相對論的能量─動量關係是否有適用範圍？

01-11

相對論的推論不應該適用於所有物體並且在低速情況下過渡到經典物理學的公式上嗎？但是為什麼薛定諤最初用相對論能量─質量關係推導出的波動方程（克萊因─戈登方程）來計算氫原子中電子的能級時，得出的結果與實驗不符呢？最後運用經典物理學中的 E＝p2/2m 才得出正確結果。按我以往的思維。我會以為用 E＝p2/2m得出的結果只適用於低速的非相對論粒子，而相對論的能量─動量關係式推導出的波動方程會適用於所有粒子。知識有限，請輕嘲諷。

因為克萊因─戈登方程不適用於電子。

克萊因─戈登方程描述的是自旋為0的粒子，而電子的自旋是1/2。

事實上，直到狄拉克才找到了描述自旋1/2的粒子的相對論性方程。

簡單來說，非相對論性的能量-動量關係是 $E=frac{vec{P}^2}{2m}$ ，

然後形式上做量子化 $E ightarrow ifrac{partial }{partial t}$ 和 $vec{P} ightarrow -ivec{ abla}$ ，就能得到薛定諤方程。

類似的，相對性的能量-動量關係是 $E^2=vec{P}^2+m^2$ ，做同樣的量子化會得到克萊因─戈登方程。之所以克萊因─戈登方程不能描述電子，是因為克萊因─戈登方程要求粒子的自旋是0，而電子的自旋是1/2，因此克萊因─戈登方程不能描述電子。

另一方面，相對性的能量-動量關係也可以寫作 $E=sqrt{vec{P}^2+m^2}$ ，但是在形式上做量子化的時候會出現困難，因為我們需要一個線性算符來作為哈密頓量，而不是 $sqrt{vec{ abla}^2+m^2}$ 這樣的非線性算符。所以事實上，直到狄拉克引入了旋量表示才找到正確的線性算符形式。之後進一步研究發現狄拉克方程描述的粒子自旋是1/2，因此狄拉克方程可以自然地描述電子。（旋量可以簡單看做是介於標量和矢量中間的半個矢量，但是事實上數學描述要比標量或者矢量複雜地多。。）