如果不使用變分法，該怎樣導出最速降線是旋輪線？

01-11

⊙_⊙
在歐拉之前，這個問題是怎麼解決的～

這段歷史有點意思，我決定來說一說=w=

說之前先回答問題：如 @白書旭所說，在歐拉之前，數學家也是用變分思想做出來的。事實上，變分法正是起源於最速降線問題。

（後來歐拉改進了雅各布·伯努利對最速降線問題的解法，並總結為變分法。）

確實有人沒使用變分法，那就是大名鼎鼎的伽利略。

然後他做錯了。

（1638年，伽利略在《Two New Sciences》一書中，認為最速降線是圓弧。）

最速降線問題到底是啥？？

『最速降線』一詞源於希臘語，本意是『最短的時間』。

約翰·伯努利在1696年提出了這個問題，並向整個數學界發出挑戰。問題內容是：小球以怎樣的路徑從高點A滾到低點B，所花時間最短？

這個問題並沒有聽起來那麼簡單。不妨想一想，如果我們選擇最短的路徑，即直線，那麼由於坡度較小，小球加速起來就會比較慢；而如果把坡度增大，加速度大了，但路徑也會變長，所花時間也可能會增加。

所以這個問題要求我們在坡度與長度之間找一個平衡。

約翰·伯努利宣稱自己有一個漂亮的解法，但暫時不公布，看看有沒有聰明人能解出來。

他想向歐洲數學界表明，自己才是最聰明的，尤其是比哥哥雅各布·伯努利聰明。

1697年1月29日下午4點，牛頓從鑄幣廠下班回家時，在信箱里看到了約翰·伯努利寄來的信。

（此時，54歲的牛頓已經離開劍橋，把研究重心放在了神學領域。）

牛頓看到了信之後非常不爽，認為伯努利的水平遠不及自己，也配出題挑戰他？於是，他立刻開始了計算。

僅花了一個通宵，牛頓就解出了答案，次日便把答案寄給了當時的科學期刊《Philosophical Transactions》。沒有署名。

約翰·伯努利自己花了兩周時間才解出這個問題，真是裝逼遇到祖師爺……

牛頓隨後在寫給朋友的信中抱怨到：I do not love to be dunned and teased by foreigners about mathematical things. （我討厭在數學方面被外國人戲弄。）

約翰·伯努利看了這匿名解答之後，說了一句：Tanquam ex ungue leonem. （我看到利爪便認出了這頭獅子。）

那最速降線到底是什麼呢？答案是擺線，即圓周上固定一點在圓滾動時的軌跡。

當然，這裡的擺線是上下顛倒的：

為什麼是擺線呢？我在這裡說一說約翰·伯努利的思路。

約翰·伯努利想，既然是要找最快的路徑，那麼我們其實有個現成的工具，那就是光——

1662年，費馬提出了『費馬原理』：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。

那麼我們可以把小球滾動的最快軌跡看作是光通過折射率不同的介質時的路徑：

當層數變多變薄之後，我們就可以得到想要的路徑：

想法很好，但然後呢？？然後怎麼辦？？

根據斯涅爾定律，入射角的正弦值與該介質中光速的比值等於折射角的正弦值與該介質中光速的比值。額，太冗長了，寫成公式則清晰明了：

而我們又知道，小球滑下時，重力勢能轉化為動能：

$frac{1}{2} mv^2=mgy$

所以：

$v=sqrt{2gy}$

即，小球的速度大小與已下落高度的平方根成正比。

於是，我們根據這個比例來構建模型（選擇合適的介質，使光速滿足此比例）：

然後 let there be light：

問題就變成：如果光線始終遵循斯涅爾定律，那麼它的路徑是怎樣的呢？

也就是說，滿足 $frac{sin heta}{sqrt{y}}$ 為定值的曲線是啥？

接下來就是數學家與我等凡人的區別了：約翰·伯努利猜出（沒錯，是猜出，因為他一開始給的『證明』是錯的），這是擺線的微分方程。

什麼鬼？？？？？？？這個方程和擺線有啥關係？？？？？？？

去年，數學家 Mark Levi 寫了一篇文章，清晰明了地解釋了這個方程與擺線之間的聯繫：Quick! Find a Solution to Brachistochrone Problem

圓上的定點為P，圓與水平線的切點為C；圓滾動時，每一瞬間的瞬時旋轉中心都是點C——也就是說，在這一瞬間，CP就像一個固定於點C的擺一樣，繞點C旋轉。

所以，CP垂直於擺線過點P的切線；又因為直角圓周角對應直徑，所以可以得知過點P的切線在圓的最低處與其相交，交點與C點的連線即為圓的直徑：

設直徑與切線的夾角為 $heta$ ，根據相似三角形，我們可以算出點P到水平線的距離y：

將等式變形就可以得到 $frac{1}{sqrt{D}} =frac{sin heta}{sqrt{y}}$ ，而等式的左側是個常數。

這正是我們之前所說的斯涅爾定律：

啊，故事就是這樣。

這篇回答的示意圖來自The Brachistochrone, with Steven Strogatz，這也是參考資料。

關於斯涅爾定律的證明也有一個很棒的視頻：Snell"s law proof using springs

最速降線更詳細的歷史可以看：Brachistochrone curve

那麼就這樣=w=

===============更新：牛頓的解法===============

有人問牛頓的解法是什麼，我就直接把牛頓的原文放上來吧：

（拉丁文和英文翻譯都有，最速降線問題是其中第一個問題。）

來源：https://books.google.com/books?id=EqlWllD_H8MCpg=PA72lpg=PA72dq=The+twin+problems+of+Johann+Bernoulli%27s+%27Programma%27+solvedsource=blots=IJ9RELaZGdsig=3qv5R6ToNHU0WAKQEMbL9Ffy3a4hl=zh-CNsa=Xved=0ahUKEwi73qbT54zOAhUYzmMKHToXCBwQ6AEIHjAA#v=onepageqf=false

在歐拉之前也是用變分原理（或者至少是這個思想……實際上是模仿了費馬原理證的）證明的……

Brachistochrone curve

Johann Bernoulli posed the problem of the brachistochrone to the readers of Acta Eruditorum in June, 1696.
According to Fermat』s principle: The actual path between two points taken by a beam of light is the one which is traversed in the least time. In 1697 Johann Bernoulli used this principle to derive the brachistochrone curve by considering the trajectory of a beam of light in a medium where the speed of light increases following a constant vertical acceleration (that of gravity g).

很多人說的變分法都指的是把變分極值問題轉為為微分方程問題。

事實上，變分極值問題也可以直接求近似解。

$J[f(x)]$ 要對 $f(x)$ 取極致，我可以設 $f(x)=g_n(x,v_1,v_2,v_3,...,v_n)$

於是問題就轉化為 $F(v_1,v_2,v_3,...,v_n)=J[g_n(x,v_1,v_2,v_3,...,v_n)]$ 的極值問題了，可以用n元函數極值的方法來做，有時還可以考慮各種模擬退火之類的方法。

選擇充分大的 $n$ 和合適的 $g_n$ ，這時 $g_n(x,v_1,v_2,v_3,...,v_n)$ 往往能擬合各種複雜的函數。

如果真實解跟某個 $g(x,v_1,v_2,v_3,...,v_n)$ 誤差不大，就可能近似找出這個解。

當然，這種直接求近似解的方法可能很難證明某個解恰好是精確解。

這裡所有的回答其實都在哪裡用了變分法, 無論是間接的（微分方程）還是直接的（函數列逼近）, 或者是在轉化為光線問題的時候用了Fermat原理.

我懷疑必須用變分法, 畢竟是找最小值. 構造出曲線以後, 需要證明它的確保證長度最短, 這就得跟附近的曲線比一比. 這時候不可避免的就要用變分法了.

這種問題還是請看wiki吧～

Brachistochrone curve

我也是高三用折射做出來的...

我高三時候就是用光折射原理做出來的

我有一個比較笨的方法，就是先在A,B兩點之間找出一點C使得時間最少，然後再在AC之間找出一個點D，CB之間找出一個點E使得他們的時間最少，依次遞歸下去，到無窮的時候就是整個問題的解了。

很簡單我大學的時候就想出來了把小球看成光然後在每一個高度上由於能量守恆速度是確定的於是原問題就可以等價轉換為光在豎直方向上聲速連續介質中的傳播問題小球的運動等價於光折射每一個小高度變化之間的軌道路徑滿足snell定律進行一些簡單的高中運算就能獲得和變分法得到的偏微分方程一模一樣的式子

最簡單的：先推導出變分法，然後OOXX

1，兩點之間直線最短

只有在水平面上球才能走直線因為相當於不受力

平面上同一起點的不同直徑的球的擺線是唯一的絕對不會重合的

2，無論怎樣的速度無論速度如何變化球必須經歷擺線也就是它的擺線就是最快速度的軌跡

3，如果』球在平面以下運動受到一個類似於支撐力的反重力方向的力那麼軌跡是相同的擺線不過就是翻轉過來的

4，當問題小球在平面以下滾動時無論軌跡如何都可以看作上面大球表面一點

它受到的支撐力可以分解為垂直向上和水平兩個方向相當於大球有了3中反重力方向的力

2已經證明平行方向的力不影響軌跡

只有一條軌跡中小球受到的垂直方向的力一直等於重力

只有此時大球才能相當於不受力才能走直線

5 因此此時問題中小球的軌跡一定是那個大球的擺線

或者換句話說通過兩點的最快軌跡是由大球直徑決定的

如果把約翰的原問題拿到今天來解釋，恐怕牛大爺也要被打臉：理論上空間一點到另一點的最速方式當然是直線！所謂的擺線等等，不過是空間場發生了理論上的均勻扭曲罷了。今天扭曲引力場，明天再玩玩電磁場，後天跑到原子層級去搗個亂，只要A，B之間距離相對於場的尺度夠大，那麼其不均勻性便顯現出來了，擺線之說也就難以守住，若是再來個三體等多源情形，恐怕牛大爺就是熬一百個通宵也裝不了這個逼了。

另吐槽：前輩大牛們鑽進去再拎出來的演繹歸納令人嘆服，不過數學建模時所用的參考基礎點好伐？目前我們的物理原理都是有條件有假設下成立的，建模原型用基礎些，答案的可信度和適用範圍也就廣些嘛。