估計量(estimator)服從正態分布是什麼意思？

01-11

對服從正態分布的表述不是很理解，求解讀

是這樣的。問題在於區別estimate，estimator和estimation這三個詞上。

統計推斷的一個主要任務就是用抽樣去估計總體分布的參數。比如，我們想要推測正態總體 $N(mu, sigma^2)$ ，其中總體參數 $mu$ 和 $sigma^2$ 是未知的，所以我們從中進行抽 $n$ 次樣 $X_1, dots, X_n$ ，用這些抽樣去估計未知的參數 $mu$ 和 $sigma^2$ 。

具體怎麼估計呢？不同的估計方法使得我們可以構造不同的「函數」 $g(.)$ ，使得我們用 $g(X_1, dots, X_n)$ 來表示某個參數 $heta$ （也就是這裡的 $mu$ 或者 $sigma^2$ ）。我們稱這一坨 $g(X_1, dots, X_n)$ 為參數 $heta$ 的統計量（estimator）。注意，這裡的樣本 $X_1, dots, X_n$ 本質上是隨機變數，所以統計量 $g(X_1, dots, X_n)$ 也是隨機變數，所以統計量天然會有一個對應的概率分布。這是因為隨機變數和概率分布在理論上是嚴格一一對應的。

當樣本抽出來後，我們知道具體的小 $x_i in mathbb{R}$ 值，即 $X_1 = x_1, dots, X_n = x_n$ ，此時代入統計量，就得到了參數 $heta$ 基於這些抽樣值的估計（estimate） $g(x_1, dots, x_n)$ 。這裡小 $x_i$ 和大 $X_i$ 的區別就在於前者是具體的、不帶隨機性的實數，後者是帶有具體概率結構的隨機變數。整個尋找具體的「函數」 $g(.)$ 的過程，稱為estimation。

分清楚上述概念後，我們知道estimator $hat{ heta} = g(X_1, dots, X_n)$ 是一個隨機變數，它的分布和估計方法顯然有關係，也就是和「函數」 $g(.)$ 顯然有關係。一般來說，找這個具體的分布是很難很難的，但如果是使用極大似然估計（ML estimation），就會使得估計量estimator具有漸進正態性。也就是說，當 $n$ 越來愈大，估計量的分布就越接近正態。

估計量是樣本集的函數，樣本是隨機變數，所以估計量也是隨機變數。隨機變數自然就可以服從某某分布啦。

謝邀。

一個隨機變數服從正太分布意味著它具有概率密度函數N(u,D)其中u是均值，D是協方差矩陣。我這裡不方便打公式可以百度或維基看公式。

要理解正態分布的普遍性和重要性，我們必須了解中心極限定理。它基本上是在說，不太奇怪的隨機變數的和滿足高斯分布。

「來跟我玩吧，」小王子提議說，「我很難過……」
「我不能跟你玩，」狐狸說，「我沒有經過馴化。」
——聖埃克蘇佩里，《小王子》

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謝邀。

某某變數『服從正態分布』，意思就是可以用正態分布來描述該變數。

某種程度上，可以把『服從』當成『（已被）馴化』理解。當我們能用某個已知的分布模型描述一個變數的時候，則可以設想成該變數已被『馴化』，對該變數進行分析就不需要重新建模，而可以直接套用對該分布的既有知識去解決問題，省略了好多煩心事。

正態分布就屬於統計學裡面最重要的一種分布模型。它體態優美、參數簡明（均值μ決定對稱中心，標準差σ決定分布形狀）、概率計算簡單方便，雖然其概率密度函數看起來有點嚇人——

相信學過統計學的人，一看見『某某變數服從正態分布』這樣的描述，腦海里立刻會浮現出那知名的兩頭低中間高的『鐘形曲線（bell-shaped curve）』，同時覺得問題已經解決了大半。

圖片來源：維基百科_Normal distribution

第一個答案已經寫得很清楚了，至於為什麼MLE會服從正態分布見中心極限定理

簡單地說，估計量是(一個)統計量，這個統計量服從正態分布，就這樣。