兩個人爬兩架梯子，每一次都擲骰子決定自己爬幾格（1~6），求第n次兩人高度相同的概率？

01-11

感覺可以只考慮一個人，也就是從+5~-5的概率是1:2:3:4:5:6:5:4:3:2:1。
最後大概應該是一個單調遞減的有理函數，除此之外沒有想法了……

題主已經算出了每輪擲骰子後兩人距離的分布列是(1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1) / 36。

由於每輪擲骰子都是獨立的，而兩個獨立的隨機變數之和的分布列是兩個隨機變數分布列的卷積，所以擲n輪骰子後，兩人距離的分布列就是n個上述分布列卷積之後的結果；兩人位於同一位置的概率，就是這個分布列最中間的那一項。

這個數怎麼算呢？我嘗試使用概率母函數。

注意到(1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1) / 36這個分布列可由(1,1,1,1,1,1) / 6與自身卷積而得，所以擲n輪骰子後距離的分布列就是2n個(1,1,1,1,1,1) / 6卷積的結果。

(1,1,1,1,1,1) / 6的概率母函數是 $1+z+z^2+z^3+z^4+z^5=frac{1-z^6}{1-z}$ ，

所以n輪後距離的分布列的概率母函數是 $left(frac{1-z^6}{1-z} ight)^{2n}$ 。

兩人位於同一位置的概率是這個分布列的第5n項（把首項看作第0項），其值為

$left. frac{1}{(5n)!} frac{partial^{5n}}{partial z^{5n}} left( frac{1-z^6}{1-z} ight) ^{2n} ight| _{z=0}$

可惜我也化簡不下去了。

（我也嘗試過使用離散時間傅里葉變換，同樣也算不下去）

我用暴力方法算得n取1,2,3,4,5的時候，兩人位於同一位置的概率分別為

$frac{6}{36}, frac{146}{36^2}, frac{4332}{36^3}, frac{135954}{36^4}, frac{4395456}{36^5}$

在The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences? (OEIS?)上一搜，居然還真搜到了各項分子組成的數列：A063419 - OEIS。

所以，如果題主想要精確值的話，可以到這裡來查了。

雖然我沒給出精確值的閉式表達式，但當n足夠大的時候，想要估算兩人位於同一位置的概率還是很容易的。

容易算出，分布列(1,1,1,1,1,1) / 6的方差是 $sigma^2 = frac{35}{12}$ 。

根據中心極限定理和大數定律，當n足夠大的時候，兩人距離的分布近似為正態分布，其均值為0，方差為 $2nsigma^2 = frac{35}{6}n$ 。

兩人位於同一位置的概率，近似等於該正態分布的概率密度函數在區間[-0.5, 0.5]上的積分，又近似等於該正態分布的概率密度函數在0處的取值，即 $frac{1}{sqrt{2pi cdot 2nsigma^2}} = frac{1}{sqrt{35pi n / 3}}$ 。

下圖顯示了n在1到20之間時，兩人位於同一位置的概率的精確值（紅色）和近似值（藍色），可以看出近似效果還是不錯的。

寫出一個類似楊輝三角的三角形：第n行代表n次擲骰子的基本事件個數分布。第一項為點數為n的基本事件，個數為1；第二項為點數為n+1的基本事件，個數為2。第i行行有5i+1項。第i行第j個的意思是：第i次擲出點數為i+j-1包含的基本事件的個數，我們命名為 $a_{ij}$ 。這個三角形前三行是這樣的：

C(0,0),C(1,0),C(2,0),C(2,0),C(1,0),C(0,0)

C(1,1),C(2,1),C(3,1),C(4,1),C(5,1),C(6,1),C(5,1),C(4,1),C(3,1),C(2,1),C(1,1)

C(2,2),C(3,2),C(4,2),C(5,2),C(6,2),C(7,2),[C(8,2)-3],[C(9,2)-9],[C(9,2)-9],[C(8,2)-3)],C(7,2),C(6,2),C(5,2),C(4,2),C(3,2),C(2,2),

這個三角形是對稱的，每一行前六項和後六項規律非常顯然，組合數上標固定是i-1，下標自i-1遞增至i+4。這是因為：當j $leq$ 6時， $a_{ij}$ = $sum_{k=1}^{j}{a_{i-1,k} }$ = $sum_{k=i-2}^{i+j-3}{C(k,i-2)}$ =C(i+j-2,i-1) (嚴格證明需要數學歸納法，但不難所以從簡)。這個公式的解釋是： $a_{ij}$ 的最後一步有六種基本事件（6個點數），設 $a_{ij}$ =m，最後一擲為k時包含的基本事件數與前i-1次結果為m-k包含的基本事件數（ $a_{i-1,j-k+1}$ ）相同。當j $leq$ 6時，這個組合數是從C(i-2,i-2)（也就是C(i-2，0)）開始加，表現出很強的規律性。

那麼為什麼當j &> 6時就要減去一個數呢？因為一個骰子只能有6個點數， $a_{ij}$ 最多能上一行的六項和。當j &> 6時，， $a_{ij}$ = $sum_{k=j-5}^{j}{a_{i-1,k} }$ =求和不是從第一項開始，而且遞推公式的後半部分（組合數求和）很可能就不準了，這個解釋起來很麻煩，但是看看上面的三角形第二行：從第六項往後，組合數下標不再是遞增的，而是遞減的。所以第三行的第七項就是第二行的第二項到第七項的和，C(8,2)減去的3中，有C(1,1)=1，以及C(5,1)和C(7,1)的差值2。而這個3對應的基本事件是：三個骰子1，1，7的情況共三種。

我表達能力渣化，但是如果你理解力很強，看懂了我說什麼的話，這個三角形就不難寫下去了。基本事件的個數清楚了，後面的就是初等古典概型，應該難不到你了。通項公式神馬的我相信有，但是畢竟我是個非數學專業的業餘愛好者，估計不一定能搞出來。。。

專業的就是不一樣啊，差距。。。。。。。。。。。。。。

大家都這麼專業的解，懶得思考的趕緊寫段代碼壓壓驚。。。

Matlab