為什麼非方陣矩陣沒有行列式？

01-11

如果行列式描述的是線性變換對空間的拉扯和壓縮，為什麼非方陣矩陣不能有行列式？
例如一個3*2矩陣代表了把二維空間映射到三維空間的一個平面上，那個平面的面積和變換前的二維空間也是可以比較的啊。又或者是2*3矩陣代表了把三維空間映射到二維空間上，那麼體積坍縮為零，行列式是零不可以嗎？為什麼線性代數沒有定義非方陣矩陣的行列式呢？

行列式用來判斷線性空間的同態啥時候是同構，只有同構，這個映射才能有逆，映射過去不損失信息，還能給還原回來。

而兩個域F上的線性空間是同構的（存在一個同態映射是同構）當且僅當它們擱F上的維數相等。

反過來，只有它們的維數相等，才可能讓這個同態映射也是同構的。給定一組基，其行列式是否為0就可以幫助判別，換成矩陣語言就是矩陣是否有逆。

半夜睡不著突然被推送這個問題，當年我也想過這個問題。後來查了一下資料，這個問題似乎答案網上就有。

你可以自己定義非方陣的行列式，但是這樣的行列式在數學上沒有意義。

一個比較容易理解的例子是：

一個n*n的方陣，代表了在n維空間的n個點，方陣的行列式可以看成是平行(2n)面體的體積。例如2*2對應一個平行四邊形，3*3對應一個平行六面體...

那麼對於一個一般矩陣，舉個例子，2*3，要麼對應著3維空間的2個點，2個點只能確定一個平行四邊形，如果非要定義個行列式，那麼這個行列式表示這個體積，必須是0(一個平面圖形在立體空間中體積為0)。轉置之後對應2維空間的3個點，這3個點沒法唯一確定一個平面圖形，面積就不存在了。根據方陣的行列式性質，轉置之後行列式的值不變。然而對應非方陣的話，一個是0一個是不存在。顯然就不兼容這條性質了。

既然一般矩陣的行列式要麼是0要麼是不存在，還有什麼應用的必要麼？

具體你可以看這個問題：

對於一般的矩陣，有它的行列式的定義嗎？

這取決於你怎麼看待行列式這個運算。

最直觀的解釋是幾何上去看，有些答主解釋過了。但從多重線性代數的角度看也很有意思。

如果你把矩陣看做一組列向量，行列式看做一個反對稱多重線性函數。一件有意思的事情是:所有n×n的矩陣上的反對稱多重線性函數構成的線性空間是一維的。換而言之，任意兩個n×n矩陣上的非零反對稱多重線性函數f1和f2，都會存在一個常數c使得

f1=cf2

這樣我們只需要指定單位矩陣會被函數送到什麼地方，就能完全確定這個函數，我們規定

det(I)=1

就確定了n×n的行列式是什麼運算。

但n×m矩陣上的反對稱多重線性函數空間就沒這麼好了，他的維度是C^m_n，這樣我們需要指定好幾個矩陣的運算結果才可以確定這個矩陣的行列式運算。

雖然也不是不可以，但是這種定義不如n×n的矩陣的行列式運算的定義自然。而且沒什麼用。

你可以把不是方陣的矩陣的下方填充一行一行0元素直到變成方陣

於是你就可以把不是方陣的矩陣理解為向量空間映射到向量空間的子空間的映射了

眾所周知 n階行列式的值的幾何含義是n維空間中的單位大小n方體經過行列式對應方陣映射後得到的幾何對象的大小

而對於不是方陣的矩陣如上所述映射後至少有一個維度被壓扁了也就是映射後的幾何對象大小變為0了所以對於不是方陣的矩陣定義行列式沒有任何意義因為永遠是零

可以是0，但是因為大家都是0，這個行列式也沒什麼用了，所以就乾脆當不存在了。

你可以當這個是奧卡姆剃刀原理的實例。

（以上是猜的，但是數學就是這樣，只要有理有據就能胡說八道）

順帶，通常三維投影到二維也是用三維方陣甚至四維方陣（可以同時進行平移操作）的，結果裡面忽略掉多出來的那個維度即可。原因嘛，定長的數據結構比較容易用電腦來處理，要是一會短一會長會更蛋疼的，因為還要記住矩陣的尺寸。自然，用三維方陣來表示三維到二維的投影，行列式一定是0，因為已經壓扁了。