把莫比烏斯帶從中間撕開，第一次撕還是一個紙環，而第二次撕就變成了兩個纏在一起的兩個紙環了，為什麼？

01-11

1.一張兩厘米寬的紙條。
2.扭一下，正面的首貼在背面的尾上。
3.貼好後，從紙環中間開始撕。
4.快撕完了是這樣的。
5.撕完了展開，它並沒有變成兩個紙環，而依舊是一個紙環。

6.我又繼續從這個紙環的中間開始撕，撕完後，它成了兩個糾結的紙環。
PS.這是高中數學老師給我們展示的玩意兒，他說他也不知道這叫什麼現象，是誰人發現的，望知乎大神不吝賜教。

我是來替最高票答案算一算的。

首先，是Mobius band的方程，我們用這個：

$r(u,v)=(2cos(u)+vcos(u)sin(u/2),2sin(u)+vsin(u)sin(u/2),vcos(u/2))$

其中 $uin[0,2pi),vin(-2,2)$ .

這個方程的列法其實很簡單，首先基準線是中間的圓，方程是 $(2cos(u),2sin(u),0)$ .

然後每個點上張出一根長為4，中點在圓上的「棍子」，圓上的點繞了一圈時，棍子只繞了半圈，恰好就是Mobius band了.

首先第一件事，曲線 $v=a$ 和曲線 $v=-a$ 是一樣的。這個留作習題，不難證明。而且 @運算元的圖也已經非常直觀了，不多說了。

那麼第二件事，也就是要算linking number.

先解釋一下linking number，大概翻譯成鏈環數吧。這是研究 $mathbb R^3$ 中兩個環的關係的一個重要的拓撲不變數。直觀上非常好理解。上圖

圖片來自wiki

也就是，linking number就反映了兩個環的交錯次數，那麼恰好就是題主的問題里問的。

那麼我們來看一下這兩條曲線，分別是：

$s(x)=(2cos(2x)+frac1 2cos(2x)sin(x),2sin(2x)+frac1 2sin(2x)sin(x),frac1 2cos(x))$

和

$t(y)=(2cos(2y)+frac3 2cos(2y)sin(y),2sin(2y)+frac3 2sin(2y)sin(y),frac3 2cos(y))$ .

其中 $x,yin[0,2pi)$ .為了方便起見這裡稍微調整了一下自變數。s和t其實分別就是v=1/2和v=3/2這兩條曲線.

linking number有一個比較方便的積分公式

其中的r1,r2也就是上面的s,t.

那沒什麼可說的，用matlab算吧，積出來估計不大可能，我就用最簡單的階梯函數來數值了一下，算出來是2左右.嗯，就當是2吧.也就是說，這兩條曲線差不多就是上面圖中linking number 2的情形.

還能更給力一些嗎？

我發現了一個很有趣的提問，是 @雁鳴驪歌提的請用簡單的語言介紹一下拓撲學在生命科學上的應用？.裡面提到了Cǎlugǎreǎnu-White-Fuller formula，也就是

Linking number = writhing number + twisting number.

本來linking number就是個很難算的東西，但是後面兩個非常容易看出來.

我們把s和t看成環狀DNA的兩條鏈，並且看成是t繞著s走.那麼我們分別來看這兩個數.

先給一個參考資料，如果關心這三個數的幾何背景的話可以看

Linking Numbers, Twist, Torsion, and Writhe

而實際的計算，也有積分公式，可以參考這裡

http://guava.physics.uiuc.edu/~nigel/courses/598BIO/498BIOonline-essays/hw1/files/HW1-Larson.pdf

先來看twisting number，直觀地理解，就是t繞著s轉了多少圈.借用一下運算元同志的圖.

其中紅線是s線，藍線是t線.

考慮s和t上面對應的點沿著箭頭方向一起運動，最開始是這樣的：

沿著箭頭方向走，突然，砰，變成這樣了：

本來紅的在下變成紅的在上了，在三維空間，就相當於是轉了180度.

然後再往前走，砰，又變成這樣了：

又上下翻轉了對吧，所以又轉了180度。這樣就是走完了一圈。

總共加起來就是轉了360度，也就是twisting number是1.

再來看writhing number.可以看 @閔捷在剛剛提到的提問中的回答.writhing number其實就是s自己纏繞的螺旋數.如下圖.

圖片來自wiki，writhe頁面.

那麼s的writhing number是多少呢，畫出圖來就清楚了，翠花，上matlab～

沒看出來？容我換個角度。

還沒看出來？來來俯視圖看一下

這下能看清了吧，恰好繞了一圈，也就是說，s的writhing number是1.

代入上面的方程，剛剛好是吻合的。而且有了這三個數，s和t的關係，也就是題主那兩條紙帶的位置關係，相信也更加容易想像一些了吧.

當然，上面對writhing number和twisting number的討論並不嚴格，嚴格起見我也用matlab草草積分了一下下，也都是對的.代碼就不貼上來了，如有需要私下索取吧.

以上.

這個問題蠻好玩的。

首先一個分支還是兩個分支的問題，這個可以純純拓撲地來看。

Mobius band可以看成S^1上的一個不可定向的線叢，而剪開這個過程相當於是去掉它的的零截面，也就是中間的一個圈，因為Mobius band是不可定向的，所以去掉零截面之後還是連通的。

這時得到的流形也可以看成S^1上的線叢，而且有一個到Mobius band上面自然的兩葉覆蓋。那麼顯然是同胚與S^1上的平凡線叢的。這時這個流形就變成可定向的了。再去掉零截面會變成兩個連通分支。

稍微正常一點的看法可以這樣，考慮Mobius band在R^3中的參數式。這個參數式可以看wiki，上面有。

首先，要證明第一步剪開得到一條，可以仔細來看第一步剪開得到的東西的中間線，這實際上是Mobius band的1/4線和3/4線。那麼要證明得到的是一條只需要證明這兩條其實是一條線就可以了。

再來用同樣的思路看第二步。同樣考慮第二步得到的東西的中間線，也就是原來的Mobius band的1/8，3/8，5/8，7/8線，那麼要證明的事情有兩件。第一，這四條線實際上只是兩條。第二，計算證明這兩條線的鏈環數(linking number)非零。關於鏈環數可以去wiki一下。

手機碼字太不方便了。。過兩天我可以再把細節寫出來。。。

中線剪一刀還是連通的，再剪就不連了。

如果開始不沿著中線剪也不連通。

至於為什麼嵌入在R^3中是纏繞在一起的，我暫時無法解釋。

我是一個文科生，喜歡腦洞大開。

問題在於莫比烏斯帶的寬度不能無限擴大，並且厚度不能無限壓縮。換句話來講，不存在莫比烏斯帶這種東西。

因為你手上的紙帶，它有三個面。

第二和第三個容易被忽略的面告訴我們，莫比烏斯帶只是個有趣的三維立體模型。把紙張的厚度增加一些，比如增加到到與寬度一致，你就能得到一個首尾相接扭曲了的立方體。然後，你可以在腦海里從各個面去剖開，甚至對角線解剖，你會得到更有趣的立體模型，這個空間想像的過程，一棵賽艇！

換句話說，正是由於莫比烏斯帶只有一個面的假象，使人忽略了它特性產生的原因。我們如果可以遍歷莫比烏斯帶的表面，它的比較薄的兩個側面，同樣具有其性質。再換句話說，在當前空間內，它的本質就是一個扭曲了的柱體。於是，腦洞大開，如果我們做一個截面為三角形的莫比烏斯帶能得到什麼？

正八邊形呢？

截面增加到20個邊呢？

然後無限擴大面數，最終

預警

前方高能

我們居然得到了一個圓柱體！！！通過外觀我們不能辨認內部結構是否扭曲。

於是，問題轉化為如何解構一個圓形環狀物，使其結果能產生二環相扣，或者一個連續環狀物的立體解剖方案。

這應該是個數學可解的問題，來來來，各路大神，交給你們了。

發了論文記得回來請我吃飯。

記得上次自己在撕莫比烏斯帶的時

候也發現這些有趣的現象。

還有你如果從1/3，1/4…開始撕，最

終是兩個環相連，而且每個環它旋轉程度增加(不造怎麼表述)，按照什麼規律，我給忘了。

重要的是把這些現象展示給同學。

他鄙視的看著我

說，你有病吧！

相關知識樓上已講的很清楚啦！

請問有沒有高中基礎可以看懂的解釋呢？