怎麼理解「數學是一種將現實世界抽象化描述的思維方式」？怎麼把這一概念融匯到數學教育里並增加數學學習的樂趣？

01-11

http://www.zhihu.com/question/19939593/answer/13510796
能舉個實例嗎？

不知道樓主有沒有高等數學基礎。

現代西方意義上的數學的來源是幾何和代數。幾何我就不說了。代數的來源是解決實際問題（比如直角三角形知道兩條直角邊求斜邊）。另一個跟深層次的基礎是邏輯。但這個基礎在cantor發明集合論之前並沒有確立。

數學本質上是一種哲學。用比較裝的語言來說，現代數學系統屬於哲學系統中的一種。這麼說的道理是數學已經超越了純粹為了解決現實生活的問題的自然科學的範疇（當然，有一些數學分支依然為此服務，比如微分方程），而上升到追求一種「真理」（比如說群的結構是什麼？Lp空間有什麼性質）。現代數學最重要的目標在於創建一種理論，其次是發明用以解釋或操作數學對象的工具，最後才是解決數學問題。這亦是數學家檔次的體現。然而之所以大家並沒有把數學歸入通常意義上的哲學系是因為數學和哲學有一大不同－數學有自古流傳下來並經過修改的基礎－數學邏輯，或說數學語言。數學不承認「世界上有絕對的善」。若要數學承認這個結論，或說定理，必須通過「因為XX，所以世界上有絕對的善」的方法來證明。其中XX為某個通過同樣方式證明的數學定理或公理。所以一切數學結論都能不斷往回推，最後到一個基礎。（所有的。就連最前沿的代數幾何，流形理論或定理也不例外）比如歐式集合的基礎就是那5條著名的公理。分析學的基礎使集合論。大家感興趣可以百科一下。研究基礎的流派稱之為基數學／metamathematics. 這裡插一句：著名的哥德巴赫猜想的意義首先是創建關於質數的理論，其次是發現研究質數的數學工具。民間科學家們請不要浪費您的精力是圖通過初等數學解決這個問題。因為首先肯定解決不了，其次就算（這是不可能的）您真的解決了，也沒有數學價值。

關於理解數學是一種將現實世界抽象化描述的思維方式，我舉一個例子。大家都很熟悉我們所生存的世界。這是一個三維歐幾里德空間。什麼叫三維？就是說創建一個三維直角坐標系（或說任選一點，作三個相互垂直的向量），並且在這個坐標繫上定義長度（或說範數），然後空間中的任何一點都可以有這三個向量的「線性組合」來表示（就是aX+bY+cZ的形式，XYZ為三個相互垂直／或說正交的向量，abc為實數／或說任何一個定義線性時事先規定的數域）。可以看到這個模型的關鍵／significance在於那三個向量（數學中叫基向量）。那麼我們能不能抓住這個關鍵，並加以研究呢？比如4唯可不可以？（也就是有4個相互垂直的向量張成的空間？（不用嘗試了。人腦是無法想像四維空間的。那怎麼考慮四維呢？就要用到解析集合中的工具－坐標系（X,Y,Z,R）。其中基向量是（0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0),什麼樣的點在四維空間中呢？比如（1,2,3,4）在不在呢？哪就要看能否表示成上面4個基向量的線性組合。大家可以驗證一下，非常簡單））無窮唯可不可以？（任何點都不能由有限個相互垂直的向量線性組合來表示）。這是一方面。

另一方面，為什麼叫「歐幾里德空間」呢？因為採用的是歐幾里德度量。所謂度量，就是空間中任何兩點之間都有一個「長度」。用數學語言來講就是存在一個空間上的函數p(x,y)。（形象地說就是一把電子尺，輸入兩個點的坐標，得出函數值就是他們之間的距離）.歐幾里德度量的數學表示為p(x,y)=√ [ ∑( a[i] - b[i] )2 ] (i = 1，2，…，n),其中x的坐標為a[1],a[2]...,y的坐標為b[1],b[2]...∑表示從第一項加到最後一項，至於有幾項取決於維數。大家可以驗證一下當維數是二維的時候是不是我們通常意義下的長度。然後就開始抽象了。從數學的角度√ [ ∑( a[i] - b[i] )2 ] (i = 1，2，…，n)的特點／significance為1,p函數永遠大於0。2,p函數是可交換的，即p(x,y)&>p(y,x).3,三角不等式：p(x,y)+p(y,z)&>=p(x,z).換句話說隨便你怎麼定義（前提是要有意義），只要p函數滿足這三個條件，那就是一個度量。（因為它擁有作為度量的數學「特點」）。如果查閱wiki的度量空間就會發現事實上有好多好多空間和度量。這就是一種抽象，用中學的話來說，叫推廣，即抓住某個特徵，並加以一般化的研究。

從上面的例子可以看到（是不是看得很累？數學就是這麼累。但要是不那麼確切和死板，數學就失去了他的科學性，也不會獲得他今天的地位和價值）數學是一種看待問題的角度和追尋真理的過程。某位數學大師說過：數學是在變化中尋求不變。

如果樓主是高中／初中老師，推薦讀一讀「高觀點下的初等數學」這本書（某個大師寫的，忘了誰了）。說不定就能培養出數學天才，並且（更重要的），會賦予數學以意義，從而使學生明白他們到底在幹什麼

ps：／後面以及括弧內的內容為數學語言或（避免歧義）的英文以及補充，不熟悉可以跳過或忽略

我數學很差，但之前看到Matrix67一篇文章，頓生醍醐灌頂之感：

隨記：我們需要怎樣的數學教育？

http://www.matrix67.com/blog/archives/4294

希望對這個問題有幫助。

我只來舉例，說明什麼是抽象。

基本抽象：數

大家都數數。小時候這麼學的吧：五個蘋果，五個梨，五個人。。。然後就模糊知道什麼是五了。

在法國上的研究生數學課上，教授如是說：這個過程讓孩子將所有能和{1,2,3,4,5}形成一一映射的集合叫做五。當然他警告說，千萬別真的這樣去教孩子。

高度抽象：群

立正，左轉，右轉，後轉，每個動作都讓人變個方向，怎麼變都是這四個方向，連續兩個動作都可以用一個動作完成。更複雜的例子是魔方。

這就是群（動作）作用與一個集合（方向）了。在線性代數里，這就是矩陣作用於向量。

群和矩陣是對變換的抽象，向量和集合是對狀態的抽象。要研究事物狀態及其變化，就如此通過數學解決了。

數學教學我不在行。但小時候學數數的方法是對的：多看幾個例子，適當引導，學生早晚會自己去抽象化的。

這樣形成思維習慣後，就可做完全抽象的思維，脫離客觀實例，那便是高等的數學了。

「高質量的樣本數據來源於攪拌均勻的總體。」

不知道咋這句記得特別牢。

感覺編者老師可裝逼了2333。

1+1 = 2 ，而1杯硫酸+1杯水會讓你毀容，所以1+1是忽略了具體事物的其他屬性，只抽象出了其「可數」的性質。

要說教育。。。我覺得不如把數學變成選修課，那些有天賦的學生接觸後自然會被吸引，其他人等工作後感覺到對抽象和數學的需要後再來重修。。。像我這種。。

順便建議一下學數學的同時學一下haskell編程語言，能提高學習數學的興趣，比如haskell里的sum(求和)函數定義：

sum :: Num a =&> [a] -&> a

表達的意思是對任意「可數」的類型a所組成的列表[a]應用函數sum,得到一個單一a類型的結果補充一下：硫酸+水的例子來自《什麼是數學》一書，推薦此書

數學善於把所有的問題歸為一類，並且進行模式思維

個人看法：多數人（包括我在內）理解抽象概念的能力較差，所以不如反過來，即在數學教育中先簡單、初步地給出已經抽象出的數學概念，然後迅速切入到一個實際的數學或者物理模型的應用中去，告訴學生為了了解那個現實模型需要怎麼思考，哪些是不需要考慮的因素，哪些是決定性的因素，然後過渡到前面簡單介紹過的概念上（所以我一直蠻贊同從數學史角度【問題角度】導入數學概念的，可惜實際上課沒有那麼多時間而已），這樣，學生既能明白問題的來源，也會對問題的解決感興趣，最後自然也就容易掌握概念了。

應邀

數學就是一種抽象。至於怎樣增加數學教育的趣味性，我本身對教學不太了解。

體系化的知識結構對學生更重要些，穿插些數學史可能會更有趣。

計算機輔助演示會加深理解。

看《Conceptual mathematics》這書，範疇論的簡介，中學程度也能看懂。