是否存在一個常微分方程存在整體解的充要條件？

01-11

題主最近發現，在常微分方程課本里我們知道的關於解的存在性定理，以及各種唯一性定理，都是局部成立的，很少有關於全局解的描述。就算有關於解的延拓章節似乎也是一個常常不被重視。雖然全局解的存在不一定是什麼很重要或者有趣的問題，但是如果能知道處處可微的曲線（廣義來說C^1 manifold？）到底需要有多well-behaved我覺得還是挺有意思的。
目前題主知道線性齊次方程

Y『=A（t）Y where Y(t) is a vector valued function from R to R^n, and A(t) is continuous
存在全局解。【之前考試寫了這個TA還不信。。。】
但是感覺這個好像是一個mathematical folklore【大家都知道，但是沒怎麼見到有專門證明的】。於是我就自己證了一遍。現在感覺如果把證明稍微修改一下的話，我們可以得到這個結果：

如果Y『=f（t,Y）【符號同上】，where f is uniformly Lipchitz in Y for all t, i.e, there exists M&>0 ,s.t $left| f(t,Y_{1} )-f(t,Y_{2}) ight|leq Mleft| Y_{1}-Y_{2} ight|$ holds for t and $Y_{1}.Y_{2}in mathbb{R}^{n}$ 。當然第二個claim我還沒有仔細證過，不一定對，但是第一個claim我認為是一定成立的。
請問有什麼更進一步的結果嗎？反過來說，全局解存在的non-trivial的necessary condition是什麼？（I count not blowing up in finite time as trivial since it is obviously necessary）需要看什麼樣的文獻可以了解到這方面的內容？

謝邀：這個東西介於力系統和常微分方程之間，動力系統我很久沒碰了，所以下面的答案中有所紕漏是難免的,還有，我是做無限維的，所以我說的方法有時候是不夠細緻的。我們考慮自治的情況： $frac{du}{dt}=f(u)$ ,

簡單的答案是「沒有」，但是有很多方法補救。一般是case by case。但是有下面的幾種思路（不斷更新吧）。

第一種：構造非負的(coecive)增長的泛函 $V$ ，也就是 $V(u)geq 0, V(u) o infty, as ,|u| o infty$

$frac{d}{dt}V(u)leq C$ ,一般來說這個泛函可以被稱呼為energy。這個時候解就是肯定是全局的。

特別的，如果這個方程是哈密頓，泛函就非常容易構造了：

這種情況下，我說的泛函 $V(x,y)=H(x,y)$ . 可以證明這個時候它總是不變的，

$frac{d}{dt}H=0$ ,這個時候每個解都是走一個特殊的特徵線，我不引入過多的術語了。在上面那個例子中，每個解都是一個橢圓曲線。

還有一種情況是，是非線性項 $f(u)u$ 滿足某種多項式增長率，比如吧

$f(u)u<k_1+a_2u^2,, a_2,k_1>0$ ,這個時候可以構造 $F(u)=e^{-a_2 t} u^2$ ,不難證明這個東西就是我們要的。

第二種知道的人少一點，叫單調動力系統，這個系統比較複雜，三言兩語說不清楚，我簡單說一下吧：有些系統具有單單調性，也就是說 $x_0<(leq)x_1 implies u(t,x_0)<(leq) u(t,x_1),,,forall t>0$ ,

這個時候只要你能構造出上解 $hat{u}_1$ 和下解 $hat{u}_2$ ，那麼在它們直接肯定存在一個全局解，而且 $uin [hat{u}_2,hat{u}_1]$ 。值得一提的是，這裡說的大小比較，用的一般的偏序 $prec$ ,我比較懶就寫成一般的大小符號。具體的意思可以查書，但是我舉一個常用的函數直接比較大小的方法。 $uleq v$ 的意思是

$u(x)leq v(x)$ .之所以叫「偏」序，是因為不是任何兩個函數都可以通過這個方式比較大小的。

這類系統在「生物數學」上用處很大。

請google dynamical system, monotone dynamical system, blowup vs global existence