什麼是頻響函數FRF？

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很多情況下我們經常測量頻響函數FRF，哪到底什麼是FRF，FRF有什麼性質，有哪些形式，為什麼有的FRF有反共振峰，有的沒有，驅動點FRF和跨點FRF有什麼區別，怎麼計算FRF，各估計類型有什麼區別，力錘和激振器得到的FRF有什麼區別，FRF受什麼因素影響，等等問題。

不管是模態測試，還是固有頻率測試，或者靈敏度分析，以及其他一些測試，經常是測量頻響函數。那什麼是頻響函數，頻響函數有什麼性質，有哪些形式，力錘得到的FRF與激振器得到的FRF有什麼區別，怎麼計算頻響函數，頻響函數受什麼因素影響，等等問題，您都了解嗎？在這裡，您將找到答案。

本文主要內容包括：

1. FRF定義；

2. FRF性質；

3. FRF形式；

4. 共振峰與反共振峰；

5. 單自由度FRF；

6. 驅動點和跨點FRF；

7. 為什麼有的FRF有反共振峰，有的沒有；

8. 力錘FRF與激振器FRF的區別；

9. FRF計算；

10. FRF估計類型；

11. FRF的影響因素。

1. FRF定義

我們通常所說的頻響函數(Frequency Response Function，FRF)，它是結構的輸出響應和輸入激勵力之比。我們同時測量激勵力和由該激勵力引起的結構響應（這個響應可能是位移、速度或加速度），將測量的時域數據通過快速傅立葉變換（FFT）從時域變換到頻域，經過變換，頻響函數最終呈現為複數形式，包括實部與虛部，或者是幅值與相位。很多時候，為方便起見，我們將頻響函數寫成部分分式形式

我們常用矩陣形式來處理頻響函數，所以用下標可以方便地確定某個輸入-輸出位置的FRF。例如由『j』點輸入激勵引起『i』點的輸出響應，那麼FRF中的元素為hij，定義為『j』點單位激勵力在『i』點引起的響應。第一個下標表示輸出響應位置，第二個下標表示輸入激勵位置。 FRF元素的分子中包含留數，而留數與模態振型直接相關；分母包含系統極點信息，也就是系統的頻率和阻尼信息。因此，從頻響函數矩陣可以得到系統全部的模態信息。頻響函數矩陣中的單個元素可以寫成（下標k表示階數）

該方程主要由系統每一階模態的留數（分子）和極點（分母）來描述。將頻響函數用模態振型表示為

從這個方程可以清楚地看出FRF的幅值受輸出響應位置的模態振型值乘以輸入激勵位置模態振型值的控制。這個頻響函數可以用任何一個感興趣的輸入-輸出組合來表示。這個方程感興趣的部分是留數和極點，雖然留數的改變依賴於特定的輸入-輸出組合，但是極點保持不變。這暗示著系統極點是全局特性，它們獨立於特定的輸入-輸出位置。也就是說從一個輸入-輸出位置就能測量到系統的所有極點（頻率和阻尼）信息。

因此，固有頻率測量，理論上講，只需要一個測量位置即可測量出所有的模態頻率（實際測量時要避開節點位置）。然而，留數卻依賴於特定的輸入-輸出位置，隨輸入-輸出位置的變化而變化。也就是說不同輸入-輸出位置的留數是不相同的，這就說明了為什麼測試模態振型時，需要大量的測點。這是因為不同測點的留數是不同的，留數是局部特徵，留數不同也就是振型值不同，因此，振型依賴於不同的測量位置，為了將振型唯一地描述出來，要求測點數目盡量多，通過這些測點位置的振型值能唯一地表徵這些模態的振型。

當我們用模態振型寫出這個方程時，結構的模態振型對於特定ij位置的FRF幅值有強烈的影響，這一點就變得非常清晰了。留數本質上由振型縮放係數，q，和響應輸出位置的模態振型值乘以輸入激勵位置的模態振型值。這表示，如果輸出位置或者輸入位置的模態振型值為0（也就是位於模態節點上），那麼這階模態就沒有幅值，這一點就變得非常清晰了。因此，模態參考點要避開節點。

2. FRF性質

頻響函數FRF具有以下性質：

1) 頻響函數定義為輸入位置單位激勵力引起的輸出位置的響應。

2) 頻響函數是系統的固有特性，與系統本身有關，與激勵、響應等外界因素沒有關係。

3) 頻響函數具有互易性，即Hij=Hji，也就是說，『j』點單位激勵力在『i』點引起的響應等於『i』點單位激勵力在『j』點引起的響應，這也表明頻響函數矩陣是對稱的。

4) 頻響函數是復值函數，因而可以用幅值與相位或者實部與虛部表示，因此頻響函數具有幅頻、相頻和實頻、虛頻等多種表現形式。當幅頻曲線和相頻曲線同時顯示時，稱為伯德圖，如下圖所示。

5) 頻響函數矩陣包括系統全部的模態信息，矩陣中每一行或每一列同樣包含系統全部的模態信息。這些FRF由留數和系統極點組成，而留數直接與模態振型相關，極點包含系統的頻率和阻尼信息。所以組成FRF的參數正是我們希望從FRF中提取的參數。這就是模態參數估計過程。通常我們通過數學運算從FRF中提取組成FRF的參數：頻率、阻尼和模態振型。這個過程通常稱為曲線擬合。提取的基本信息是模態振型和系統極點，而模態振型與留數矩陣相關，極點信息與系統矩陣的行列式相關。

3. FRF形式

在這主要介紹兩個方面：FRF的表現形式和表達形式。表現形式是指可以用幅值與相位或實部與虛部來描述。而表達形式是指可以用加速度、速度或位移與激勵力之比來表達。由於頻響函數是復值函數，因而可以用幅值與相位或者實部與虛部來表示，因此，頻響函數具有幅頻與相頻和實頻與虛頻等多種表現形式，另外還要介紹一種特殊的圖形表現形式即奈奎斯特圖。下面兩圖為同一個頻響函數不同的表現顯示：幅值與相位和實部與虛部。實質上實數與虛部是直角坐標下的複數形式，而幅值與相位是極坐標下的複數形式。因此，二者本質是相同的，只是採用的坐標系不同而已。人們對複數形式的頻譜更易理解和更常見的是用幅值和相位的顯示形式。

幅值和相位

實部與虛部

在幅值與相點陣圖中，幅值的極值表徵一階模態，在模態頻率處，相位變化180度（無阻尼結構）。在實部與虛部圖中，在模態頻率處，實部為0，虛部達到極值。另外，還有一點，早期有一種模態演算法，稱為峰值拾取法，就是把所有測點在某一階的虛部峰值連接起來，即為這階模態振型。

在這我們要記得一個結論：實模態的固有頻率和復模態的固有頻率相等，因此，二者的FRF重合。但是FRF的不同表現形式中，只有幅值譜是重合的，實部和虛部不重合，有偏移，如下圖所示。如果這時用實部或虛部進行模態參數提取，就會出現頻率提取不準確，而用幅值譜，則不存在這樣的問題。因此，模態參數提取時用的是頻響函數的幅值譜，而非實部和虛部（關於這一點後續會有文章說明原因）。

（a）幅值

（b）實部

（c）虛部實模態和復模態頻響函數對比

同一個複數形式的頻譜還可以用之前兩種方式之外的方式來表示：要麼實部頻譜對虛部頻譜，要麼幅值譜對相位譜。這類繪圖形式，就是眾所周知的奈奎斯特圖，如下圖所示，顯示的還是之前那條頻響函數。

奈奎斯特圖中每一點表示特定頻率下的複數振幅。它描述的是特定點的響應的幅值和相位是如何隨頻率變化的。關於用奈奎斯特圖顯示FRF，在這裡要說得更詳細一些，因為大多數工程師對它都不太了解。

從之前顯示的這條頻響函數的幅值譜可以看出，在這個頻帶內有4階模態。將該條頻響函數用奈奎斯特圖表示，如上圖所示。奈奎斯特圖中每一個圓表徵一階模態。在上圖中有4個圓，對應於幅值圖中的4階模態。圓的大小對應幅值圖中FRF峰值的幅值。也就是說，最大的圓對應的是第2階（FRF幅值最高），幅值相點陣圖中共振峰的幅值大小順序對應於奈奎斯特圖中圓的大小。並且，當游標位於共振頻率處時，奈奎斯特圖中的虛部是最大。

前面介紹的是FRF的表現形式，在這裡再介紹FRF的表達形式。由於響應可以用位移、速度和加速度來表徵，因此，當頻響函數用不同的物理量來表徵時，表徵的物理意義也有所區別，具體如下表所示。

我們經常測試動剛度，特別是原點動剛度，實質是基於頻響函數測量方法進行的。並且通常測試時使用加速度作為響應，測量頻響函數得到動剛度曲線。下圖為同一位置的加速度頻響函數和該點的動剛度曲線。

從上圖可以看出，頻響函數極大值對應的是動剛度曲線的極小值，也就是說頻響函數幅值大的頻率處，動剛度小。在該頻率處，很小的激勵就容易把結構激勵起來。而頻響函數幅值小的頻率處，動剛度大，結構很難或不能被激勵起來。

4. 共振峰與反共振峰

在頻響函數曲線中，共振頻率所對應的峰稱為共振峰，在這個峰值處，對結構施加很小的激勵能量，結構就會產生非常大的振動，因而在共振峰處，結構很容易被激勵起來。

當以dB形式顯示頻響函數時，特別當FRF為驅動點FRF時，會發現FRF曲線中有向下的峰值，這些峰稱為反共振峰，如下圖上面曲線所示，在線性顯示的FRF中，看不出來反共振峰，如下圖下面曲線所示。這是因為在反共振峰處，對應的幅值為0，在線性顯示方式中，就看不出來反共振峰了。而以dB形式顯示時，幅值越接近0，則dB值越小，因此，反共振峰明顯。

在反共振峰所對應的頻率處進行激勵，即使激勵能量再大，結構也沒有響應或者響應很微弱，也就是說在反共振峰所對應的頻率處，結構很難被激勵起來。在這個頻率處可以理解為結構的剛度無限大，其實從上圖中也可以看出這一點。

因此，當外界的激勵頻率處於結構的反共振峰處時，外界激勵對結構的影響是最小的。這有點類似於激勵位置位於結構的模態節點處時，外界的激勵對結構影響也是最小的。但二者的區別在於一個是按頻率來區分的，一個是按位置來區分的。

若不考慮輸入輸出雜訊，則共振峰處所對應的相干等於1，這是因為結構的響應完全是由激勵引起的，而在反共振峰處，相干很小（相干係數下墜），這是因為此時響應和激勵之間，二者沒有因果關係，所以相干很小。因為在反共振峰處，即使激勵力再大，結構也沒有響應或者響應很微弱，所以，響應與激勵之間不存在因果關係，因而，相干係數往下掉。

5. 單自由度FRF

單自由度模型只有一階模態，因此，FRF只有一個峰值。單自由度的FRF如下

或為

單自由度的頻響函數如下圖所示。

在低頻段，FRF的幅值是1/k，(k&>&>w2m+jwc)，相位為0，表明共振頻率以下的頻率段主要用佔主導地位的剛度項來描述。

在高頻段，FRF的幅值為-1/w2m (w2m&>&>jwc+k)，相位為 -180o，表明共振頻率以上的頻率段主要用佔主導地位的質量項來描述。

理論上，無阻尼固有頻率處的FRF幅值應是無窮大，但是由於阻尼的存在，導致共振頻率處的幅值不會無窮大，其幅值為1/wc，相位突變180o，表明在共振頻率處主要受阻尼控制。

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待續內容

1. 驅動點和跨點FRF；

2. 為什麼有的FRF有反共振峰，有的沒有；

3. 力錘FRF與激振器FRF的區別；

4. FRF計算；

5. FRF估計類型；

6. FRF的影響因素。

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