機器人運動規劃中的C space怎樣理解？為什麼不直接在笛卡爾坐標系下運算呢？

01-11

很高興能遇到做運動規劃（Motion Planning）的小夥伴，也希望以後能有更多小夥伴入坑，畢竟這個方向未來大有可為。

和 @Pickles Husky 一樣，我也一直是推薦入門的小夥伴去看《Principles of Robot Motion - Theory, Algorithm and Implementation》這本書。不因為其他，就是因為它把 Configuration Space (C-Space) 放在了足夠重要的位置上，而不是像其他材料一樣完全脫離機器人，一上來就講 RRT、PRM。

在我的理解里，C-Space 是機器人運動規劃的理論基礎，很多問題必須結合機器人的具體情況，才可能得到比較好的規劃結果。

先講定義：

構形空間（或者其他各種譯名，如：配置空間、構位空間等），顧名思義就是與機器人構形相關的空間：

平面機器人，它的 C-Space 就是特殊歐式群 SE(2)： $(x,y, heta)^T$ ；
無人機，它的 C-Space 就是特殊歐式群 SE(3)： $(x,y,z,roll,pitch,yaw)^T$ ；
六軸機械臂，它的 C-Space 就是六維向量空間 $mathbb{R}^6$ ，也就是人們常說的關節空間： $( heta_1, heta_2, heta_3, heta_4, heta_5, heta_6)^T$

簡單的說，我們可以用一組向量來完全描述機器人的空間狀態，所有這組向量的集合便是 C-Space （註：集合 + 特定運算 = 空間，對於機器人，特定運算就是指不同 Configurations 之間的變換動作）。

直觀地看看吧：

對於平面機器人，簡單地說，C-Space 就是以機器人的尺寸為基礎，對 Work-Space 進行一定的膨脹即可得到。複雜點的形狀，可以用閔科夫斯基和（Minkowski Sum）來獲取。

而對於二自由度機械臂，其 C-Space 就不再是簡單地膨脹變化了：

$Delta$ 二軸機械臂 C-Space （左）與 Work-Space （右），出處見Lumelsky et. al., 1993

當然，上圖的 C-Space 也不完全正確，實際上應該是下面這樣的：

$Delta$ 圓環面

為什麼：

最後，回答問題，為什麼不在笛卡爾空間（我覺得題主想表達的是工作空間 Work-Space）里做規劃。

Work-Space 中有些場景可能規劃不出；

從 C-Space 到 Work-Space 的映射是運動學正解；從 Work-Space 到 C-Space 的映射是運動學逆解。

正解：滿射，在 C-Space 中規劃的結果，肯定可以正確執行；

逆解：多解、奇異點等，在 W-Space 中規劃的結果可能無法執行（不知道選哪個解、奇異點無法經過等）。

在 C-Space 中設計規劃演算法，才可能保證在有解的前提下一定能找到解。

所以，對於機械臂而言，一切工作理論上都可以只在 C-Space 中完成。Work-Space 是給非專業人士準備的。

大多數通用規劃演算法都是面向 Point Agent 的；

目前各種通用規劃演算法都是針對點狀機器人（Point Agent）設計的，如 A*, RRT 等。如果要調用一些通用運動規劃庫，就應該先把機器人描述成一個點。這比為每個機器人單獨設計規劃演算法會便利很多。

而在 C-Space 中，機器人就是一個點（向量）：

$Delta$ 用 A* 在 C-Space 中對機械臂進行規劃

當然，並不是任何時候都非得在 C-Space 中進行規劃。對於一些問題，在 Work-Space 規劃會更容易找到解，這部分工作尚未發表，之後有機會我會再更新的。

簡單答幾點，肯定不全面，還等大神們詳答

1、一個首先我們先理解C space是configuration space的縮寫，一般指運動機構直接輸出的位置量，例如一般的機械臂，C space就是所有關節角度位置的空間。例如一個機械臂只有兩個旋轉關節，那它的C space就是二維的線性空間，寫作R^2，每一個維度各代表一個關節所處的位置。與C space相對應的就是工作空間work space，我們這裡縮寫為W space，就是機器人與我們所處的三維空間。當然這不是嚴格的定義，題主如果想深入了解的話可以看Principles of Robot Motion - Theory, Algorithm and Implementation這本書，運動規劃的入門書。

2、使用C space進行運動規劃主要有幾個優點：

第一，運動規劃的目的是求解一條機器人可執行的運動軌跡，而機構執行動作是在C space上進行的，比如你控制機械臂運動的方法是直接控制關節電機的角度，而不是直接控制關節的位置（就算需要控制關節在W space的位置，也需要通過控制關節電機角度來間接控制）。自然的講，在C space上規划出的線路非常方便直接執行，而不需要進行任何轉換。

第二，很多機構的運動限制是在C space上描述的，比如關節電機的最大角度、關節電機的最大角速度等，在C space上進行規劃也方便考慮這些限制。

第三，我個人認為比較重要的一點，是C space與W space在互相轉換時的不對稱。C-&>W轉換是機構正運動學（forward kinematics），一般機構（機械臂類似的機構，不討論non-holonomic的情況），正運動學存在解析解且解唯一，實現中非常容易計算且計算速度非常快。舉例來看，對於一個機械臂，在各個關節角度確定的時候，整個機械臂位置是完全確定且很容易計算的。W-&>C轉換是機構逆運動學（inverse kinematics），給定空間中機構末端位置求關節角度。逆運動學對於簡單的機械臂類似機構也是很難的問題，不一定存在解（比如你後背上的某些地方你的手就抓不到），存在解也不一定唯一（你抓面前的點有多種手臂姿勢可以抓），還存在奇點等情況，到現在學術界認為逆運動學問題也沒有完全解決。總的來說C space與W space在互相轉換時難度完全不一樣。如果你在求解軌跡是需要同時考慮C space與W space，當然是傾向於在C space上進行求解，需要時轉換到W space，而不是做難度大得多的相反過程。

最後，運動規劃是門機器人學下屬的小學科，很多東西很難在知乎上用幾句話解釋清楚，推薦題主看運動規劃的入門書Principles of Robot Motion - Theory, Algorithm and Implementation，或者類似的中英文書都可以，熟悉基本概念後帶著問題看書效果很好。

相當於對work space和機器人的shape做了個Minkowski sum，然後你就可以把機器人抽象成一個質點了，大大減少了問題複雜度。

因為planning說一門科學，一門科學需要有其自身完備的數學體系，而configuration space是可以用來統一描述planning問題。和 @fly qq 的看法不太一樣，我認為configuration space恰恰是用來剝離實際機器人系統的，因為在configuration space裡面看都是一個點。這樣在configuration space裡面設計的planning演算法就不再是局限於某一機器人系統的planning演算法，而是理論上可以擴展到任意機器人系統，比如在移動機器人領域的常見的potential filed演算法（Principles of Robot Motion專門有一個章節來介紹potential field），如果實在configuration sapce來設計，那麼理論上也是可以擴展到DOF很高的機器人系統上的。

但是是不是一定要掌握了configuration space的概念再去做實際機器人系統的motion planning？我的回答是：不一定。完全可以先應用，再理解，迭代的去理解、實驗、反思planning裡面遇到的每一個知識點。Principles of Robot Motion這本書讀一遍，不做實驗，是大概率讀不太懂得。如果你不希望把這本書讀成&，不妨在第一遍沒搞懂一些概念的時候先跳過，後面再來迭代（本人資質比較愚鈍，目前是第三遍看這本書，才對一些比較抽象的諸如manifold有了一些認識）。

當然，如果你是考慮進入motion planning學術圈，把planning相關的點搞清楚就很重要了，畢竟寫文章要寫出一些通用的學術術語才能夠凸顯自己的專業性。