累加的連續是積分，那麼累乘的連續是什麼？

01-11

累加(Σ)在某種形式上是積分的離散形式，積分則是前者的"連續"版本(至少我是這麼理解的)，那麼累乘(Π)的連續形式又是什麼呢？
高中生一枚，看到種群的增長速率和增長率的區別的時候想到的。增長速率對時間的積分便是種群數量，那麼增長率與種群數量有什麼關係呢，兩個函數會不會就是我所說的"累乘的連續"的關係呢？
才疏學淺，還望多多包涵

這個問題其實非常好。對於實數而言，累乘可以通過取對數的方式變成累加，這裡許多回答都說過了。

但這不足夠。因為"乘法"不一定是對易的。比如說矩陣的乘法，不滿足 X*Y = Y*X！這就絕對不能簡單地用取對數的方式變成加法了！

那麼，矩陣的累乘的連續是什麼？這是真正有趣的問題。下面不妨討論矩陣可逆的情況。

不好意思需要升級數學難度。對於可逆矩陣而言，「取對數」對應的其實是「李群」變成「李代數」的過程。先不看這些，我們先看個中學生可能可以理解的。對於實數而言，有：

$log(e^X e^Y) = X+Y$ log(e^X e^Y) = X+Y

這就是許多回答所說的「乘法變加法」的緣由。

但是對於矩陣而言，有 Baker–Campbell–Hausdorff 公式：

除了 X 和 Y，還多出來好多項。這裡的 [X, Y] = XY - YX 是所謂「李括弧」。比如展開之後，就是：

log(e^X e^Y) = X+Y + 1/2 (XY - YX) + ......

這個公式非常有趣。尤其是裡面的係數，與 Bernoulli 數有關。

深究下去會發現，"累乘的連續"並不是一個容易定義好的東西。容易定義好的，是倒過來，用李代數的積分的exp來作為某種"累乘的連續"的定義。

為什麼這麼說，因為這種定義方法有一個非常實際的作用：它就是物理中的量子場論 Yang-Mills 理論中的積分！因為 Yang-Mills 是在李代數上取值（Lie algebra-valued）。

譬如，最基本的積分是配分函數（partition function）：

其中 exp 裡面的一群東西，就是在李代數上取值的微分形式（Lie algebra-valued differential form）在流形上的積分。

總結：

對於實數而言，"累乘的連續"，是用 exp(累加）。但如果乘法本身不對易，"累乘的連續"本身就很難定義。於是大家換個思路，直接只考慮 exp(李代數的累加)。

這是個好問題！

先來看一下題主的 motivation，也就是「增長速率」和「增長率」的區別。我猜這兩個詞是這麼定義的：如果在一年內種群數量由 2 萬變成了 3 萬，那麼這一年的平均「增長速率」是 1 萬 / 年，而平均「增長率」是 50% / 年。

先考慮這個問題：如果「增長速率」保持恆定為 1 萬 / 年，初始時種群數量為 2 萬，那麼 2 年後種群數量是多少？半年後呢？

這兩個問題的答案顯然是 $2 + 1 imes 2 = 4$ 萬， $2 + 1 imes 0.5 = 2.5$ 萬。

現在考慮這樣一個問題：如果「增長率」保持恆定為 50% / 年，初始時種群數量為 2 萬，那麼 2 年後種群數量是多少？半年後呢？

答案是，2 年後種群數量為 $2 imes (1 + 50\%)^2 = 4.5$ 萬，半年後種群數量為 $2 imes (1 + 50\%)^{0.5} approx 2.45$ 萬。注意時間放在了指數上。

現在考慮不恆定的瞬時「增長速率」和「增長率」。

設初始時（0 時刻）種群數量為 $A(0)$ ， $t$ 時刻的「增長速率」為 $f(t)$ ，那麼 $T$ 時間後種群的數量就是 $A(T) = A(0) + lim_{Delta t ightarrow 0} sum_{i=0}^{T/Delta t} f(i Delta t) Delta t$ ，這個極限正好符合積分的定義，它等於 $A(0) + int_{0}^T f(t) , mathrm{d}t$ 。

類似地，如果設初始時種群數量為 $A(0)$ ， $t$ 時刻的「增長率」為 $g(t)$ ，那麼 $T$ 時間後種群的數量就是 $A(T) = A(0) cdot lim_{Delta t ightarrow 0} prod_{i=0}^{n-1}[1 + g(i Delta t)]^{Delta t}$ 。這就是題主說的「連續累乘」。這個極限里 $Delta t$ 在指數上，但是兩邊取個對數就可以把 $Delta t$ 拿下來，同時把累乘變成累加：

$ln A(T) = ln A(0) + lim_{Delta t ightarrow 0} sum_{i=0}^{n-1} ln[1+g(i Delta t)] cdot Delta t \ = ln A(0) + int_0^T ln[1+g(t)],mathrm{d}t$

可見，「連續累乘」並不需要定義新運算，用積分同樣能夠處理。

有個概念叫 product integration，不知道是不是你關注的東西。

@王贇 Maigo回答的很好，但是結論和我的方法不一樣，歡迎討論。我是從微分方程角度聯繫增長速率f(t)和增長率g(t)。

其實增長速率f(t)就是增長率g(t)乘以當前數量A(t)

那麼就可以列出：

dA(t)=f(t)dt=A(t)*g(t)dt

整理為：

dA(t)/A(t)=g(t)dt

積分得：

ln(A(t))=lnA(0)+積分(g(t))

也可以寫成:

A(t)=A(0)*exp(積分g(t))

形式更簡單一點。

個人理解是這樣：

比如一個東西旋轉吧，總轉角等於每次轉角之和；不過每次旋轉也可以用矩陣變換表示，所以一次大的旋轉可以表示為幾次小的旋轉矩陣相乘。

加法和乘法有時可以認為是兩個不同的群上的運算，而這兩個群如果是同構的話，那麼意味著一個群上的加法就對應了另一個群的乘法。如果讓乘法"連續化"，就可以扯到李群和指數映射了。指數映射的一些東西某層已經有答主說了。

你先把它取個對數，就變成了累加了。所以出來的結果應該是指數上面帶一個積分。

PS，其實這就是線性微分方程。

累加是Σ，累乘是Π。

若A=Πa ，即A=a1*a2*a3……

那麼lgA=lga1+lga2+lga3……=Σlga

簡單一說

這種化累乘為對數的累加的方式在模電的波特圖裡面有用到

正好最近在學習這個方面的問題~~~production integration的問題比較小眾，今天碰到題主，是很開心的~~

是時候放出這本書了：

好像有答主也放出了這本書~

wiki的傳送門：Product integral 。

另外一個和product integration相關的multiplicative calculus的wiki傳送門：Multiplicative calculus 。另外，和product integration還有一個密切相關的知識，就是matrix exponential。傳送門：Matrix exponential 。product integration, 起源就是為了解決一次常微分方程組系統而創造一個數學工具，並不算特別高深的數學。但是在應用數學領域還是有很多用處的，比如解決一個生態系統裡面的各個種類的生物的數目變化問題。如果題主還有興趣，可以去找找這本書：

真是發自內心地羨慕題主。我在高中的時候自學微積分還要偷偷摸摸，並不敢找老師求教（因為會耽誤高考。對，我高考那會兒微積分並沒有列入考試大綱。）那會兒也沒有知乎這樣的網站，只能一個人照著爸爸的微積分教材（70年代的。扉頁第一句話就是：偉大的毛主席教導我們。。。你們自行去腦補。）一個人在紙上寫寫算算來學習。而現在如同題主這樣的高中生已經可以利用網路和我這樣的老油條交流了~~~真是發自內心地羨慕呀！

祝題主學習愉快~

事實上是因為它不常用，沒有必要做刻意的推廣。數學上的推廣必須有用，否則就是邏輯符號遊戲。

不同意一些答主所說的「乘積積分就是對於對數的積分，所以沒必要引入」的看法。因為積分本身也就是一個特殊的求和極限，難道我們因為這樣就可以用求和極限運算代替積分，從而不引入積分了嗎？所以引入積分是因為它很有用，引入以後能得到技術和觀點的提升。

但是，似乎我們並沒有引入乘積積分的動機，何況無窮乘積運算有一個硬傷：它沒有線性性，導致局限性大大提升。應該有人發展過這套理論，然而現今應用仍然不算主流，從此看來，強行推廣的意義確實不那麼大。

不不不，累加的連續還是乘，累乘的連續還是加

加跟乘有區別？

四則運算只是為了方便人類運算而創造出來的，而在自然界，當然只有加和減兩種而已，不是嗎？

是在指數上積分

很好，如果你不斷的專研這個問題，可能會推倒出伽馬函數。

4維空間的積分

你現在考慮這個還太早，以後會發現指數，線性，ln其實是一回事，只是級數的一個側面，乘法僅僅是加法的延伸，世界上只有一種運算，就是加法。任何乘法運算都可以轉換為加法。所以累乘本身就是個偽概念。

化成對數不不又成加了嗎？

難道，不是，sum_i log ( a_i ), 么。。。

個人觀點：乘法運算可以通過取對數轉化為加法運算，因此乘法運算定義的「乘法」微積分也應該是用類似的方法定義的。