如何界定經濟學變數的周期性？

01-11

如果想看一個逐年遞增的宏觀變數是否有周期性（比如污水排放量是否隨政治五年周期而波動），有什麼技術能把cycle從trend中識別出來呢？

一般對時間序列的分析有time-domain和frequency-domain兩類，我比較喜歡frequency-domain。因為可以用 spectral analysis 直接把一個時間序列的周期分離出來，形成一組信號，包含頻率與振幅。這樣就容易繼續做對周期項的過濾，比如 Band-pass filter, HP-filter。

廣義地講filter就是一個可以改變該信號頻率和振幅的函數，BP-filter是將某一頻段的振幅調為零，HP-filter類似於一個high-pass filter，即頻率高於某個值域才會被留下。

資料在這，更具體的我就不多說了：

Estimation of Spectra

georgetown.edu 的頁面

謝邀。巧的是宏觀II正好在上business cycle的部分。可以用Hodrick-Prescott Filter。具體等下再補

抱歉pc端的文檔編輯一直有問題，所有圖片都無法顯示，換了各種瀏覽器都沒有用，誰能幫我TAT

2016/02/07更新------------------------------------------------------------------

抱歉拖了那麼久

HP Filter的本質就是濾波器，把一個變數分成兩部分，一部分是trend component，趨勢成分；另一部分是cyclical component，周期成分。

也就是 $y_{t}=y_{t}^{g}+y_{t}^{c}$ ,上標g表示growth，也就是trend，上標c表示cyclical。

那麼我們如何把這個y拆成兩部分呢？我們來看下面這個最小化問題：

$min_{y_{t}^{g} } sum_{t=1}^{T}({y_{t}-y_{t}^{g}})^2 +lambda sum_{t=1}^{T-2}{[(y_{t+2}^{g}-y_{t+1}^{g})-(y_{t+1}^{g}-y_{t}^{g})]^2}$

在這個問題裡面我們其實在進行一個權衡。

要讓第一項最小，就必須盡量讓 $y_{t}^{g}$ 接近 $y_{t}$ ，也就是說，trend要儘可能接近真實的y；

要讓第二項最小，就必須盡量讓trend的波動不太大。

所以我們得到的這個trend其實考慮了兩方面因素，（1）與真實數據的擬合程度，（2）盡量排除周期性變化干擾。

$lambda$ 是我們需要選擇的外生變數，表示在兩項之間進行權衡的權重。

當 $lambda =0$ 時，我們把最優化的所有權重都賦予了第一項，所以這個時候trend會完全和y的軌跡重合， $y_{t}=y_{t}^{g}$

當 $lambda =infty$ 時，我們把最優化的所有權重都賦予了第二項，所以這個時候我們要做的就是要讓trend的波動越小越好，所以這個時候有兩種情況， $y_{t}^{g}$ 是線性趨勢，或者 $y_{t}^{g}$ 是常數（線性趨勢的一種特殊形式）

一般來說我們對於季度數據，常用 $lambda =1600$ ，這時候我們能夠去除掉超過32個季度的周期。年度數據用100，月度數據用14400

所以當我們對這個最優化問題進行求解後，就能把cycle從trend中識別出來。

具體的最優化一階條件，我們可以用矩陣代數表示：

中間部分是和前後完全一致的。

所以我們得到 $y=Ay^{g}$ , $y^{c}=y-y_{g}=[I-A^{-1}]y$ 當具體操作的時候，matlab裡面有自帶HP Filter的命令包，所以直接用它的函數就行了。

需要補充一點的是，HP Filter只是諸多除趨勢方法里的一種，不過宏觀里研究經濟周期時比較常用（我也只是一年級，了解不深入）

另外贊同 @stupident 同學，也可以使用dummy variable進行除趨勢操作，這種操作事實上是去除了某種固定效應

前面講了很多經濟學計量方法，我講講別的。1、直接來自效用，指數效用採用複數就是周期函數。單物品常替代就是指數效用，雙物品常替代是拉普拉斯方程，有兩個解，物品a指數增長，物品b周期增長，反之亦然，效用為二者乘積。2、經濟物理模型。假設你所有觀測到的增長率都是有參考系的，從而所有的系綜變數，GDP總量，人均收入，都是含時的，我們觀測的時間是鐘慢的。經過推導可知系綜均衡值是真實時間的周期函數。系綜均衡本身有生滅過程，會自發泡沫化。

謝邀。如果假設是政治周期的話，我看過一篇周黎安的《資源錯配與政治周期》，就是直接用黨代會前/後x年的dummy做面板回歸的。拋磚引玉，等大牛來講。

瀉藥，我猜題主想問的是有關時間序列的分解的問題，這個問題題主可以參考何書元編寫的《應用時間序列分析》的第一章，策略還是很多的。我懶，具體的就不貼了。