美國數學專業的博士生資格考試時怎麼個情況？通過率如何？

01-11

本人國內小碩，想碩士畢業後去米國讀數學偏微分phd，但聽說很難，想了解下，謝謝各位大神！！！

謝邀

本校qualify exam 分筆試和口試，筆試是剛進來的學生在第二年結束之前必須要過的兩門考試，考實分析（其實就是數學分析）和抽象代數（本科高年級到研究生一年級難度的）。每門考試時間3小時，難度每年不太一樣，淘汰率其實還算高，我聽說有一年淘汰了60%以上，那屆就剩了三個中國學生，不管如何，每年都有2-3個學生會被淘汰。當然分數線也不是絕對的，比如本系有個牛學生，系裡為了讓他能過，把分析的pass 分數線降低了，導致那年幾乎大家都過了。。此人最後去了普林斯頓三年博士後

過了筆試以後有一個叫做Tier 2的考試，非常水，就是寫個近兩年的研究計劃，讀書計劃之類，然後叫你想跟的導師簽個字，系裡的director of graduate studies簽個字就行了。

接下來就是口試，分為Major and Minor, 考試時間一個半小時到兩個小時，考試形式為三到四個來自於你的committee 的教授輪番分別就你選擇的Major 和Minor 的主題根據你考試前所提交的提綱問任何他們想問的問題，全程錄音，你面前就是一塊黑板，當場解題。這應該和大多數學校的口試是差不多的。一般來說有兩次機會，一次不過，大多數導師都會給你第二次機會，而我想大多數導師應該是不會在第二次fail學生的，當然也有例外，比如本人導師曾經就fail過一些學生。

我選的Major 是代數幾何，當然就是Hartshorne整本書，Minor 是Riemann Surface and Complex geometry. 選的書是Huybrechets 復幾何導論，還有一本Riemann Surface的notes以及一本Kahler geometry 的notes。

這次考試我對自己的表現比較滿意，考了快兩個小時，除了Michael Larsen問了一個跟代數曲線有關的李群問題完全不知道他在說啥以外，其他的問題幾乎都完全解答出來了。考試的時候是極為緊張的，考試的時間是10點正，我早上6點就醒了，然後9點多一點就去考場踩點，Larsen是第一個來的，我就直接跟他說我覺得特別緊張，他就安慰了我一下說他讀博士時考oral，有個特別簡單的問題因為太緊張居然沒想出來。。考完後，我老闆其實是特別滿意的，我非常緊張的去問他覺得我考的怎麼樣，他說非常好，沒想到我懂那麼多黎曼曲面的的東西。後來我從我師弟那側面了解到，老闆對我的表現是很開心的，這才放下心來，總算沒給他丟臉。

我其實挺想寫寫準備的過程的。其實考試前，從心態上我並沒有把這次考試當特別大的一回事，因為我那兩年實在是把Hartshorne弄得太熟了（只是我自己的感覺哈），成天就抱著Hartshorne啃，而且其中的很多章節都仔仔細細在跟我導師的reading course上講過，任何細節都沒有放過，而我導師也是時時刻刻都會提問，所以自覺不管你考啥都沒問題。尤其是前面三章那些抽象廢話的玩意，我都仔仔細細研究過了。由於以前在Kansas State 念過很多抽象的代數幾何，因此也在一段時間內仔細研究過第二章的各種習題，每道題都用各種觀點研究了一遍，還饒有興緻的組了各種seminar討論比如categorical method on problems in Hartshorne之類的。終於到了考前4個月了，我那時有別的書要看，也在認真準備seminar，但是心裡終於開始有這個事情了，而且我一考試就容易緊張。。。然後我暑假裡有三個多月都在全力認真準備，由於我還有minor，黎曼曲面和復幾何。為了確保考試時萬無一失，就特別認真的把Miranda 那本代數曲線和黎曼曲面的書對應章節都仔細的研讀和思考了，把Huybretchtes那本書上的習題幾乎都做了一遍。然後每天就是自己給自己出題，算各種cohomology of sheaves，各種代數曲線之間的map的ramification 的情況啊之類的。然後還在網上搜索其他學校的代數幾何oral exam的題，有的題是真的挺難想的。由於我的提綱里還列了Hartshorne第四章和第五章嘛，代數曲線和代數曲面。為了做到萬無一失，重新把Beauville 代數曲面中的分類定理啊好好的又在腦子裡過了一遍，找了很多很多的例子算裡面的各種numerical invariant。學過代數曲線和黎曼曲面的都知道，這兩個subject 有很多互相對應的定理啊，通常有非常不同口味的證明，但是本質上是一回事。當時複習的時候，不僅代數曲線那邊的證明早就爛熟，複分析這邊的證明方法也花時間理解，做很多的計算。反正就是說，為了最大限度的降低由於考試緊張帶來的心情的不安從而影響考試的表現，為了一百分的考試做一萬分的準備，就算緊張的說話哆嗦（考試的時候還真的有點結巴了），心裡想著一萬分減掉九千分，那我還有1000分秒殺這考試呢。一般來說，考試前是可以去找導師以及committee member 去做practise的，類似於演習之類的，但是我都沒有去找，因為我有信心完美通過，有這種執念把。雖然口試前還是會緊張，但是心裡卻還是很有把握的，反正就是想，你們隨便考，我都準備好了。

然後考試的時候，其實我導師問的問題挺少的，就問了個 $mathbb{P}^3$ 里，degree 5的曲面的各種numerical invariant, 各種sheaf cohomology什麼的，都是很標準的canonical bundle formula什麼的，倒是Michael Larsen和一個搞極小曲面，復幾何的老師問了一個多小時的代數曲線和黎曼曲面的問題，兩個人還交叉問，問了一些什麼Hodge decomposition 怎麼證什麼的。還問了一些很具體的給定genus 的曲線算自同構群，然後就是舉出一些常見的Kahler manifold的例子，證明為啥是Kahler 的什麼的，不太記得了，還考了黎曼曲面里gap value 什麼的。因為我答出了絕大多數的問題，就變得不太緊張了，老師們可能覺得差不多了，但是似乎在討論一個什麼曲面的Euler characteristic 怎麼算，在搖頭啥的。我就主動說，我要不再用Noether formula 試試算算？老師們笑了出來，說你想算就算算吧，反正這個時候我完全不緊張了，就像講數學seminar一樣，算出 $h^0,h^1,h^2,K^2$ ,最終算了出來。老師們居然鼓起掌來，然後考試就結束了。其實我當時真想說，你們要不考點別的啊，我還有好多準備的你們沒考呢。

考試肯定過了啊。我覺得這個oral考試特別好，讓我有機會把以前學的都捋一遍，讓我有動機和壓力好好準備，對自己未來的學習和研究都是特別有幫助的。寫到這裡，我就想起小時候每次沒考好的時候就自欺欺人的安慰自己說，考試時太緊張了，平常都會的題，考試時間太緊都不會做了，緊張影響心態從而影響考試的發揮之類的，這時老爸就會毫不留情的指出來，要是你平時做了一萬分的準備，那考試時還不是神擋殺神啊，歸根結底就是你有僥倖心理，態度不對！ 我現在深以為然，像這種oral 考試，教授天南海北，想到什麼問啥，哪管你什麼考綱，提綱啊，尤其是比如骨骼清奇的Larsen這種，問各種看上去挺奇怪的問題，但是只要用心準備了，所有的東西都搞清楚搞明白了，沒有死角，考試結果絕對還是應該讓人滿意的。

謹以此獻給2018年數學一，二，三考研不理想的同學們：）

看學校，學校越好越難。本校是oral exam的形式。需要你定一個major topic,一個minor topic，兩者不能太相近（比如你不能major選PDE, minor選ODE..），然後找3個人組成committee，其中2個人來自你的major方向，一個人來自你的minor方向。然後你要定期和他們聯繫，準備半年再考試。考試就是面試，當面問問題。一般他們會讓你去看某本書的某些章節或者看論文，問的問題也都是和看的東西相關的。據說不是很難，我明年考，考完了再補充。

有些學校的qual是刷人的，比如berkeley，據說1/3的phd過不了第一次qual..

去年考完了，貼下題目，大家自己判斷。。（本來說16年考的，結果還是15年12月份考完了）

Major Topic: Differential Geometry

(下面提到的度量除非特別說明，都假設是complete的)

1.Basic problems: find all totally geodesic submanifolds in S^n (Standard Sphere) and H^n (Hyperbolic spaces)

2. Some questions about minimal submanifolds:

Give some examples of minimal surfaces in R^3 (I said 2-planes, catenoids, helicoids). Show that catenoids are complete (w.r.t the metric).

If M^n is a minimal hypersurface in R^{n+1}, what can you say about the (sectional) curvature of M?

Can a minimal hypersurface of S^n be contained in an open hemisphere of S^n?

Let M^k be a minimal submanifold of R^n of codim more than 1, can M^k be compact? (I didn"t solve that one)

3.Sphere packing

Assume M is a n-dim complete Riemann manifold with Ric&>=-K(n-1), where K&>0. Let r&

4.Let E be the tautological line bundle of RP^n, can (the total space) of E carry a metric with sec&>0? sec&>=0? What if I replace RP^n by CP^n (warning: then the tautological line bundle will become a COMPLEX line bundle)?

5.Challenging question: Let g be a metric on S^2, s.t. sec&>=1, and S^2 has a closed geodesic of length exactly 2pi. Show that g is the round metric.(I didn"t have time for this question)

Minor topic: Complex Algebraic Geometry

I didn"t do a good job in this part.. In fact I got stuck at the first problem..

Let C be a complex algebraic curve of genus 5, can C be embeded into P^2? (I only solved this one..)

Let L be a line bundle on the above C, if the map associated with linear systems of L maps C into P^2, and the map is a non-degenerate morphism (i.e. everywhere defined , the image is not contained in any linear P^1 of P^2), what is the minimal degree of L?

Another problem: give an example of effective but not ample divisor (I gave the exceptional divisor of a blow-up of P^2).

Berkeley的話請參考Qualifying Examination. 跟 @Yuhang Liu 的回答中提到的形式差不多, 只是在一些細節上有所差別. 比方說Berkeley要有兩個major topic一個minor topic, 以及committee中需要有四個人, 其中一人要來自於外系, 諸如此類.

通過率的話我找不到官方數據. 網上搜到的結果也是30%的phd過不了第一次qual, 而兩次qual不過被踢出去的十分罕見. 這個真實性如何我也不清楚.

如果想要看Berkeley以前學生考qual exam的經驗, 可以嘗試Google一下"qual transcript site:http://math.berkeley.edu". 不過Berkeley願意把自己考試經歷寫下來並放上網的好像很少. 或者可以看看Princeton類似形式的考試, Graduate Students" Guide to Generals, 他們這個網站放了很多以前的phd考口試的經驗, 比如Terence Tao. 看看別人考qual的經驗其實還蠻有意思的...

考試的方式各個學校不一樣，有筆試的，大部分是口試。好學校直接oral exam的比較多，差一點的學校因為招生的時候可能招進來了一些推薦信吹得天花亂墜但是實際水平有限的美本，需要用筆試來刷掉一部分實在不合格的學生。一般來講資格考試刷人不多，每次的通過率有一半到70%，每人有兩到三次機會，就我所見中國學生最終通不過被退學的概率不大。

我女盆友入學時先考了一個pre qual，written test; 第一年暑假考qual，說是oral但是會被要求在黑板上做題目，不算難; 之後prelim基於選的major和minor tracks, 但也考了很多所選tracks之外的問題。到目前為止一共三關，每一關前都有人fail掉退出的

我說下UCLA applied math的情況吧，UCLA需要過兩個qual，一般應數會在Numerical Analysis，Applied Differential Equations(就是PDE)，Analysis里選兩個考. NA 和 ADE相對簡單一些，NA最簡單，題目基本就幾種；ADE需要熟悉一些tricks, 刷過官網上的往年題就差不多了。（我16年spring考的時候有錯題。。。）Analysis 我沒考，聽說比較難（畢竟UCLA的Analysis）

還有我聽說考試是按比例刷人的（比如前70%通過）

說一下UCLA的情況吧，當時我的TA是Optimazation的PhD，他說資格考試涉及的範圍基本都有但是認真複習就都還好，可以參考http://www.math.ucla.edu/grad/handbook/quals有模擬題

如果你能申請到PhD的話，那麼恭喜你，教授應該是覺得你有過preliminary 的能力了，所以也不用太擔心。如果你沒有申請到PhD的話，現在問這些是不是太早了？或者擔心過不了的話適合去讀嗎？