從對一個外行解釋的角度，分析一下什麼是小波分析？
能推薦一兩本對非數學背景的、比較容易快速入門的基礎書更好
這個是兩年前的問題了，現在回答不知道算不算挖墳……個人翻看了不少國內目前出版的小波方面的教材，要麼過於數學化，要麼只是編程軟體的簡單翻譯。我認為在中文教材中，能將小波說得比較明白的教材是電子工業出版社翻譯的【小波與傅里葉分析基礎】（綠皮），原著是Albert Boggess（美）。如果英文尚可，建議還是看英文教材，解釋更加通俗易懂。另外強烈推薦兩篇博文（其實是一個系列）：小波變換和motion信號處理（一）
小波變換和motion信號處理（二）
作者閱讀了國外的小波教材之後，用通俗的語言對小波進行了介紹，看完以後有一種醍醐灌頂的感覺，如果作者Windstorm也在知乎，請允許我對你表達感謝。2013-02-27今天翻看了華章系列的【小波與小波變換導論】，原作者是美國的C.Sidney Burrus等人，國內版由程正興翻譯。個人感覺裡面不少例子都與上面兩篇博文有相似之處，對於小波分解、信號處理等方面的分析十分易懂，推薦之！沒有一個滿意答案，我本來是想來看答案的，我說說我所理解的吧。高維數據因為其計算代價昂貴（緯度高計算必然昂貴）和建立索引結構的困難（空間索引結構往往面臨著「維度災」），因此有對其進行數據壓縮的需求，即對高維數據進行降維，傅里葉變換和小波變換都可以用來做這件事，具體說來就是，傅里葉變換用不同頻率的三角函數的和去擬合原始信號，對於每個單獨的三角函數，只需要記錄其相位和幅度即可。資訊理論可以證明，對於一個長度為n的離散信號（計算機中所有的信號都肯定是離散的），可以分解為n個三角函數的線性組合，這n個三角函數的頻率是按2的指數倍遞增的，這兩種表示方法是等價的，也就是從後者（三角函數的信息：相位、幅度）可以完美地重構出前者。而原始信號中的主要信息都集中在低頻分量上，高頻分量往往是噪音，因此我們可以對變換後的三角函數係數只保留其前k個係數，而忽略剩餘的高頻部分，這樣就將數據降為了k維，由於高頻大多是噪音，因此丟失信息並不多。以上說的是傅里葉變換，小波變換也是一樣的，只不過它使用的基底函數不是三角函數，而是所謂的小波函數，所謂「小波函數」是一族函數，需要滿足1.均值為0；2.在時域和頻域都局部化（不是蔓延整個坐標軸的），滿足這兩條的函數就是小波函數，有很多，最簡單的是Haar Wavelet。所以小波分析或者說小波變換要做的就是將原始信號表示為一組小波基的線性組合，然後通過忽略其中不重要的部分達到數據壓縮或者說降維的目的。以上是我的理解，對於小波變換我也有疑問沒有搞清，有不對的地方請指正。
A wavelet transform breaks the signal into a sum of scaled and translated mother wavelets.[1]傅立葉分析是將一個函數用餘弦函數的平移和伸縮來表示，而小波分析是用母函數經過平移和伸縮來表示。 @ihuz hihuzh
附上一張直觀的圖（come from Shahi S.K.and Baker J.W(2014)）：
終於碰到一個我能稍微回答一下的了，雖然快2年沒碰我也忘的差不多了。說的有錯誤的地方歡迎指正。這應該是我在zhihu上的第一個回答。
ls幾位都提到了小波分析是傅里葉變換的「進階版」。
傅里葉變換，可以理解為將一個函數映射到（L2空間的）某組基上。觀察這組基(嚴格來說不是一組基)cosx,sinx,cos2x,sin2x...發現有個特點是它可以由一個母函數cosx通過平移和縮放獲得。小波分析類似，它的進階就在於母函數這樣的母函數做有什麼好處呢？窗口化！
假設傅里葉變換f(x)=a1*cos(x)+b1*sin(x)+a2*cos(2x)+b2*sin(2x)+...+ak*cos(kx)+bk*sin(kx)已經能滿足精度要求了（再往後的高頻都是雜訊了），可以發現每個映射的分量都是在幾乎全定義域有非零值。如果是小波變換呢，f(x)=c1*
上面說了好處，說下壞處，就是小波母函數要求太高了，太難找了！！！！！（能不要求高么，一個函數通過平移和變換就能構成一組基，太逆天了）
最初的haar小波是一個非常簡單的小波，可惜不是連續的，正則性太差。推薦一本書，Daubechies的&
小波分析是把一個信號一層一層的拆解開來，這樣你就可以在不同的維度去分析這個信號。數學上的表達很麻煩，如果非要淺顯的說明，個人覺得看過最好的入門介紹是Matlab wavelet toolbox裡面的那個介紹，圖文並茂啊。
我最近也在看這方面的書，畢業論文需要用。我大致說一下我這個外行一個月學習的理解。
傅立葉分析是將一個函數用餘弦函數的平移和伸縮來表示，而小波分析是用小波函數經過平移和伸縮來表示。
而且數學上是可以證明小波函數可以經過平移和伸縮構成一組正交基來表示所有的L2空間函數，而這個L2空間由所有的能量有限的函數組成。
當時看到這個定理覺得尼瑪太神奇了，函數空間和向量空間一樣可以由一些正交基組成，嗷買噶！
另外能量有限的意思就是該函數的模的平方對時間積分有限。
這就是小波分析的本質。
好了，我們再看小波函數怎麼得到呢？就要提到Mallat的工作了，就是多解析度分析MRA。這個有點難，我也說不太清楚，總之按照這個分析方法最後可以得到一個雙尺度方程，求解它就能得到小波函數和尺度函數。
你可以把這個當成一種得到小波函數的方法就行，而且該方法要和你的實際問題相結合，得到自己的小波函數。不過這很困難，一般我們都選擇已有的小波函數，可以選擇最能解決你問題的小波函數。
總之你可以發現，小波分析比傅立葉分析應用範圍更廣更有用，可以告訴你某個時間段頻率分布，或者某個頻率段時間分布，而且演算法的增長是線性的，比傅立葉分析更快！傅立葉變換你只能看到時間角度的信號或者頻率角度信號，同時從兩個角度看信號是不行的。
但是如果要學習小波分析，推薦先大致瀏覽下傅立葉分析，會對小波分析有基本的體會。畢竟MRA確實挺難的，直接看一點頭緒都沒有。Conceptual Wavelets in Digital Signal Processing: D. Lee Fugal: 9780982199459: Amazon.com: Books
http://eeweb.poly.edu/iselesni/lecture_notes/WaveletQuickStudy_expanded.pdf如果你知道傅立葉變換可能就容易多了， 傅立葉變換是把滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。小波分析在傅立葉變換上的擴展， 用小波函數來表示某個函數的局部的一種函數變換方法。
類似於傅里葉變換，其實就是為了方便而把信號分解到其他域中去分析，小波分析的精髓在於它將信號分解到了不同的時間尺度下，因此，既可以縱管全局，也可以呈現細節。
計算機出身的，現在搞CS的，之前一直在避免這個問題，因為非電氣方面出身，這些東西總覺得很難，現在終於避開不了了，我覺得@chris sun 說的挺好的
不懂，但是還是要瞎說兩句：一種信號分析工具。如果你去搞這個專門研究或者利用這個作為工具來工作，那就必須去掌握相關的數學理論。如果只是愛好數學或者物理，那麼對於這種工具性的理論大致明白是做什麼的即可。《從大學數學走向現代數學》的第二章中的傅立葉展開部分可能有點幫助。
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