一個單位圓圓周上均勻分布 n 個點，互相連接，這個圓的內部會被分割為多少塊？

01-11

答案高能預警:

來,我們來找規律, 大家拿出紙和筆.

前三個很簡單, 1,2,4,所以猜測 $a_n=2^n$ ?

醒醒, $n$ 條直線劃分最多區域才 $l_n=n(n+1)/2+1$

所以 $a_n$ 增速不會超過 $Oiggl(C(C(n,2),2)iggl)=Oleft(frac{n^4}{8}-frac{n^3}{4}-frac{n^2}{8}+frac{n}{4} ight)$

接下來四五六,藉助對稱性不難數出 8,16,30

我就說不可能是指數增長

講道理, 這種題一般都是多項式, 直接擬合四次多項式即可

&>&>來人,放拉格朗日

$a_n=frac{n^4}{24}-frac{n^3}{4}+frac{23 n^2}{24}-frac{3 n}{4}+1$

我大膽預測 $a_8=99$

然而 $a_8=88$ ,A006533 - OEIS

警告，這不是小學找規律

&>&>我上面在扯淡...
&>&>因為不能只有我被坑, 要坑大家一起坑...
PS:我找了好半天規律, GG

這是個世界難題級的找規律,直到1998年才被完全解決

$egin{aligned} a_ n=frac{1}{24} left(n^4-6 n^3+23 n^2-42 n+24 ight)\ +frac{1}{48} left(-5 n^3+42 n^2-40 n-48 ight) delta _2(n)\ +frac{1}{12} left(310 n-53 n^2 ight) delta _6(n)-frac{3}{4} n delta _4(n)+frac{49}{2} n delta _{12}(n)\ +32 n delta _{18}(n)+19 n delta _{24}(n)-36 n delta _{30}(n)-50 n delta _{42}(n)\ -190 n delta _{60}(n)-78 n delta _{84}(n)-48 n delta _{90}(n)\ -78 n delta _{120}(n)-48 n delta _{210}(n)\ end{aligned}$

其中 $delta_k(n)=delta (n mod k),脈衝函數delta的變種$

&>&>是誰給了我找規律的勇氣??????

WTF, Are you kidding ...... killing me???

這個問題可以發一篇 arXiv:https://arxiv.org/pdf/math/9508209v3.pdf

好像同時要用到圖論,群論,數論,域論,組合論,GG...

試著概括一下就是:

1.奇數時,結論顯然

$a_{mathrm{奇}}=frac{1}{24} left(n^4-6 n^3+23 n^2-42 n+24 ight)$

接下來找偶數的修正項

2.把劃分看成一個圖,那麼有

$V ? E + F = 2$

問題轉化為計算邊和點

3.然後舉了個例子,證了一個幾何學的引理

$sin(πU) sin(πV ) sin(πW) = sin(πX) sin(πY ) sin(πZ)$

因為點均分圓(單位根),所以坐標和就是0.

然後用歐拉公式展開,使用換元:

$egin{aligned} alpha_1 = V +W ? U ? 1/2\ alpha_2 = W + U ? V ? 1/2\ alpha_3 = U + V ?W ? 1/2\ alpha_4 = Y + Z ? X + 1/2\ alpha_5= Z + X ? Y + 1/2\ alpha_6 = X + Y ? Z + 1/2\ end{aligned}$