，但在這枚撞球前方的空氣分子們根本沒有時間讓開道來：球直直地衝撞過來，這一撞擊是如此猛烈，以至於空氣分子中的原子們乾脆就和棒球表面的原子們合在了一起——產生了聚變。每一次這樣的撞擊都會引發一陣伽馬射線和散射粒子的爆發。

類似內容請參考果殼文章【轉載】下面，我來解釋一下：0.9倍光速的棒球丟出去，會發生什麼？ | 死理性派小組 | 果殼網科技有意思

可以設想四面都是平面鏡的一個矩形，一束光從矩形內一點發射，沒有能量損耗，都是理想狀態，這束光有沒有可能遍歷矩形內的每一點。

等大神解釋解釋。

你們還要考慮地轉偏向力

球杆瞄準球的中心點（或中心點與桌面的垂線上任意一個點），沿垂直於球桌一邊的直線擊打。

假設力氣為無窮大，並假設桌面足夠平整，則是否最終進袋取決於你瞄準的準度。

假設你瞄準中心點時候偏離了一定程度的距離，導致球產生了自旋，那麼球在碰到庫邊彈回的時候就會偏離原來的軌道。

假設你完全擊中中心，則球在檯面上呈滑行而不是滾動（也就是所謂的定桿），碰到庫邊彈回的時候仍然遵循原來的直線軌跡。

在以上模型中，有兩個關鍵點：

1. 是否擊中中心點或中心垂線。即使有微小的偏離，但只要球不產生自旋就可以。

2. 桌面是否足夠平整，庫邊是否足夠平整。如果不平整，那麼在無限次的撞擊和滑行中必然會影響球的運行軌跡。

然而這個模型（包括這個問題）的致命缺陷在於桌面的滑動摩擦力是一個不容忽視的阻力。要使球產生無限動力，施加的作用力必然足以球擊穿庫邊，或至少撞毀。這樣庫邊就不平整，前面所有假設就不成立了。

力氣足夠大都Tm打出去了