空間向量叉乘的概念與數學應用。？

01-11

本人高中生，做了一些題，經常碰到與向量叉乘類似的題，希望能有大神把向量叉乘用高中生知識講的略微透徹一點（其實用點大學知識也行??），謝謝

物理上的矢量，數學上有時候又把它叫做向量

經常用 $vec{a}$ 表示，其 xyz 分量我們用 $a_1$ $a_2$ $a_3$ 表示

兩個矢量的「乘法」，常用的有兩種定義

一種叫做內積，或者叫做點乘，或者叫做標量積， $c=vec{a}cdotvec{b}$ ，這種乘法的計算結果是標量（也就是純數），等於兩個矢量的大小（也叫做「模長」） $|vec{a}|$ 的乘積再乘以兩個矢量夾角 $heta$ 的「餘弦」： $c=|vec{a}||vec{b}|cos heta$

把分量寫出來： $c=sum_{i=1}^{i=3}a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

所以，當兩個矢量方向相同時，內積最大；方向相反時，內積最小（負值，絕對值最大）；方向垂直時，內積為零；當兩個矢量交換乘法次序時，內積不變： $vec{a}cdotvec{b}=vec{b}cdotvec{a}$

另一種叫做外積，或者叫做叉乘，或者叫做矢量積， $vec{c}=vec{a} imesvec{b}$ ，這種乘法的計算結果是另一個矢量 $vec{c}$ ，這個矢量 $vec{c}$ 的大小等於原來兩個矢量的大小的乘積再乘以兩個矢量夾角 $heta$ （小於180度）的「正弦」： $|vec{c}|=|vec{a}||vec{b}|sin heta$ ，這個矢量的方向由「右手法則」規定：右手的四個手指指向第一個矢量 $vec{a}$ ，然後四指（以小於180度的角度）彎曲向第二個矢量 $vec{b}$ 的方向，這時候大拇指方向即為外積矢量 $vec{c}$ 的方向

所以，當兩個矢量方向平行（相同或者相反）時，外積為零；方向垂直時，外積最大；當兩個矢量交換乘法次序時，外積大小不變，方向相反 $vec{a} imesvec{b}=-vec{b} imesvec{a}$

矢量外積可以利用 Levi-Civita 符號 $varepsilon_{ijk}$ 把分量形式寫出來：定義 $varepsilon_{123}=varepsilon_{231}=varepsilon_{312}=1$ ，而 $varepsilon_{132}=varepsilon_{213}=varepsilon_{321}=-1$ ，如果有任意兩個指標相同，等於零，例如 $varepsilon_{122}=0$ ，那麼有 $c_k=sum_{i=1,j=1}^{i=3,j=3}varepsilon_{ijk}a_ib_j$ ，或者 $c_3=a_1b_2-a_2b_1$ ， $c_2=a_3b_1-a_1b_3$ ， $c_1=a_2b_3-a_3b_2$

可見，在計算矢量外積時，a矢量的x分量絕不可能和b矢量的x分量乘在一起，三者一定是「錯開」的

從中學的角度來說，矢量外積的結果垂直於原來兩個矢量所組成的平面，或者說，是沿平面的「法向」；而且其方向有某種任意性，和我們的約定有關，如果不採用「右手規則」而採用「左手規則」，一切也可以成立

從本質上來說，矢量外積之所以有定義，和我們所在的三維空間的某種「旋轉」特性有關，而在二維空間中，是不能定義矢量外積的（類似方法定義出來的結果恆為零）

外積計算結果得到的矢量和普通的矢量有一定的區別，物理上叫做「贗矢量」或者「軸矢量」，它們在空間反射變換（即這樣的操作：把xyz軸的正向變成負向，負向變成正向， $x o-x,y o-y,z o-z$ ）下不變，而普通的矢量（為了和軸矢量相區別，普通的矢量又叫做「極矢量」）在空間反射變換下是要變符號的

既然外積的計算結果仍然是矢量 $vec{c}=vec{a} imesvec{b}$ ，可以和另一個矢量 $vec{d}$ 繼續計算內積 $e=vec{c}cdotvec{d}=(vec{a} imesvec{b})cdotvec{d}$ ，這種乘法叫做「三重積」，三重積的大小（取絕對值） $|e|$ 等於以這三個矢量為棱所得到的平行六面體的體積

瀉藥，名字惹的禍，題目不會。

問問你的老師比較靠譜。