關於Fourier transform的尾部decay rate的具體性質？

01-11

我們知道Fourier transform $F:L^{1}(R^n) ightarrow L^{infty}(R^{n})$ ，能將 $f$ 的smoothness傳導為 $hat{f}$ 的decay rate。如 $f$ 則 $|hat{f}(t)| asymp t^{-eta} ,eta > 1$ as $t ightarrowinfty$ 。但是這裡對於decay rate $eta$ 的研究是離散的整數，所以這裡我所說的smoothness轉化為decay rate是一種籠統的不精確的說法。
那麼在分析中，有沒有精確研究 $eta in R$ 的大小和原函數smothness或者其他性質關係的理論呢？如果想得到一類滿足某種性質的函數 $f$ 傅立葉變換後 decay rate $eta$ 精確的bound，應該查閱哪些書和文章呢？

你看看下面這本書是不是符合你的要求：

謝邀，其他人講了不少，其實吧，研究這類東西的方向就是「調和分析」。如果 $W^{k,p}(mathbb{R}^n)$ 表示滿足 $D^alpha fin L^p quad |alpha|leq k$ 的函數構成的空間,不難發現，這是對光滑性的刻畫，另一方面，如果用 $H^{k,p}(mathbb{R})$ 表示滿足

$mathcal{F}^{-1}({(1+|xi|^2)^{ s/ 2}hat{f}(xi)})in L^p$

的函數構成的空間，顯然這個空間主要依靠傅立葉 $hat{f}$ 的衰減度，如果 $kinmathbb{N}, quad 1< q<infty$ ,那麼這個兩個空間是相等的：

$W^{k,p}(mathbb{R}^n)=H^{k,p}(mathbb{R})$

本質上，這就是說明了傅立葉 $hat{f}$ 的衰減度「刻畫了」 $f$ 的光滑度。如果利用插入空間理論，也就是Besov空間 $B^s_{p,q}$ ,那麼可以得到更加精準的刻畫，例如 $B^s_{infty,infty}(mathbb{R}^n)=C^s(mathbb{R}^n)$ 。如果用 Sobolev-Slobodecki space可以得到一些更精細的刻畫。

$hat{f}$ 的decay rate可以推出 $f$ 屬於相應的Sobolev空間 $W^{s，2}$ ,然後可以Sobolev嵌入到 $W^{s-n/2,infty}$ . 而 $p=infty$ 的Sobolev空間其實就是Holder空間……