如果在公開實時的票選中，得票數第二名的候選人可以勝出，則各候選人的拉票策略是怎樣的？

01-11

看Black Mirror hated in the nation有感

"all pay contest" by Ron Siegel(2007, econometrica)剛好講的是這個內容

上課講的這篇paper(老師自己就是作者)

equilibrium的construction非常複雜，最後時間關係把setup講了3小時給了個結果。。。作業讓我們自己做，暈死

其實如果cost不對稱的話，equilibrium會非常難看，即使是只有一個人可以勝出，舉個栗子，3個人的選舉，他們的cost-score 函數（score的高低最後直接決定了結果）

那麼對應的其中一個均衡解是：

就是每個人用混合策略，然後混合策略的cdf如上圖所示

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只談博弈論，不談潑立題刻思

先講講「兩人競選，僅有一人當選，信息完全已知」的情況下，博弈的均衡結構。（以下所有e代表無窮小量epsilon）

模型的假設是：

1.兩個人分別的當選有效用（utility）x1 和x2，這兩個效用是完全對雙方已知的，也就是第二競選者也知道x1的值

2. 每個競選者選擇一個成本b_i，付出成本高的人獲勝，付出成本相同時，拋一枚無偏差的硬幣決定勝負；

3. 付出的成本無法收回，也就是即使輸了，也無法收回成本

即使在這麼簡單的假設下，均衡的形式也不是完全trivial的。我們不妨假設x1&>x2.

引理1：均衡中不存在有一個競選者使用 b $in$ (0,x2) 的純策略（pure strategy）

這個很簡單，因為只要稍微bid 高於b，就可以獲勝並得到大於零的收益，但是任何b+e/2 都要優於b+e，所以不可能存在純策略。

引理2：使用混合策略的時候，不可能在大於b&>0的點,使用一個大於零的概率。也就是說，只能有density，不能有probability mass。

這個的論證和引理1非常非常的類似。

引理3：在兩個人的競選中，競選者不能使用以下類型的混合策略：在(a,b) 和(c,d) 上使用混合策略，但是不使用（b,c）中的策略。

因為如果競選者1不使用(b,c)中的策略，那麼競選者2也沒理由使用（b,c）中的策略，理由是使用(b,c) 中的策略， b+e和b+e/2贏的概率是一樣的，但是b+e/2的花費更小。所以兩個人都不會使用(b,c)中的策略。這時候我們對比c+e 和b-e，兩個策略贏的概率差是一個無窮小量，但是兩個的成本差是一個定值(c-b)，所以b-e明顯優於c+e.

以上三個引理得出的均衡是：

1. 競選者1 在(0,x2]上使用uniform distribution

2. 競選者2以1-x2/x1 的概率不付出任何成本，剩下的在(0,x2]上以x2/x1的概率密度函數付出成本。

解大概是這樣的

現在談一下更複雜的情況，僅能夠談談難點：

1. 依然假設只有一個人能當選，但是現在有大於等於3個人參加競選。

引理1和2依然成立，但是引理3就不成立了，因為引理3不成立是因為如果有一個人在(b,c)上不使用策略，那麼兩個人都不在(b,c) 上使用策略；但是在3個人的競選中，可以允許只有一個人不在某個區間不使用策略，另外兩個人在這個區間上使用策略。

解的數目不僅僅只有一個。很明顯，假設第三個人總是不參與（就是永遠付出0成本），那麼再加上我們在上一步解出的解，就得到了一個解；但是事實解不只有這一個。

2.假設有k個人當選(k&>1), 有N個人參加競選(N=k+1),

這種情況，難點在於我們要怎樣定義一個最「弱」的競選者。

解的步驟是：我們先將競選者按照「實力"排序，然後再用某個演算法決定均衡解

這個問題下，僅有一個唯一的混合策略均衡解(see Ron Siegel 2007 Econometrica)

3. 假設有k個人當選(k&>1), 有N個人參加競選(N&>k+1)

系裡面有學長在和老師做這一塊，已經完全不懂了...

分兩種情況;

選民知道第二的人會獲勝

選民不知道第二的人會獲勝

拉票策略與「得票第一的候選人勝出」時候策略完全相同，儘可能多獲取選票。

但競選策略可以選擇「克隆人參選「。

「克隆人參選」競選策略由三個概念構成。

「真候選人」不被視為真實存在的自然人，而是一個各種信息組成的集合體。

「本體候選人」為自然人，以自身信息為基準，提出競選策略，創造出「真候選人」。

「克隆候選人」為自然條件與「本體候選人」非常接近的自然人，使用與「本體候選人」完全相同的策略參選。

在競選過程中，「本體候選人」和「克隆候選人」應最大限度保持行為一致，平均獲得「真候選人」的得票。

在選舉最終階段，通過「本體候選人」和「克隆候選人」互相吃票的方式控制「本體候選人」的得票數贏得競選。

為了獲得更靈活的得票數，可能會出現「雙克隆」甚至「三克隆」的參選策略。

可能會出現「傀儡人競選」策略。

不過是把投票贊成換成投票反對罷了;不想讓誰當選就投給誰,候選人該怎麼拉票還是怎麼拉票。當然只針對最有希望的兩候選人的情況。

從炒的很熱的媒體策略角度切入吧。

根據美國的尿性，除了兩個熱門候選人，其他人都會被選擇性無視，這為公眾的關注點設置了議題，於是重點就變成兩大候選人爭第二。然後，拉票就再也不是拉票了，就成為送票了，基本上可以解釋成如同「陶片放逐制」那樣的投票方式，那麼策略基本還是沒變，把拉票變送票而已。

需要注意的是這種方法反而更容易出現黑馬

如果一共只有2個候選人的話就簡單了

此話題屬於不可公開討論的政治內容，CCP不允許拉票（一本正經臉）