數學分析的實數理論是否是衡量能否學數學的標杆？

01-11

大一新生，想學數學卻被調劑到物理，於是跨選了數分與高代，想為轉專業做準備，於是這學期會比較辛苦，要學兩個專業的課，作業也是比高三還tm多。
我們用的是卓里奇的教材。於是到了數分的實數理論這裡出問題了。老師上課講的東西很多不懂，課後的作業做起來也很吃力。昨天圖書館泡個3-4小時才完全搞懂老師講的啥。。。關鍵作業很多，時間又緊張，可偏偏做起來很痛苦，很吃力。再加上高代英語物理普化的作業一堆起來，搞得我痛苦萬分，甚至想直接退課。。比高三還痛苦
看到很多知友說，能不能學懂數分的實數理論是衡量一個人是否能學習數學的標杆，但我感覺我快撐不住了。。。好想發發牢騷抱抱怨，但周圍同學也沒吐槽得這麼厲害。突然覺得，會不會我根本就不適合學數學？？雖然高中數學135+甚至140都經常做到，但大學，我學的太痛苦了……

大畫家不需要懂塗料的分子結構，大文豪也無須精通語法。

萬事皆有度，過猶不及。卓里奇在第一冊前言里已經說明怎樣看待實數理論在數學分析中的位置，看來現在的小盆友們看書基本不看前言。

我還要提醒，在第1版序言中，我對學生和年輕教師都提出過警告，不要花費太多時間去研讀緒論性的有關形式化基礎的頭兩章（其中第二章實數）。否則，將大大拖延對分析本身的學習，並且會嚴重干擾學習的重點。-----Zorich

謝邀。

能不能學懂實數理論是衡量一個人有沒有學習數學所需要的邏輯能力的基礎標杆。實數理論的核心無非是從有理數出發構造實數，你要先假設自己不知道實數是什麼，不知道實數有哪些性質，然後一步一步把實數構造出來，一步一步把實數的種種性質給推導出來；你在學這一塊的時候，都要搞清楚定理裡面假設了什麼，要證什麼，要從假設的東西出發去證要證的東西，而不能循環論證。

但是數學所需要的能力也不僅僅是邏輯能力，你也需要有，比如說看到兩個概念之間的相似性、聯繫的能力，需要計算方面的基本功，而做數學研究更需要有創造性的想法。這些路都還很長，數分高代只是第一步，慢慢來。

另外說一下，對自己的邏輯能力有自信的同學，可以去學學非標準分析（non-standard analysis）和 hyperreal numbers。我現在覺得那套語言比 $epsilon -delta$ 語言更漂亮，他把取極限等等都化成了代數操作。不過學非標準分析首先需要學一點數理邏輯，比如一階語言等等，不然無法理解裡面的一個「靈魂操作」——transfer，也就是把hyperreal numbers的性質遷移到實數上來。

我還見過一些人發現自己不能在不看證明的情況下證明書上的所有定理就覺得天要塌下來了。題主需要明白這些實數理論（或者數學大定理）本身就是數學家經過很久才構建出來的，你一下子就完全明白了，不覺得自己太「自以為是」了嗎？是超凡絕倫的人中龍鳳嗎？這些實數理論是學習真正的「數學」的一個門檻，考驗的與其說是你的智商，不如說是你的毅力和品味。 如果你可以堅持下來，說你的毅力還不錯，後面還有更難啃的骨頭等著你呢。如果你以後發現了它們的精妙之處，不覺得它們是脫褲子放屁的東西，那麼代表你的品味是不錯的。知道一個定理，知道它的證明也只是「理解」的第一步，會使用它，在不斷使用的過程中加強對它的理解和領悟是「理解」的下一步，直到你覺得它是自然的，你算是慢慢真的理解了。你需要明白的的，後面這種「實數理論」級別的考驗還很多很多。很多人倒下來了，很多人堅持下來了，大浪淘沙，不墜初心者方能到達彼岸。很多時候人要遲鈍點，要有鈍感力，少評價自己，多去勇敢向前，你永遠不知道你體內還有一個多好的自己。

謝邀，

能否理解「實數理論」確實是衡量是否能學好數學的初步標杆【請注意，我說的是「初步」】；但是、能否在第一次接觸「實數理論」時便理解它，不能作為評定標杆，因為這其中涉及的變數因子太多。

Tips：嫌回答太長讀不下去時，提醒一下自己：文章最後一段還有一個段子呢～

首先我想說的是《數學分析》中的「實數理論」對於數學系的學生——特別是有志於在未來深入學習更多數學課程的大學生——而言是很重要的，這和其他專業學習《高等數學》或《微積分》的學生而言有很大差別。

在國內、很多數學系的同學在最初學習《數學分析》時，會疑惑這東西到底有什麼用——微積分要用到它嗎？級數的斂散性用到它了嗎？反常積分、重積分用到它了嘛？——好像都沒有，那麼這部分內容到底是在幹什麼用的？

然而，在未來當你學到《近世（抽象）代數》中的「等價關係」、「商集」；特別是在《泛函分析》中接觸到「測度空間的完備化」理論之後，你就會明白對「實數理論」的紮實理解將為你領悟這些新概念提供直觀的範例與認知工具。

因為，實數集在加、乘運算下是《近世代數》中最常見的「域」；R 實際上也是《泛函分析》中最直觀的Banach空間——理解實數理論，你就可以從實數這種具體的例子開始認知未來的很多抽象概念；反之、在面對未來抽象理論時你很有可能連認知工具也沒有。

所以我說：能否理解「實數理論」確實是衡量是否能學好數學的【初步】標杆。

但是，它重要，並不意味著只有第一眼就能直接理解它的人才有資格學數學。

你能不能很快地理解實數理論，有太多外部變數需要考慮，其中必要直接的兩點就是：

教材。比方說很多國內學生理解不好實數理論，我認為華東師範大學那兩本藍皮的《數學分析》要背很大的鍋，一本書都寫到一半，函數連續性、可導都講完了，才想起來提一下實數理論，真是匪夷所思；
老師。有時，對於初學者而言，缺少一個好老師的引導，面對大部頭的書可能很難自己獨立地在全新領域察覺到底哪些東西是重要的。

當然除此之外還有很多；而且你去問一下很多數學系的同學，他們即便後來做的很好，但也有很多人是在學完了後續課程之後才逐漸明白「實數理論」是怎麼一回事兒。所以現在沒學好，這不能說明嚴重的問題。在這個方面， @dhchen 大神的這條結論非常可堪借鑒：

能不能學會「實數理論」考驗的與其說是你的智商，不如說是你的毅力和品味。

另外、請題主【仔細】並【反覆】閱讀 @Yuhang Liu 大神答案中的這一段話：

數學所需要的能力也不僅僅是邏輯能力，你也需要看到兩個概念之間的相似性、聯繫的能力，需要計算方面的基本功，而做數學研究更需要有創造性的想法。

在我讀來， @Yuhang Liu 指出的這四項能力是層次遞進的，也許「計算方面的基本功」排名還要靠前一點，所以、在數學研究中沒有那一項才能是絕對的標杆。

最後講個段子：我記得大學學習Topology這門課時，老師又一次在課堂上感嘆說「做拓撲的，能把圖像畫的好也是一個本事，比方蘇聯有個叫做blablabla的，搞拓撲、但是人家最開始是個畫家，所以出了一個幾卷本的教材，圖畫的都非常直觀....」

哈哈哈哈哈，只可惜當時他說太快我實在沒記下來這個畫家叫什麼，希望有知道的前輩在評論區指點一下....

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最後、說一點題外話：「極限理論」實際上是數學理論的奠基思想之一，也是微積分的底層思想來源；「實數的完備性理論」則是數學系學生最早需要接觸的重大理論。但是由於各種原因，國內很多教材這部分的內容令初學者感到困惑。

我針對這個話題開設過一次 Live ，為大家系統講解《數學分析入門：極限與實數理論》，希望能用引導僅具有高中數學水平的普通讀者了解理論數學的魅力。

加入Live後，你還能在其中找到一個與「數學分析」有關的交流群，以方便進入後在群內與大家一起討論學習過程中你遇到的問題，群內也會有不定期的小福利發送。

很多障礙只是動機不明，動機明了之後是顯然的，或者是僅有少數幾種變化的。

然而教科書對動機闡述一般不多，可以看看微積分的歷史。

我能說我到現在都沒有研習過實數理論嗎？

這絲毫不影響我看後面專業課的書

或者學一些專門的分支

實數理論要記住的只是它的六個（記不清是六還是七了）基本性質

會相互推演（等價性）

然後選擇其中一個作實數系的公理就行了

我比較偏代數喜歡布爾巴基的數學結構的觀點

我看實數系一般就把它當成一個域結構加個全序結構然後滿足上確界原理

至少到目前為止這對於我來說就夠了

實數理論除了數分里的那一套還有其它的構造方式

布爾巴基就是用拓撲群的觀點構造的

這些方法各有優缺點

居然有人說能否學懂實數理論可以衡量一個人是否具備學數學的能力？

我還是頭一次聽到這種說法

說這種話的我想數學也不會好哪去

我說的好是指能成為好的數學家

而不是考試得高分是學霸之類的

我的建議：

如果你有興趣就看看實數理論

但別太強迫自己

如我前面所說從有理數出發構造實數對後來的學習並非必要而且也不是唯一的方法

（其實我就想吐槽

那些說實數理論是衡量一個人有沒有數學能力的是不是只學過數分

或者是學過實分析被測度論啥的折磨欲仙欲死

然後認為實數理論都難不倒我測度論卻學得艱難

那實數理論都不會的還指望做數學？

（僅以實分析舉例）

我想說懷抱這種想法的同學可以去看看布爾巴基數學原理第三卷一般拓撲第三章拓撲群然後看看第四章實數理論看一看自己的三觀是不是又被顛覆了然後會不會再說「拓撲群是衡量一個人有沒有數學能力的標準」）

更重要的是後面的極限連續微分積分

這些在數分中要儘可能紮實的掌握

這對後來的學習都有好處

拓撲學基本就是以極限連續作出發點的

微分拓撲微分幾何也是把數分中的微分推廣到更一般的空間

開始時候要做微積分還是要在實數（歐幾里得空間里）（我非幾何方向微分幾何啥的只懂一點）

積分和後來的運算元代數啥的都有關係

（我讀過的基本就是把積分的幾個基本性質作為公理然後往下推）

所有這些遠遠比實數理論重要

（如前所述我認為題主說的就是從有理數出發構造實數）

如果真對實數理論感興趣可以看一些專門的書

有答主說到了非標準分析可以參考

總之途徑不唯一

（而且從我看過的而言我懷疑當前數學界根本就沒有完全解決好數學基礎問題）

對傳統的有理數構造實數感興趣的可以看看Dedekind的原著有英文翻譯

我認為看創始人的書比看後來的二手貨有趣得多

吶，題主，依我說，我覺得，你太在意自己有沒有學數學的天賦了，或者說自己是不是學數學的那塊料，尤其是從你的這個提問來看。

我大二，不是數學系的學生，現在算是第一遍自學數學分析吧，沒用卓里奇的書，卓里奇對於我第一遍學來說太難了，我用的《陶哲軒實分析》入的門。

你說你「在圖書館泡個3—4個小時才完全搞懂老師講的啥」。

就拿我自己來說吧，今晚上我在自習室里，陶哲軒那本書，從構造比例數到定義絕對值運算(還沒碰到實數的邊)，短短四五頁紙，我硬生生抄書抄了兩個多小時。

比你差遠了吧？

但我並沒有覺得怎樣，反而有些爽和心滿意足。

一來我早已接受自己天資平庸。

二是，在我把陶哲軒用近乎大白話講述定義比例數進而定義比例數的倒數運算得到除法運算這一連串的方法抄到紙上時，筆尖滲出了一種叫「爽感」的東西，或者說「快感」也好，但絕非是「壓力」和很大的「痛苦」(既然是學習，總歸會有點痛苦，但並非題主你在題干中描述的很強烈的那種「痛苦萬分」)。

我這裡說到了很重要的一點，「爽感」/「快感」。

題主你有沒有想過，你學數學，是為了什麼？或者說最重要的是什麼？

答案你自己知道。

但我在這裡貼一段我很欽佩的知乎用戶， @李吟在「數學功底究竟是什麼？」這個問題下的回答中的一段：

「學數學，最重要的就是要快樂。只要是花了足夠多的時間，無論你是一直憋在屋裡做習題，還是滿世界跑參加seminar，都能夠在某些方面達到別人不能企及的水平，這就是我認為的數學功底。反之，如果你不願意花時間，心思都在別的事情上，就算你到處抱大腿，寫paper吃飯，我也沒辦法尊重你，因為你毫無功底可言。」

以上是花姐在那個答案里的原話。

雖然我不知道學數學對你來說最重要的是什麼，但是，毫無疑問，「爽感」、「快感」或者花姐說的「快樂」一定是十分重要的因素之一，也是支撐一個人把數學學下去的很重要的一點。

所以我認為初學者學習數學的關鍵點並非在於過早思考「是否具有學數學的能力或天賦」這一點。

那我認為真正好的態度是什麼樣子的呢？

知乎的一個問題「給即將去讀數學專業的學生一點建議吧？」的一個答主的評論區里，那個匿名提問者的評論給我留下了很深的印象。

這是我所讚賞的態度，也是我認為好的態度。

假如學數學的過程像現在這樣給你帶來「痛苦萬分」，你還學它幹嘛？即使咬牙學下去，又能堅持多久？

還有，我認為你痛苦萬分的原因，很重要的一點是你生活和學習的重點或取捨出了問題。

你說「再加上高代英語物理普化的作業堆起來，搞得我痛苦萬分，甚至直接想退課…」

額，英語普化的作業啥的非要做不可嗎？甚至那些課非上不可嗎？人的精力和時間終究有限。

這裡，我想起了一位在川大逃課去圖書館學習數學和物理的 @BrianRWang 前輩，在UIUC讀書，現在數學和物理都有不小的成績。你可以看看他的主頁，找找他的經歷，看看他的取捨。

最後，關於實數這塊，一個小小的建議，你可以找一下陶哲軒的書補充一下，他開頭用了90頁講實數的構造，簡單易懂。

我沒看過卓里奇的書，但我覺得，在北極圈體驗凜冬將至的數學家，寫的書來總歸不如在盛大的加州陽光下的數學家寫的書對新手友好。

至於你所說的實數，張辰LMY貼了卓里奇的序言，我再貼一下陶哲軒的意見。

小平邦彥最開始讀范德瓦爾登的抽象代數時，發現看不懂，就抄書，實在不懂的做成卡片裝在口袋裡隨時背誦。後來小平邦彥是日本最重要的數學家之一。

我們當年學數學分析時，老先生也是一再強調，有時候死記硬背是最好的學習方法。受益匪淺。

中學數學以技巧為中心，高等數學以概念為中心，中學數學講究巧妙，高等數學強調理論體系，風格不一樣，一開始學難免會覺得吃力。

實數連續性公理等價形式七八個，每個都那麼精美絕倫，好像天上掉下來的一樣。但是你要知道，凡事都有個生產過程的，這些定理不是一開始就有的就是這樣的，而是經過好幾代大數學家拋光打磨過的，難免一時自慚形穢望而生畏。

如果考慮到偉大如歐拉那一代數學家都沒聽說過極限概念，更別提實數連續性公理了，卻依舊做出來流芳百世的貢獻，以至於現在的數學分析幾乎到處受到他們的影響，你就有理由相信，其實一開始實數理論也沒那麼重要。物質基礎決定上層建設，待到日後練到求導求積分如四則運算一樣自然時，自然就會想著回過頭來把實數理論再補一遍，並且幡然醒悟原來如此。

最後，其實很多人數學分析都是念第二遍時才開始學懂一些的.也有不少人是學到點集拓撲，常微分方程和偏微分方程時才真正搞懂某些內容的. 連大神米爾諾都坦然承認，教本科微積分，又學到很多新知識.

謝邀。實數理論固然重要，但沒重要到那種地步。真正衡量數學分析入門，個人認為是理解Riemann積分的定義、牛頓萊布尼茲公式，學好的標誌是搞懂多元微分學的隱函數定理和反函數定理、外微分形式統一過後的Stokes定理。

實數理論關鍵在於理解實數的構造，和幾（7？）個定理（確界原理，單調有界原理，閉區間套定理，有限覆蓋定理，柯西收斂準則，聚點定理，緻密性定理）的應用（最好能互證）。

在比較正常的教材里，如華師大版，實數理論的位置是偏後的，在前面需要用的就列出來加以證明而後用，但系統學習在一元積分學之後，這是因為其難度確實大。

初學時不懂是很正常的，卓里奇在書的序里也是建議直接跳開一二章，從第三章開始學，到有必要時再回頭補。理解實數的構造需要一段時間，能靈活應用7個定理互證，更是需要很長一段時間的思考、練習，這都是正常的，沒必要喪氣。

容我吐槽一下北師大也用起了卓里奇

謝邀。看得出來，題主的問題主要是太心急了。看題主的描述，卓里奇是你接觸的第一本數分教材嗎？這也難怪，畢竟卓里奇的風格就是不喜歡講廢話，許多基本概念引入時又喜歡用高級的觀點，沒有準備的學生很容易感到無所適從。加上中文版又經過了一次翻譯，理解起來的確要費力許多。

我想告訴題主，大多數第一次接觸數學分析的學生都會有這種挫敗感；這不是因為你的水平不夠，而是因為你還不適應本科數學的思維密度與表達範式。就像嬰兒剛剛開始學習走路，難免會跌跌碰碰。實數理論作為本科數學學習過程中第一個高度抽象又完整詳細的知識點，是鍛煉本科數學能力的一個很好的磨刀石。若說它的抽象程度和知識題量有多大，在本科數學的內容里其實排不上幾號；但是若是因為在實數理論上收到挫折就開始憂慮彷徨，那也是為時尚早。

最後，我建議題主早早考慮數學和物理的取捨。這兩門學科不論是思維方法還是研究對象都有很大的不同，而且知識都十分密集，需要大量時間精力理解練習。不要等到自己承受不住壓力了再狼狽選擇。

希望這些文字能幫到你。

學完了到下一章，沒明白的，考得好也不知道前面學的有什麼用，感覺就是廢話，所以有大刺刺說不care，後面也學的很好。

不care的不知道有沒有想過，把後面相應的定理中實數改成有理數，成不成立呢？如果成立，想然整數自然數也應該成立，說到這份上，大概就覺得不對味了。那為什麼不成立？

數分需要的是無間道，不能吃著火鍋開著車突然就掉洞里了，也不能讓無限接近是靠做蛙跳動作，更不能閉區間套最後套一個空。

整數是對自然數做鏡像，有理數是對整數內插，實數還是用內插，但是是倒漿糊式的，把縫、洞都澆平了。

這部分數分是懶得說透的，基本假設已掌握（個毛）。陶哲軒不偷懶，花了若干章說如何構築，可惜避著集合論有點不爽（不覺得他是為省事，更像氣宗劍宗問題）。一般更是糊弄了事，愛誰誰。不過多少有個說的過去的邏輯主幹，邏輯線也許有不嚴謹跳躍（能省一二學期時間，誇張的說），總體湊合。畢竟是教開車，不是教修路，相信路沒問題就差不多了。

六大七大定理都是來表述這個無間道的，但是無間這事本身，早內定了，三言二語後就說（因為道無間）可以這樣（一個定理），也可以那樣（又一個定理），最後說，其實說來說去就是道無間。

當然開門炮還是需要用定義，來表述內定的無間道，剩下的互推。

不care期中考試，就先放著，反正說來說去也就是無間道而已。在下一章就是淡淡的血色。

卓里奇不是偏計算的，適合工科？其實我也不懂，亂說的。

心急才是大忌，遇到困難太正常了，千萬別和高中數學做對比，深度和廣度都要大的多。

1、說是衡量能否學數學的標杆，這個有點誇張，但這一部分階段對數學思維的形成很重要。也是體現出數學系思考的數學問題和其他學科因為要用數學而思考的數學問題的區別一個重要過程。

2、作為數學系所學的數學（尤其基礎方向），未來無論你學的有多深多難，你都能在你的學科中，找到這部分的影子。比如有限覆蓋定理，未來學拓撲那個叫緊性，柯西列，未來會在度量空間里玩些更高級的玩法，還有確界原理，未來研究序結構、格什麼的都是這些基本東西更抽象而來的，而一些專門領域的處理辦法，也是由這些東西變化而來。

3、不是每個數學家都是偉大的數學家，也不是每個數學專業的人（無論是本科畢業還是博士畢業）都從事的是數學方面的工作。但學習的數學對他思考問題的模式起到了非常大的幫助。美國數學會有一次推薦了一篇文章，寫數學畢業的人能幹什麼，——結論是幾乎什麼職業都能找到自己發揮的點。所以，就算以後從事別的工作，也不影響你選擇數學專業。

4、就算從事數學方面工作，也有很多人在初學的時候沒有理解某些部分的內容，而是在某一天重新複習的時候，搞懂了一些之前不懂的概念——因為那個時候，你接觸的多了，手裡的例子和理論工具多了，所以看之前一些初等知識的角度和高度不同了。

實數理論是優美的數學理論，我們應該了解其構造，認識到數學是建立在嚴格的公理上的即可。對於其冗長的邏輯推理，則不必深究，但是那幾個實數定理還是要會的哈。大學數學重在概念的理解，代數學家Emil Artin說過" Our difficulty is not in the proofs, but in learning what to prove."考試成績好是數學水平高的必要非充分條件，數學也不存在能不能學的問題。如果真要定一個標準，應該是抽代，實變，拓撲這三門課，每學一門都要升華一下思想。

第一次在數分接觸實數理論我就以為自己已經透徹理解它了，並且為數學的理解與嚴謹所深深折服ヽ(￣▽￣)?。然後知道了抽代，發現實數根本不是我之前想的那樣啊(へ′*)ノ。然後又學了拓撲，又發現實數原來是這樣╮(╯﹏╰）╭。了解了一點更深的數理邏輯之後發現我連自然數是什麼都不會了，還實數呢ヽ(#Д′)?

最近逛知乎，看了不少關於大一新生學習數學的討論。每年暑假都有幼小銜接、新初一、新高一等培訓，其實新大一更需要培訓，不是上了大學就具備了真正的數學思維了。如果沒有老師的引導，自己去悟出來，時間成本太高。現在互聯網發達，還可以來知乎討論，十幾年前我們都不知道蒙了多少圈。

用數學思維學數學，也是人生快事之一。早點悟到，即使成不了仙，也能成個半仙。

實數理論當然重要，但不是說必須要研究透才能入門數學分析的，建議至少先學完一元微分學再回過頭來看實數理論

另外你們怎麼會用卓里奇的那本書當數學分析的入門教材，難度又大，內容又多，翻譯又爛……

數學呢，重在領會其嚴謹的快感，其餘的都是次要的。

啊啊啊同感數分學的太痛苦實數理論聽不懂(=_=)

謝邀！

不知道題主哪個學校，在我們學校是不需要提前學習轉專業的內容的，只要自己的必修課夠好就可以了，比如我們轉數學學院是大一的各種數學課都80分以上，所以還是建議先學習好自己課表的課程，到時候轉專業成功了再補需要補的課就可以了。

寫完發現題主是北師大學霸，祝福你。

你問的東西我也看不懂，作為大三過來人，只能說跟著自己興趣走就對了。