為什麼電路中的阻抗要引入複數來表示？

01-11

實在無法理解，為什麼在阻抗的計算和表示中，均要引入複數

沒什麼為什麼，只是因為方便。

對電路的分析其實就是對電路的建模，包括對每個元器件的建模。純阻性元件的數學模型很簡單，只有一個方程（別告訴我你不知道）。而理想電感的方程會複雜一點，電壓電流滿足一個微分方程，而且還有關於磁鏈的方程。對於非線性的二極體等等，就有更複雜的數學模型。

數學模型建立起來之後就要求解。在求解過程中，人們發現，只有e^x和正弦函數具有一個特殊的性質，那就是不管求導多少次，都滿足函數的相似性。人們就開始研究，能否把輸入都用正弦信號或者指數信號的疊加代替，帶入電路的數學模型之後，計算非常簡便，得到輸出之後，再把輸出恢復成實際的信號。這就是傅立葉和拉普拉斯解法。

在用正弦信號求解的時候，指數函數和正弦函數又有一個牛逼的公式將兩者聯繫起來，這就是歐拉公式，這樣正弦函數的相位信息就可以放到指數函數中去。這樣，阻抗、電壓、電流等都有了其相量表示法。

這個基本上就是電路分析的內涵了。

事隔好幾年再來看這個答案。

其實你搞懂這個又能如何呢，呵呵呵呵，

電氣的時代早就過去了，過去了，過去了。

還有這種簡單的知識，我已經用我覺得最好的方式解答了，在我上面的那個泛泛而談的答案，也能多出這麼多贊同，可見雖然是這麼簡單的知識，真正懂的人還是。。。當然了，贊同也就是個屁，可見知乎群眾的水平，呵呵。。。

這是由於：

1）如（a）所示，基於傅里葉變換可以將一個滿足狄里赫萊條件（感謝 @FrancisQu指出此處錯誤）的電信號 $X(t)$ 轉換為等效的一系列頻率為基波頻率整數倍的正弦電信號，因此對正弦電路的分析成為分析一切電路的基礎。

$X(t)=sum_{k=1}^{n}{Sin(kwt+b_{k}^{} )} +X_{0}$ (a)

2a）對於形如 $f(t)=sqrt{2} Sin(kwt+ heta )$ 的時序信號，一種方便的處理方法是將其視為初始位置與複數 $e^{j heta }$ 重合且不斷逆時針以角速度 $kw$ 旋轉的一個矢量，該矢量在x軸上的投影對應時序電信號 $f(t)$ 的值，因此一個正弦量與一個複數一一對應。

這次寫詳細一些

2b) 由歐拉定理：

$e^{jkwt+ heta } =Cos(kwt+ heta )+jSin(kwt+ heta )$

因此：

$f(t)=Sin(kwt+ heta )=Im[e^{kwt+ heta } ]$

即正弦信號 $f(t)$ 等於複數 $e^{kwt+ heta }$ 的虛部

而複數 $e^{kwt+ heta }$ 可以視為在二維平面上初始角為 $heta$ ，且以角速度 $kw$ 逆時針旋轉的一個旋轉矢量（因為含有時間變數t），如下圖所示。

$f(t)$ 可以視作這個旋轉矢量在y軸上的投影，注意到對於特定的頻率 $kw$ ,實際上時域信號 $f(t)$ 由該複數表示的旋轉矢量的長度以及初始角度 $heta$ 唯一確定，因此 $f(t)$ 可以進一步簡化記為一個不含有時間變數 $t$ 的複數 $e^{ heta }$ ，這樣就把一個時域信號與一個複數一一對應在了一起，這樣做的好處就是帶來了計算上的很大便利。

3）將1），2）應用與下圖所示的簡單正弦電路，電路中的電壓、電流、阻抗滿足歐姆定律

$Z=frac{U}{I}$ ,對應可以得到在複數域有電阻抗為一個複數 $Z=(U/I)^{ heta 1- heta 2} =frac{U^{ heta 1} }{I^{ heta 2} }$ .

Q.E.D

因為波動方程的解用複數表示更簡潔。。

邱關源第三版教材考試完我就扔了，後來考研的時候去舊書店買了第四版，一直帶在身邊，十多年了，常讀常新。

首先要知道，相量法只是一個分析正弦穩態電路的工具。所謂工具，首先它可以較好地描述真實情況，其次可以用它來降低解決問題的難度。相量法的理論 @秦庶長已經談的很好了。現在我就來談談相量法的弊端。其最大的弊端是，在方便做題的同時，屏蔽了我們對交流電路的本質理解。

首先是無功功率，書上說的是瞬時功率中的可逆部分，其值正負交替，說明能量在外施電源與一埠之間來回交換。當我在matlab上把電源和電感的波形都畫出來時，才意識到，根本就不是能量交換。無功的本質意義應該是一埠感（容）性負載在某些時間段電壓高於外施電源，且兩者反向，因此壓制外施電源釋放能量，導致了功率因數的降低。在這段時間內，外施電源只是作為一個用電器來消耗感容元件釋放的能量，不可能吸收和儲存。無功補償時，感性元件跟容性元件自身構成了一個能量循環系統，完全補償時其各自的電壓相互抵消，不對外施電源造成干擾。

其次是線路阻抗的問題。輸電頻率越高，jwl感性阻抗就越大，通過向量法確實非常好理解。其本質卻是u=Ldi/dt，頻率越高電流變化越劇烈，電感的反向電壓就越強，壓制外施電源的時間就越久。這才是感性阻抗的本質。但是相量法體現不出來。

不過我相信，會有好學校好老師，在講相量法的時候，也會把這些原理講清楚。

我的理解不一定到位，肯定有謬誤之處請多指教。

最後，關於變壓器一次側電源頻率大小和容量的關係，相量法描述與本質描述稍後補充。

因為功率分為有功和無功吧。

阻抗是對正弦信號而言的，電路如下圖

根據基爾霍夫電壓定律可知

$u_{i} =u_{R} +u_{L} +u_{C}$

$i=i_{R} =i_{L}=i_{C}$

一、設 $i_{L}=Asin(omega t+varphi )$ ,根據電感自感的物理定律可知

$u_{L}=frac{d(i_{L}) }{dt} L$

所以

$u_{L} =frac{du_{c}}{dt} L=ALomega cos(omega t+varphi )=ALomega sin(omega t+varphi +90)$

易知

$u_{R} =ARsin(omega t+varphi )$

二、設 $u_{c} =Asin(omega t+varphi )$ ,根據電容電壓與電荷的關係可知

$i_{C} =frac{du_{c}}{dt} C=AComega cos(omega t+varphi )=AComega sin(omega t+varphi +90)$

三、因為 $i=i_{R} =i_{L}=i_{C}$

設 $i=i_{R} =i_{L}=i_{C}=Asin(omega t+varphi )$

根據上文一、二中求得的各個原件的電壓與電流的關係以及 $u_{i} =u_{R} +u_{L} +u_{C}$ ，可知

$u_{i} =u_{R} +u_{L} +u_{C} =frac{A}{Comega } sin(omega t+varphi +90)+ALomega sin(omega t+varphi -90)+ARsin(omega t+varphi )$

展開此式可得

$u_{i} =u_{R} +u_{L} +u_{C} =frac{A}{Comega } cos(omega t+varphi)-ALomega cos(omega t+varphi )+ARsin(omega t+varphi )$

$Rightarrow$ $u_{i} =A[[frac{1}{Comega } cos(omega t+varphi)-Lomega cos(omega t+varphi )]+Rsin(omega t+varphi )]$

$Rightarrow$ $u_{i} =Asqrt{(frac{1}{Comega }-Lomega )^{2} +R^{2} } sin(omega t+varphi +arctanfrac{frac{1}{Comega }-Lomega }{R} )$

因為已設 $i=i_{R} =i_{L}=i_{C}=Asin(omega t+varphi )$ ，再結合上式發現

一、電流有效值是電壓源有效值的 $frac{1}{sqrt{(frac{1}{Comega }-Lomega )^{2} +R^{2} } }$

且 $sqrt{(frac{1}{Comega }-Lomega )^{2} +R^{2} }$ 是複數 $jfrac{1}{Comega }-jLomega +R=j(frac{1}{Comega }-Lomega ) +R$ 的模

二、電源電壓和電流的相位差為 $arctanfrac{frac{1}{Comega }-Lomega }{R}$

且 $arctanfrac{frac{1}{Comega }-Lomega }{R}$ 是複數 $jfrac{1}{Comega }-jLomega +R=j(frac{1}{Comega }-Lomega ) +R$ 的相角

三、因為電源電壓是正弦函數，化為複數形式為 $u_{i}= A_{1} (cos varphi _{1}+jsin varphi _{1} )$ ，其模為 $A_{1}$ ，相角為 $varphi _{1}$ ,所以

$i=frac{ A_{1} (cos varphi _{1}+jsin varphi _{1} )}{j(frac{1}{Comega }-Lomega ) +R} =frac{ A_{1} (cos varphi _{1}+jsin varphi _{1} )}{ A_{2} (cos varphi _{2}+jsin varphi _{2} )}=frac{A_{1}}{A_{2}}(cos varphi _{1}cos varphi _{2}+sin varphi _{1}sin varphi _{2}+jsin varphi _{1}cos varphi _{2}-jsin varphi _{2}cos varphi _{1})$