一個正圓，半徑為 r，任意作它的一條弦，問這條弦的長度大於根號3倍的 r 的概率是多少？為什麼？
缺條件，必須明確 「任意」 的意思，即取弦的方法。
比如可以先在圓周上以平均概率取兩點，然後連接他們得到弦，那麼只需考慮兩點的相對位置。
答案自己算。也可以先以平均概率取一個半徑，再以平均概率在此半徑上取一點，過該點做該半徑的垂線得到弦。答案自己算。
兩種取法都是任意，但答案不同。
======補充======謝謝 @Eli Gao 的補充，這原來是一個被考慮過的問題：http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)還有第三種選法，是任選圓內一點，取以此點為中點的弦。我來寫個對最高票的補充。解答最高票評論中出現的一些問題。
所謂「任意」這個詞不明確，並不是單純的取法沒有明確。而是任意這個詞本身是有問題的。將這個問題轉化成怎麼取和在這種取法下的概率實際上是改變了題目的原意。本文目的只是感性地審視一下我們高中學的概率的不嚴格，看看為啥需要嚴格的來定義。目標讀者是擁有高中數學知識的童鞋。請學過實分析/測度論的同學點右上角的叉。為了方便理解起見，本文的用辭彙比較簡單（也就是not mathematically rigorous, even not mathematically correct），同時盡量少地使用數學。
這個是第二稿，幾乎推倒重寫了。寫的更通俗一點吧，也省略了原來打算寫進來的東西。
=============================================================================在承認這三種取法不一樣會導致最終結果不一樣的情況下，我們應該不滿足於這是由取法造成的，應該去想想，為什麼取法不一樣會造成最終結果不一樣？我們把這個問題換成
「從一個單位圓的弦組成的集合里，』隨機『地取出一個弦，這個弦的長度大於根號三」這個事件的概率存在嗎？存在的話是多少？
當這個問題被這樣陳述以後，原來怎麼得到弦已經不重要了，因為，我們是在一個集合里取，無論這個集合里的弦是怎麼被一根根地從單位圓里取出來放進這個集合里，都不重要了。這個任意沒有涉及取法到底是先有邊、還是先有中點、還是先有一條半徑。我們僅僅是在一個集合裡面「任意取」一個元素。
首先談談為什麼取法會影響概率。這裡的取法實際上並不僅僅是一個應用題的情景，在簡單的模型化之後就可以扔掉了。在這裡，取法實際上是對應著一個「一一映射」的概念。（一一映射指的是對從X到Y的一個映射，滿足對任意X的元素，有且只有一個Y中的元素與之對應，並且對每一個Y中的元素存在一個X中的元素與之對應，比如y=3x就是一個一一映射，y=sinx就不是）讓我們看兩個例子：
有限集合：我們做一個{1，2，3}到{1，4，9}的一一映射y=x^2。很明顯可以看到，如果從前一個集合里隨機取一個元素（概率為三分之一），那麼第二個集合里每個元素被取到的概率也是三分之一。
無限集合：從[0,1]到[0,1]的映射y=x^2.在前一個集合里隨機取一個元素的「概率」和其對應的第二個集合里的元素的「概率」似乎不一樣了。此處概率打了引號，因為實際上的概率是零，是一樣的，然而這並沒有什麼卵用。我們對這種連續分布的集合，跟關心這個點周圍一小段（即鄰域）被取到的概率。如果用概率論里的說法就是概率密度不一樣。怎麼來理解這個概率密度不一樣呢？我們看原來取到一個數落在[0,0.5]的概率是0.5，然而，它的平方一定是小於0.25的，也就是說，在第二個集合里取到[0,0.25]的概率是0.5，而在[0.25,1]里的概率也只有0.5，也就是說，被這個一一映射射過以後，就不再是均勻分布的了。
從這個問題中也可以看到，我們取中點是在圓內均勻的取的，然而通過「中點到弦」這個一一映射之後，弦並不是均勻地被取到了。
那第二個問題是：我們能不能均勻地隨機地從這個弦的集合里取出一根弦呢？
這個問題可能很白痴，因為既然你有一個集合怎麼能不可以均勻、隨機地取出一個元素呢？那讓我們看看怎麼樣叫隨機取出。比如，在[0,1]中隨機取出一個數，概率都是一樣。這是個好的定義嗎？當然不是，因為不論[0,1]上的分布是怎樣奇形怪狀的，我們取到某個數的概率都是零。也就是說，這麼定義沒什麼亂用。那我們怎麼改進一下呢，我們讓對任意(0,1)的數x，區間(x-r,x+r)（r是一個很小的常數，取很小是為了讓他別跑出定義域，比如當x=0.99，那r就不能大於0.01）能被取到的概率都是一樣的。這看起來比剛才那個要好一點。那我們用這個定義來看看：我們能不能從全體實數上隨機取出一個數來？
這個好像很容易：我隨機地取個3.14！再隨機地取個803489345032.5639458925252！很棒耶( ?? ω ?? )y，不管多大的數都可以取到！然而真的是這樣嗎？我們數學上有個定理，說的是你這麼取啊取、取啊取，當你取得足夠多的時候，你取出來的數的樣本的分布是和你取法的分布（隨機變數的分布）是一樣的。（不是樣本參數的分布和隨機變數的分布一樣，比如均值的分布就和這個隨機變數不一樣了）。假設我們取了n次，最大的數的絕對值是a_n，那麼，所有的樣本都在[-a_n,a_n]這個區間里，那我們應該取足夠多的次數，也就是n足夠大，這個區間會趨向於整個實數軸。然而這不可能，因為不論這個a_n多大，總有無數個區間（比如[a_n,2a_n], [2a_n, 3a_n]……）上一個數也沒被取到！（不考慮邊界，因為打半開半閉區間太麻煩了==、）也就是說，我怎麼取都只能取到原點左右一小塊地方。（這個一小塊可以很大，但和整個實數軸比，還是小了點。）我是沒有辦法取在整個實數軸上均勻、隨機地取一個數的。
那問題來了，問什麼[0,1]上可以均勻地隨機取到一個數，為什麼整個實數軸就不行了？（請注意此處均勻的重要性，我們是可以依照其他分布隨機取一個數的，比如我們可以正太（劃掉）正態地取隨機取一個數。）那我們看看這兩個集合有什麼不一樣。
是這兩個集合裡面點的個數不一樣多嗎？看起來好像是的。畢竟一個那麼長、一個這麼短。但是我們考慮下我們怎麼看點的多少呢？我們對有限的集合，直接數一數他們有幾個點就好了，比如三個就是三個，四個就是四個，很好比較。但是對無限的集合就有點麻煩了。因為兩遍都是無窮多，怎麼比？所以我們用一種新方法，就是兩遍各抓一個，扔掉，繼續抓。這樣每次抓的兩個建立起一個映射。如果兩個集合能夠建立起一一映射，就說明這兩個集合一樣多。那麼明顯地（並不）、[0,1]這個區間可以建立起一個到實數的一一映射，我們把y=tan x這個函數平移再縮放一下就好了。（注意，這是一個mathematically wrong的說法，因為沒考慮邊界情況，但這裡我們先不關心這個邊界情況，因為太複雜了，當(0,1)就好了==、）我們發現，可以建立一個很短的線段（要嚴格的話就是去掉兩段）可以建立起一個到無限長的直線的一一映射。那麼所有的開區間(a,b)有的點數實際上就和實數一樣多！我們把這個叫做集合的勢（cardinality），實數的勢叫做阿列夫一（aleph-1）。相對的，自然數（整數、偶數、奇數）的多少，就叫做阿列夫零。（注意這並不是一對CP，因為還有更多的數，分別是阿列夫二、阿列夫三……）
這樣的對集合大小的定義顯然並不是很好。因為從這裡我們發現看起來不一樣大的集合，他們的元素個數居然是一樣的。那我們怎麼辦呢？突然想到，除了這個一一映射的定義之外，我們還有個很常用的概念沒有利用。就是長度、面積、體積！不同大小的線段長度不一樣！這看起來比那個「勢」好多了！
那怎麼定義長度來著呢？很簡單嘛！開頭量一下，在1的位置，結尾量一下，在3的位置。好啦！這個線段的長度是2！那我們順著這個思路來規範地定義一下：
1. 空集的長度應該為零。2. 一個單元素的長度應該為零。（這條並不需要，可以從第四條推出來。我們拿[a,b]和[a,b)兩個集合減一減就發現單個點的長度是零了。）3. 一個兩段為a，b的線段（不論是不是有端點）長度應該為|a-b|4. 如果一個集合是兩個互相不重疊的集合的並集，那麼他的長度應該是兩個集合長度加起來; 如果這兩個集合有重疊部分，那麼長度應該是再減去這個重疊部分的長度。有了這個長度的定義我們可以表示出任何由各種區間交並出來的集合的長度了。（我們把種集合叫做Borel集。把所有這樣的集合的全體叫做「Borel-sigma-代數」。）但是，我們能不能得到實數集的任意子集的長度呢？答案是不能！到目前為止，我們知道的Borel集都是可以測出長度的，但是還有很多集合是不是borel集但是能測出長度來，還有很多集合根本測不出長度來！（數學家可以證明存在這種集合。有興趣的讀者可以看看讀讀實分析的書，看起來還是還挺痛苦的==、）
那我們為啥要講長度呢？
因為我們發現我們的概率定義和這個差不多。概率也是定義空集的概率為零。也滿足兩個互斥（不是獨立哦）事件的並集發生的概率（不是都發生，是某一個發生）的概率是兩個相加起來。所以是很像的對不對！唯一有個區別是概率要求所有事件的全體發生的概率為1.而我們之前的長度沒有這個要求。但是這個轉化很容易嘛！只要不是無窮大，除以一個數就可以讓它變到1了。比如[0,10]的長度為十，如果一個隨機數只在這裡面取，我們把某一段線段的長度除以十就是他落到這個區間的概率了。我們也能算出所有[0,10]裡面所有區間交並補得到的集合的概率。既然這兩個東西差不多，我們就給他們一個名字吧，既然他們都是在測量某個東西，就叫測度吧！
那我們能不能從「所有弦」這個集合里隨機取一個元素出來呢？我們發現，所有弦的集合他不是一個實數軸上的集合啊！他也不是一個平面的一個子集啊！！！摔！！！！我們需要把原來的「長度」/「面積」的定義拓展到更一般的集合上去。但是這實在是太複雜了！需要嚴格地數學來完成。不能像我這樣胡說八道了。
總結一下：
1. 一一映射不能保證概率分布一樣。所以取法影響概率。2. 無限的集合裡面並不一定能不能均勻地、隨機地取他的元素。3. 嚴格地數學是很有必要的！所以請有興趣的同學看看自己去看看名字裡帶「測度論」、「實分析」、「實變函數」的書吧。問題所屬不構成概率空間。請定義概率測度。
這三種方法可以簡化為求圓內通過這三種方法確定的弦中點的密度分布問題。第一種方法與第三種方法，除了圓心之外，每一點都是一一對應的。對於第一種方法，圓心是特殊點，因為選取不同的直徑，弦的中點都落在圓心上。如果設圓內其他區域點的面密度為有限常數a的話，圓心的密度是一階無窮大，是半圓弧的線積分除以點的面積得來。對於第三種方法，圓內每一區域點的面密度都是一樣的。因此，第一種方法所有點的和的重心更接近於圓心，其任取弦大於√3r的概率要大於第三種方法。對於第二種方法，以平均概率取一個半徑，再以平均概率在此半徑上取一點作為弦的中點，由於點在半徑上的線密度一致，非常容易理解，離圓心越近的區域其面密度越大，與半徑r成正比。因此弦中點的密度分布是按徑向線性遞減的，類似於點光源的光線強度在空間的分布。定性分析，其任取弦大於√3r的概率也要大於第三種方法，至於是否大於第二種，需定量計算，並且還與√3有關。
這是貝特朗奇論嘛。
Bertrand悖論，概率公理化後解決
簡單的回答是，沒有概率空間，就不存在所謂「隨機」的概率。
所以在不同的概率空間的定義下，我們可以得到完全不同的隨機定義，於是得到各自言之成理的結論。正如上面某答案說的，概率公理化後才能徹底解決問題。弦其實由圓周上兩個端點完全固定，端點在圓周上僅有一個自由度，用自然坐標s表示，那麼弦長就是（s1,s2）的一個二元函數，雖然s1和s2的範圍都是負無窮到正無窮，但考慮周期性和對稱性，可以考慮讓s1=0，s2在0到2πr,在這種意義下概率為1/3;然而弦的長度與其所截半圓的面積有明確的的函數關係，L=f(S)，在這個定義下概率為
要是問題改為求它的所有弦里大於根號3r的弦所佔的比例該怎麼解？
用圓心角不就可以了嘛
最初的想法是1/3。
但看了其他人的答案之後，同意這概率確實關係到如何定義「隨機」取點的方法。方法不同，概率會不同。考慮到(√3)r是個中學幾何常見的值，如果按中學幾何來看的話，此取弦的方法應該是：一點是圓上定點，另一點為圓周上任意點，求連接兩點作弦的長度大於(√3)r的概率。
這種情況下，易證明概率是1/3。
其他的可能，就留給學有餘力的人探討吧……咱當年高中數學各種不及格……匿了。推薦閱讀：
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