行列式互換兩行就變號，這個行列式的性質如何證明？

01-11

看了知乎上「行列式本質」其他大神的答案，理解了行列式det(A)這個數相當於在n維線性空間里展開的平行體的體積
可是為毛行列式一互換兩行或兩列就變號呢
T-T 體積是負的實在超出了我的世界觀理解範疇...

矩陣這個描述線性變換記錄線性方程參數的數表裡的兩行互換位置並不影響其性質，因為這裡的行互換相當於改變了方程組裡方程的位置，或者說改變了變換基向量的次序，這個能理解
但是為毛行列式互換兩行或兩列就要換號？？

偶然看到這個問題，強答一波

本人也是對這個問題有點迷糊的，所以回答不當的話。。。那也沒辦法

答主應該知道行列式的空間概念的，而且也知道行(列)變換相當於基變數變換，那麼我們交換了基變數之後是否就相當於變換了我們基變數所表示的空間呢？

做個實驗，假設有個三階行列式，基向量分別為i,j,k 其空間坐標系x,y,z可如下表示:

當我們交換兩行(列)，代表以行(列)表示的兩個基向量交換，具體到實驗中，可假設表示i,j基向量交換，則坐標系變為y,x,z:

把交換後的坐標系與第一個坐標系x,z對齊:

對比後發現了什麼？

結果是兩個坐標系表示的空間完全不同，兩者互為逆空間(不知道我這表述對不對)，兩空間所表示的體積互為相反數，而行列式表示的就是空間體積，那麼交換兩行以後行列式變為負數也就不足為奇了

如果是外代數方法把行列式定義成唯一的alternating k-linear map $sigma$ 使得 $sigma(I)$ $=1$ 的話應該是最直觀的。

如果不是這個定義的話，假設我們要交換 $A$ 的 $k$ 行和 $j$ 行，令 $P$ 為單位矩陣 $I$ 交換 $k$ 行和 $j$ 行之後的矩陣(Permutation Matrix)，那麼 $PA$ 就是 $A$ 交換 $k$ 行和 $j$ 行之後的矩陣，

於是 $det(PA) = det(P)det(A)$

也就是要證 $det(P) = -1$ ，這個直接用你行列式的定義算一下就行了。

對此亦有困惑，思考後認為：

可以把n階行列式寫成一個二階行列式與 n-2階行列式（對應餘子式）的乘積，對應餘子式值不變，而對於二階行列式而言，交換任意兩行，很明顯符號改變。

等於0，超出世界觀嗎，比如(a,a)=0，括弧就代表兩個向量形成的平行四邊形的面積。兩個都是a就形成不了平行四邊形，所以面積是0。那(a-b,a-b)=0

藉助於多線性性，(a-b,a-b)=(a,a)-(b,a)-(a,b)+(b,b)其中三項都是0，那(a,b)=-(b,a)

從行列式的物理意義來考慮：以二維為例——行列式即平行四邊形的「有向面積」。

交換行/列，即「有向面積」變號：

如兩個列向量構成行列式 | α , β | ——表示從α到β(逆時針)的平行四邊形的「有向面積」：

交換列，得| β , α | ——仍表示從α到β(順時針)的平行四邊形的「有向面積」，但「方向」與之前不同了(變號)

綜上，交換行列式的行(列)，即α到β所構成的平行四邊形的「面積」改變方向，體現在行列式上，即行列式變號。

我是小白…歡迎大神指正～(?ω? )

作為一個剛剛學了線代的本科生我勉強發表一下自己的拙見：首先設一個n階方陣，以第一行為基準，乘以第一行的每一個數的代數餘子式，要注意第一個代數餘子式符號為（-1）的1+1次方，以此類推。當第一行換做第二行時，其第一個數乘以代數餘子式時符號變成（-1）的2+1次方，以此類推，整個的式子的符號改變，所以互換相鄰兩行，行列式變號。

複習高數的時候發現這是由向量積的性質得到的

即向量（粗體表示向量）a×b=-b×a

高等代數，丘維聲，行列式那一章。