如何證明彈性碰撞兩種定義的等價性？

01-11

我們知道彈性碰撞有以下兩種不同的定義：
1.前後總動能不變的碰撞。
2.衝量方向前後相對速度不變的碰撞。
那麼一個很自然的問題就是這兩種定義的等價性：

在兩質點碰撞情形下，這幾乎是顯然的。
在兩剛體碰撞情形下，經過較複雜的計算可以證明。
重點來了，對於一般情形的力學系統的碰撞，這一等價性是否依然成立？
這個問題遠比看上去複雜，至少本人曾努力試圖證明仍以失敗告終。但我幾乎不懷疑它的正確性，因為我所做過的各種習題和遇到的各種具體情形都在重複這一事實。另一方面，我認為如果給出這一證明，將有非常深刻的意義。
總而言之，我希望有人給出它的證明。或者出乎我意料地，證明它的否定。

證明蠻簡單的…下面給出兩種證明：

第一種可以在劉又文或者戈登斯坦的理論力學上找到

考慮碰撞前後體系的動能變化

$T_2-T_1=sumlimits_i{frac{1}{2}m_i {mathbf v}_{2i}^2}- sumlimits_i{frac{1}{2}m_i {mathbf v}_{1i}^2}\ = sumlimits_i{(m_i {mathbf v}_{2i}-m_i {mathbf v}_{1i})cdot frac{{mathbf v}_{1i}+{mathbf v}_{2i}}{2} }\ = sumlimits_i{{mathbf I}_i cdot frac{{mathbf v}_{1i}+{mathbf v}_{2i}}{2} }$

等於所有質點所受衝量點乘以前後平均速度之和。

任兩個質點間的相互作用衝量大小相等，方向相反。

如果這兩個質點之間僅有約束且滿足約束反力不做功(即相互作用力方向沒有相對位移)，那麼把求和中對應項相加抵消。

如果這兩個質點之間沒有約束卻有作用衝量，我們可以想像這即為兩個系統碰撞過程中的碰撞點，且一般情況下僅有一對點。

那麼，整個求和式子化作

$T_2-T_1={mathbf I}_{ij}cdot ({mathbf v}_{i2}+{mathbf v}_{i1}-{mathbf v}_{j2}-{mathbf v}_{j1})$

如果碰撞過程沒有能量損失，我們可以得到

$({mathbf v}_{i2}-{mathbf v}_{j2})cdot {mathbf n} =({mathbf v}_{j1}-{mathbf v}_{i1})cdot {mathbf n}$

即碰撞前後法向接近速度等於法向分離速度

第二種證明是我自己構造的：

對於一個線性力學系統（即各廣義坐標之間的約束關係可以寫成關於廣義速度的線性關係），初始有一定的內部運動與整體運動，某一時刻運動到某一特定位形，對某一特定點施加一特定方向的衝量 ${mathbf I}$ ，作用過程中體系位形可以被認為沒有改變，則該點法向速度增量 $Delta {mathbf v}=alpha{mathbf I}$ ， ${alpha}$ 由該系統的質量分布、約束關係、作用點與作用方向有關，而與 ${mathbf I}$ 的大小，內部及整體運動無關。