平均值為什麼被叫做期望值？

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平均值是對樣本的一個統計量（statistic），是可算的。

期望值是對隨機變數在某個度量中的描述量，是理想化的，被估計的。

大數定理（有很多版本，條件不同，收斂不同）：

如果是隨機獨立一致樣本（i.i.d)，當樣本足夠大的時候，平均值向期望值收斂。

討論：

如果對樣本i.i.d.有把握，平均值可以作為隨機變數期望值的估計。

期望值是first moment，這種估計法也叫矩法（methods of moments）。在對隨機變數分部不清楚的時候methods of moments很好用，但沒有MLE（maximum likelihood estimator）收斂得快。

正態分布的first two moments正好和MLE一樣。

當樣本相關性不小的時候，平均值估計出的期望值會有很高的偏差（bias），往往需要修正。

期望估計往往是第一步，對樣本背後變數的真實分部的估計要更複雜。期望值的收斂是一個數的收斂，分部的收斂是函數收斂。正確的函數估計有很多用處，比如做假設檢驗（hypothesis testing）。又比如在保險行業，應對的都是小概率事件。他們對分部在尾部的收斂要求非常高。

ps：統計中文不好，請多包含。

感謝 @七月@niaocu 指正

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謝。

這個問題的產生還是因為概念不清晰。

說正題前先提一下：像有一位知友說的那樣，平均值有很多種。不過我猜題主想問的是 arithmetic mean，所以其他我們先不說。

在建議題主重新去看期望的定義之前，不如先思考下這三個問題：

什麼是期望？所謂期望，它是什麼東西的期望？期望可以傳達怎樣的信息？

第一個問號：

期望是一個考量某一隨機變量 X 的概率分布密度函數重心的概念。換句話說，它是 X 在「中間位置」能取到的值。

第二個問號：

期望說的是一個隨機變量的期望，但因為根據期望的定義、我們通常通過隨機變量的概率分布密度函數來考察期望，所以我們有時候也會說「一個概率分布的期望」或者更簡單的「一個分布的期望」。

第三個問號：

既然期望是一個有關隨機變量概率分布的重心的概念，那麼它傳達給我們的信息就是一組數據中最中央那個位置的值（請注意由於隨機變量也可以是多維的，這裡的表述沒有使用「數」）。若以圖形描述，密度函數的峰值對應的就是這個分布的期望。

這時候再回到期望的兩個定義：離散和連續兩種情況分別對應的是 x·f(x) 的極限和積分。想想為什麼是這樣的定義；為什麼是 x·f(x)，為什麼是極限或者積分。

我想，上面的這些對讓題主理清概念的幫助要比直接說 A 是何 B 是何更有意義些。

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