用一刀能從一個實體裡面切出來一個莫比烏斯環嗎？切剩餘的形狀是什麼？請證明

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補充一下，實體是立方體
我認為可以一刀切出來，而剩餘2塊實體，但是不會證明

莫比烏斯環是二維的流形，但是不能在二維空間實現，所以我猜想你的「實體」是三維的，比如球。克萊因瓶不能在三維空間實現。

但是這樣問題就和「從一張紙里剪出一條直線」一樣荒謬了：我只能剪出一條紙帶，剪的痕迹才是線。同樣我不能從三維實體中切出莫比烏斯環（一個面）。

兩個變通方法：

方法一：用一本三頁紙的書（不是流形），可以一刀剪出，可能剩餘一塊。具體見圖。

http://www.casact.org/newsletter/index.cfm?fa=viewartid=3807

方法二：用麵包圈（Solid Torus），不間斷轉著切兩圈，剩餘一塊。具體見圖。

http://web1.kcn.jp/hp28ah77/us27f_mobi.htm

正如開頭討論的，後者嚴格來說不是莫比烏斯環，而是薄薄的三維物體，拓撲上等價（同胚）於麵包圈。如果你接受麵包圈就是莫比烏斯環的話，那麼從一個立方體或球體切出一個麵包圈，還是容易的。若一定要從圓形蛋糕一刀完成幾何上接近莫比烏斯帶的麵包圈，那這刀必須卷刃，雙頭，智能換柄，並且操作者要能透視。立方體就更難操作了。剩餘一塊，與球同胚。

樓上的答案有點問題。在這裡我也回答一下吧，確實是可以的——克萊因瓶，它本質上就是一個三維的Mobius環；沿著它的對稱線一刀切下去之後可以得到兩個Mobius環。

這個問題讓我想起來這張圖了：

餓了……

哈哈，但是莫比烏斯環是二維的，三維的實體怎麼切也只能切出像莫比烏斯環的三維圓環體出來而已。

一個克萊因瓶切一刀，倒是兩個麥比烏斯環

我認為你這裡所說的實體很不恰當，改成一個封閉曲面比價恰當。把這個問題反過來想的話，就是莫比烏斯環的一條邊，與另一個曲面的邊，粘在一起形成一個閉曲面。能這樣做的就兩種情形，兩個莫比烏斯環連在一起與一個莫比烏斯環跟一個圓面連在一起。這兩種情況都不能在3維空間實現，至少應該是5維的。

不對，你認為莫比斯帶有"厚度"的對吧？實際上它沒有厚度，所以"從實體中切出一個摩比斯帶"是不成立的。