如何證明這個雅克比行列式恆為零得出的結論?

設 是二元連續可微函數, 不為常函數,

若 ,

則存在函數 使得

這裡 表示梯度.

(或者等價的，F可表為G的函數)

條件G不為常函數可以加強為G只有孤立的臨界點（否則如果G在一個臨域內為常數，則很容易舉出反例）。你同學的解答我沒有細看，但是大致看了一下應該是對的。更簡短的證明如下：

在G的非臨界點處，grad G (梯度）非0，根據隱函數定理之類的（也就是你同學的秩定理），G可以看作是一個臨域內的坐標函數。也就是說，存在坐標變換，使得G(x",y")=x".

這樣的話，由於grad F = k grad G, 得到F對y"的偏導也恆為0，所以F只是x"的（光滑）函數，也就是說，F是G的（光滑）函數。

對於臨界點處，通過連續性可以取極限得到。

謝邀

G(x,y)=x^2

以下答案為錯誤示範，請勿模仿……

命題錯誤。

由行向量線性相關，可以得出g(G)應該是一般的函數g(x,y)。這個g需要滿足由連續可微帶來的一些約束性質，但是不需要和G有關係。

反例：