在圓內能否用四條直線割成九塊面積相等的部分？

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感覺很難...自由度是7，但是限制條件有8個，很可能無解。

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哎呀這麼多贊好激動(*??`*)

看到有人要解釋，就簡單的講一下

自由度就是決定一個系統的狀態所需的最少參量數

在這個問題里，系統狀態就是4條線段組成的圖形的形狀。由於旋轉之後形狀不變，所以其中1個頂點可以固定，剩下7個頂點的位置就是7個參量。而分割出的其中一小塊的面積是那7個參量的函數，令其等於1/9就得到一個方程。

而一般來說，7個方程就足夠解出這7個參量了。此時的系統狀態已基本確定，最多有有限種情形，要恰好使剩餘兩塊面積相等是不太可能的。

這個方法並不嚴謹，但是可以很方便的給出一個判斷，並且只要不是特意選擇的數據，通常都是很有效的。

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先說結論：不行。下面分情況討論。

在討論之前，我想先指出一個條件，這個條件是在下面的分情況討論中一直不會放鬆的。這個條件是：如果一條線的兩邊分別有m個、n個小塊，那麼這條線必須把圓的面積分成m:n的兩份。在這個限制下，這條線距圓心的距離就是固定的，只有角度可變。

設圓的半徑為1：

當m = 2, n = 7時，圓心到直線的距離為0.452；

當m = 3, n = 6時，圓心到直線的距離為0.265；

當m = 4, n = 5時，圓心到直線的距離為0.087。

1. 先考慮最簡單的情況：井字形分成九宮格。

九宮格里的每條線，都要把圓的面積分成3:6的兩份，所以每條線到圓心的距離都是0.265。

由對稱性，這四條線要兩兩成直角，於是劃分方法如圖：

&" dw="324" dh="313" class="content_image lazy" w="324" data-actualsrc="//i1.wp.com/pic3.zhimg.com/50/238515e008332240df75a8b7c197d12d_hd.jpg">

肉眼觀察就能發現綠色區域面積小於紅色區域，不能平分。

2. 下面考慮非井字形的情況。

2.1 假設四條切分線中沒有三線共點

為了把圓分成9份，這四條線之間需要有4個交點（證明留給讀者）。井字形是每條線都與且僅與另外兩條線相交的情形；除此之外，只有一種可能的情況（證明同樣留給讀者）：l1與l2、l3、l4都相交，此外僅有l3、l4相交。注意l3、l4的交點必須與圓心在l1的同側——因為圓心所在的一側的塊數需要比另一側多。圖形如下所示：

&" dw="276" dh="282" class="content_image lazy" w="276" data-actualsrc="//i1.wp.com/pic1.zhimg.com/50/bc04e13b37368805c7435ec58d0a942d_hd.jpg">

l1、l4把圓面積分成4:5的兩份，到圓心的距離必須是0.087；l2把圓面積分成2:7的兩份，到圓心的距離必須是0.452；l3把圓面積分成3:6的兩份，到圓心的距離必須是0.265。

上圖中，l1、l2、l3的位置是精確的，它們使得三塊陰影部分的面積都是圓面積的1/9。剩下的一條l4，必須平分三塊白色區域的面積，肉眼觀察就知道不可能。

2.2 假設四條線中有三線共點

共點的三條線把圓分成了6份。為了一共把圓分成9份，第四條線需要與三條線中的兩條相交。圖形是這樣的：

&" dw="392" dh="392" class="content_image lazy" w="392" data-actualsrc="//i1.wp.com/pic1.zhimg.com/50/b9cd8a66ee8b3a025864cff07b600cc2_hd.jpg">

共點的三條線，分別把圓面積分成3:6、4:5、4:5，故它們到圓心的距離必須分別為0.265、0.087、0.087。第四條線把圓面積分成3:6，故它到圓心的距離必須為0.265。由對稱性，第四條線應該跟第一條線平行。據此已經能做出精確的圖（上圖就是），顯然9份的面積並不相等。

若四線共點，則只能把圓分成8份。於是討論完畢，結論是不行。

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