數學分析究竟在講些什麼?
學習數學分析兩個學期了，始終感覺是個門外漢，遇到問題不能很好的運用數分這種思維or這個工具，概率論老師說學習數學就是要建立一種數學直觀，可是對數分來說我卻始終建立不起來，想請問一下各位，數分究竟都在講些什麼，如何建立起數分的直觀思維?在此謝過了(比心~)
數學分析不追求直觀思維，學好的關鍵是在於培養抽象思維。
數學分析不追求直觀思維，學好的關鍵是在於培養抽象思維。數學分析不追求直觀思維，學好的關鍵是在於培養抽象思維。John von Neumann 就是對「一位想要理解抽象數學「的物理學生說出以上那句的。的確，導數，積分都有物理幾何上的意義（切空間，體積），可以部分的直觀化。但是數分的核心思維是抽象而不是直觀，你不能往錯誤的方向上去努力！理解抽象觀念最好的方法在於兩點。1.不斷的使用這個抽象的概念，建立第二本能。2.記住一個個特例和反例，培養某種對直覺。你首先放棄「哲學式」的理解數學分析的方式，通過圖像甚至玄學理解數學分析是很危險的。你首先要學會用「嚴格的數學邏輯說服自己和別人」。不要覺得這個直觀上對的就是對的，對每個細節都要做到邏輯上和計算上的自洽。你要做到希爾伯特說的下面的要求。
數學專業本科在讀。教材用的是高教出版的華師編的第四版。目前還沒有學完整本，還差曲面積分。只是講自己的理解，之後如果看其他版的教材，有了新理解，會來補充。以下拙見，歡迎指正：
按目錄來，上冊：第一章「實數」1.接觸到了「任意正數ε」，以後的學習中，我們知道，因為任意，所以他可以無限小，許多證明用到了這一輔助符號來完成。2.確界原理。這裡的思想（以上確界為例）是數集中的任意數x，若有η≧x則它是數集上界；又，任意比它小的數α總能在該數集中找到比α大的數，那麼，η為數集的最小上界，即上確界。這個證明邏輯清晰連貫。第二章「數列極限」這套教材的整體都是這樣順延下來的：數→函數→多元函數1.接觸了ε-N語言，其中，ε如前，N為正整數（把他理解為一個很大很大的數）。初次接觸極限。2.收斂；一個數列，一個函數，一個積分，一個級數…收斂，意味著他的極限存在為一個確切的數。發散：（啊！收斂的反義詞）在數學角度的確這樣，書上的解釋是以上…沒有極限，則發散。
3.收斂數列性質；只提迫斂性，思想：大於等於小於一個數列的兩數列，都在a收斂，則，這個數列也在a處收斂。（也叫夾逼準則）這裡的計算會用到放縮法，以及高中學過的數列的計算公式和方法。4.極限存在條件；柯西收斂準則：數列收斂的充要條件。同樣ε和N（不要忘記ε的任意性和N的理解），當m,n＞N時Am,An的差的絕對值小於ε。第三章「函數極限」1.定義思想同數列極限2.加入了一個x0，在x接近x0時，函數值接近一個定數A，則稱：函數當x趨近x0時以A為極限。（1.中定義可以把x0理解為正無窮）3.歸結原則，把數列極限加入到函數極限當中xn→x0（n→∝）則lim（n→∝）f（xn）=A等價於limx→x0f（x）=A第四章「函數的連續性」1.連續意味著：在某點的極限值，等於這一點的函數值（前提是函數在這一點的臨域內有定義）2.一致連續（暫時不展開）
第五章「導數和微分」1.導數，切線斜率，是一個特殊極限存在的定義。2.極值，我記得高中學過。這裡加了一個費馬定理，穩定點，不展開。3.微分，與導數的關係：函數微分與自變數微分的商為函數的導數（在我現在學的程度上，只把他當做了一種定義）這裡的計算，求導法則，以及一些基本的導數公式（在以後的積分中也會用到）第六章「微分中值定理及其應用」中心思想：給定區間[a,b]中一個數的函數的導數，等於f（b）-f（a）除以b-a2.泰勒公式，一種函數展開形式（記住）3.凸性，用幾何圖形理解，然後記住它的定義公式，和二階導數和凸函數的關係
第七章「實數完備性」略第八章「不定積分」計算主要在方法！！積分表，換元法，分部積分法，口訣：反對冪指三第九章「定積分」這裡開始，和概率論的計算有了聯繫。1.教材從曲邊梯形面積切入，思想：分割，近似求和，取極限2.牛頓萊布尼茨公式，（我記得我高中就知道怎麼用）3.積分中值定理：[a,b]上的定積分，等於x屬於[a,b],f（x）乘（b-a）
4.變限積分即把一個以x為自變數的函數，用以x為上（下）限的定積分表示。第十章「定積分的應用」從另一個角度，（不同的分割方式）來積分，分別：曲線圍成圖形面積→小矩形，扇形(橢圓，心形線…)→分成小扇形積角度體積：三維，分割成小面，求和，取極限光滑曲線弧長：切線的勾股定理(在以後的第一型曲線積分里用到）旋轉曲面面積：分割成小圓，求周長和，取極限第十一章「反常積分」既然反常，就有瑕積分和無窮積分收斂和發散含義同前。
1.瑕積分：被積函數在某點附近沒有定義，這一點稱為瑕點2.無窮積分：積分的上限為正無窮。無窮積分收斂意味著原函數在正無窮處存在極限。接觸到絕對收斂：被積函數的絕對值在原積分區間內收斂，則原函數也一定收斂，稱其絕對收斂。相對應的，條件收斂，即收斂而不絕對收斂的定積分。3.無窮積分收斂的判別：比式判別法：特別的，柯西判別法，自己推導一遍就可以清楚思路。Dirichlit 判別法：以f(x)為被積函數的定積分在被積區間[a,+∝)有界，另一函數f(x)在[a,+∝）單調趨於0，則以f(x)·g(x)為被積函數的定積分在積分區間[a,+∝)上收斂。Abel判別法：則是以f(x)為被函數的定積分在積分區間[a,+∝)收斂，g(x)在[a,+∝)單調有界，則以f(x)·g(x)為被積函數的定積分在積分區間[a,+∝)收斂。4.瑕積分，關於收斂，同樣有比較原則，狄利克雷判別法，阿貝爾判別法。未完……「學習數學分析兩個學期了，始終感覺是個門外漢」。正常。把課本的目錄重新翻一遍至少可以開始提比「數學分析究竟在講些什麼?」更具體的問題了。
維基百科的英文的條目（Mathematical analysis）有很好的概括性解釋：
Mathematical analysis is the branch of mathematics dealing with limits and related theories, such as differentiation, integration, measure, infinite series, and analytic functions.
These theories are usually studied in the context of real and complex numbers and functions. Analysis evolved from calculus, which involves the elementary concepts and techniques of analysis. Analysis may be distinguished from geometry; however, it can be applied to any space of mathematical objects that has a definition of nearness (a topological space) or specific distances between objects (a metric space).
國內本科的「數學分析」只包含實分析一支。所謂「實分析」，簡單準確的說法就是「實數的分析」。 把「實分析」與「勒貝格測度與積分理論」等同起來是很奇怪的做法。
關於教材
卓里奇魯丁就高大上？華東師大的數分就很膚淺？對入門的初學者尤其是沒有很好的指導老師的自學者而言，「名著」級的教科書並不一定適合第一次閱讀。對一個從來沒有接觸過微積分也不知道什麼是數理邏輯的大學一年級新生來說，上來就學一個月的實數理論和點集拓撲加上一大堆暫時無關緊要的證明題，實在不是一件幸福的事情。相當一部分人還可能從此永遠失去對數學的興趣。如果Zorich或者Rudin是你的第一本數學分析教科書，逐行逐句的「線性式」閱讀會把開頭的兩章變成你的噩夢。從另一方面講，不同作者的教材可以有互補的關係。讀完了A不妨看看B。很多A講不清楚或者太抽象的地方，B可能有具體詳細的例子。
（待續）
分科……
對非數學系來說，就是講微積分如何可能。
在牛頓和萊布尼茨搞出微積分百多年後，經歷不少數學家們之手，才構建了建立在實數完備性基礎上完善的微積分理論。在這期間，雖然牛頓的定義很有問題，但物理學家們用的不亦樂乎，似乎也沒出什麼問題。典型的應用跑在理論前的例子。不過，雖然沒有具體考證過，我相信近代物理的許多理論，尤其是抽象些的，是在微積分在數學上被完善後才出現的，而不可能是基於牛頓當年的版本。所以，請重視數學基礎的必要性。論邏輯的嚴密性，數學無人，劃掉，無學科能及，也正因為它的嚴密和自洽，才擁有最強大的拓深推廣能力。神秘叨叨的高維空間至今也只存在於數學定義里。對數學系來說，和認字差不多？熟悉最基本的概念，收斂，極限，連續，求導，微分，熟悉重要的定理和有必要的計算，微分中值定理，實數的完備性，積分，各種積分，積分的應用，級數，隱函數定理，熟悉數學中常用的推廣思想，多元。
直觀性沒什麼感覺，也許實數的完備性很好玩？當年偷懶不寫課後作業，之後各門課，尤其ODE和PDE學得要死要活。最重要的是打基礎。但學的多了反過頭去看數分，那些課後習題又沒有當初那麼討厭了。對我來說，數分，和高代一起，最重要的是告訴我，
數學原來是如此嚴密，自洽，而美麗的存在。謝邀。在我看來數分就是教你怎麼算東西的。初等數學有四則運算，學了本科數學之後微積分應該成為你的「第五種運算」，數分的整個學習過程就是讓你熟悉這種運算方式的過程。數分裡面哪怕是證明題，很多其實也是通過計算去證明，比如用Taylor expansion，或者用各種不等式去放縮，這些通通都屬於計算。
答主水平有限，無力闡述究竟的具體內容，故刪除了原回答，以免誤人子弟!
數學這門學科應該是"算"懂的，而不是僅僅只是"看"懂的!當年學數學分析，感覺理解還可以，計算也能做，就是證明題很勞心。。其實吧，數學分析總體的理解思路跟高中差不太大，如果說挑一門對大一新生世界觀#沒錯，我寫的是世界觀#影響最大的數學基礎課，我覺得應該是高等代數。
數分的思維 我一直以為是極限的思維
或者說是無窮、逼近這樣的思維 別人看問題都只看表面 學完數分我們會看的遠一點 更遠一點 不知道這樣是否能回答你的問題有人說數分是基礎 有人說數分是計算 作為一個小菜菜 我把本科數學分為三大類分析、代數、應用數學(運籌、概率等)數分就是分析學科的基礎和工具後面學習的複變函數 其實是複平面的數分 實變函數是換了積分區域的數分常微分、偏微分也大量運用數分的一些結論現在我都讀研了還無時不在後悔當年沒有好好學數分不過你有不知如何運用的感覺是正常的數學分析里的一些結論我們現在證明的時候才用上不過其他結論你後面學習很快就會用上了數學的世界很廣闊如果兩個學期一門課就能讓你建立起數學直觀那你也太天才了繼續加油吧共勉(雖然我也不懂什麼叫數學直觀。。。?_? )再補充一點 看到有童鞋提到連續 寄出一張自己的截圖 一個論壇里大神的回答
往簡單了說，嚴謹一點的高數而已；往大處說，四年的分析課程，包括復變，微分方程，實變，泛函全都是數學分析，應該是一體的，閹割了的東西怎麼會學的明白。我見過的高手都欣賞卓里奇的書，大概那樣才是真正的數學分析吧。以前華羅庚有一條龍教學法，現在沒有那種條件了。自己努力吧，低年級少做哲學性思考，多做題多看書長長知識面，不要數學分析學完了只會求導求面積。
只要控制了範圍和你能接受的度。你就可以拿你熟悉的一切替換一切的陌生和未知。此時你就是主宰。直觀不？
我學數分的的時候也是趕一步走一步，並不知道整體是個怎樣的模樣。後來花了一年刷了整本裴禮文，隱隱約約有了感覺，掌握了很多方法，但還是不夠清楚。再後來學實變泛函，到現在，整個數分的結構才算完整起來，當然還沒有徹底完整。以上所說的意思是，我不認為僅僅靠學數分就能完全理解數分。還需要做很多其他的事情，當然拿高分又是另一回事情了。如果非要說數分的重點是什麼，那就是極限的觀點。非要說刷數分題目的重點，那就是學會創造一個極限去逼近的方法。
剛剛考完數學分析第一節課的，強答一下。
個人覺得完全沒必要過度強調極限的重要性吧。數學分析和之前課程一個巨大的不同就是抽象。相比之前只討論歐式空間甚至實數集合，數學分析課從一開始便引入度量空間的概念。之後很重要的是開集，連續性和級數收斂都可以用開集來定義。這個抽象很有趣，畢竟在拓撲空間里度量函數都不存在了。因此，我覺得理解分析的第一步就是要適應抽象，能不用極限和不等式就不要用。在我們的課上一次討論連通性的時候，TA 很不情願地用了度量函數；最近一次關於皮亞諾空間性質的證明，即 [0, 1] 到 M 的滿射的像是局部路徑聯通的，教授一開始也用收斂性和不等式，可後來他找到一個只用開集定義的做法，興緻勃勃地發了郵件告訴我們。
其次，我覺得理解等價定義背後的直覺很重要，比如說緊集的兩個定義的等價性，它們背後的幾何意義。感覺到了做起題目就砍瓜切菜了。
最後，挑本好習題集真的很重要。我們選的教材比較奇怪，Pugh 的 Real Mathematical Analysis，很多很有趣的構造都在習題里，每道題做起來都超級有趣，當然缺點就是每周要花上十幾小時想證明啦。總的來說，這是我上大學以來上的最有挑戰、最有意思的數學課，開學五十多人結課時只有十個人了。祝各位掙扎在分析海洋里的同胞早日游出苦海。
PS：用中文說數學術語感覺好奇怪。用極限理論研究實數域（實數的完備性，這是基石）上性態比較好的函數【比如間斷點集是零集，光滑什麼的，可展開為級數什麼的等等】，外加一些計算【比如一些不好算的積分（用含參量積分或者特殊函數）、功、流量、幾何度量、極值、場論里的量什麼的）】
學習一門學科最大的障礙就是「它有什麼用」。特別是基礎課，乍一看，除了題目本身，好像看不到和實際的應用之間的聯繫。但是如果草草掃過，到真的需要用的時候，大概不是苦嘆「書到用時方恨少」，就是「只是當時已惘然」了。
數學分析裡面，最重要的兩組概念，一個是無限和有限，一個是連續和離散。從中學的知識起步，要深入的理解這兩組概念，其實是有一個跨度的。之前中學的知識體系裡面，模型是連續，光滑的。但是很明顯，實際的世界是粗糙的，不連續的。那麼怎麼在考慮到實際的這種不精確的情況下，利用模型來很好近似真實的世界呢？數學分析裡面提供的分析手段告訴我們，只要粗糙的測度不超過某個程度（delta(x)& 同樣的，通過數學分析的訓練，你會自然而然的對一些「顯然成立」的猜想有天然的警惕感。構造那些反例的時候，也在潛移默化的培養你批判性思維的能力。
在講人生啊！
數學分析的主要研究內容是函數，對此它提供了兩種工具，微分和積分。這就像是看待問題的兩種方式，一種是微觀地看，用顯微鏡看；另外一種是宏觀地看，用廣角鏡看。
顯微鏡的放大倍數是1/dx，所以說f(x)的導數f(x)/dx就是放大後的結果；而廣角鏡的放大倍數是dx，這是一個無窮小量，因此f(x)的積分f(x)dx就是縮小後的結果。
用顯微鏡看我們可以細細研究，精益求精；用廣角鏡看我們可以忽略掉不重要的細節，去追求對事物進行整體把握。
舉個例子：
Taylor展開表達出一種什麼樣的思想呢？你給我一個函數，只要它足夠好（任意階可導）那麼我就可以用簡單的多項式函數去逼近它，並且想要多近就可以多近。一個人如果內心深處是善良的，那麼我們就可以去慢慢靠近他理解他，總有一天能和他成為朋友。相反如果一個人壞到骨子裡了，那麼無論什麼方法多長時間都不能和他建立起友誼的。「這哪裡是數學，分明就是人生啊。」網上有本電子書叫《我的數學分析積木》，比較適合學過數學分析但對其仍感迷茫的人看。
數學這玩意真是要學完幾年才意識到自己學到了什麼。現在講你也只能明白一個大概。
數學分析學的很雜，把現代數學(主要是代數學)的基礎混在了一起。但總的來說分幾方面
1. 嚴格的邏輯結構。
一套由公理為基礎，由三段論，歸納法，排中律為鏈接所建立的數理邏輯。這是從高中就開始學，但到了數分才做出嚴格要求的理論體系。2. 符號與定義。
記憶數學交流範式。包括邏輯結構的符號形式，各種常用數學名詞的意思，各種常用結構的定義。主要目的是應對未來的學術交流。3. 公理。
記憶常用公理，理解它們的邏輯基礎。以上三種內容都是從小經過多次學習的，但數分是大家遇到的第一個不嚴格掌握這些就過不了的課。這些是數學分析基礎，也是課名的由來。
4. 無窮。
這是數學分析中唯一的理論知識，也是現代科學最重要的基礎概念。整個數學分析都是圍繞在如何用上述三種工具分析無窮上。從皮亞諾公理引出無窮大的概念，再從測量空間與阿基米德原理引出無窮小的概念。
然後用無窮重新定義極限，從映射推出序列的概念。分析序列在無窮大時的性質，比如收斂與發散。
之後再通過實數構建函數的概念。加上無窮小導出的連續概念。之後開始考慮函數連續性。
由連續函數可以導出一個映射的微元概念，進而推出導數的概念。
導數用幾種方法可以推出積分的想法。
導數的逆運算又造就了ODE。至此完成了最基本的代數學框架。
之後再進一步擴展，把微分概念推到多元，提出偏微分概念，把ODE拓展到PDE。建立拓撲學思維的雛形。之後就是方法論了。
————————————數學分析與高數並沒有太大差異，主要就是前三點的問題。數學分析關注如何用前三點對無窮概念進行分析，推出第四點中的結論。而高數只關心第四點的結論與方法論，不重視分析過程得票最高的那位說更注重抽象思維，可我覺得數學分析有啥需要抽象思維的啊？
函數連續可微可積收斂，級數收斂，一堆求積分，還有隱函數反函數和變數替換和含參的，差不多這些吧，這裡需要啥抽象思維嗎？
首先函數來說，你就直觀也行吧，一堆性質都可以畫圖解決吧，也就是高階導數的時候，沒法簡易的直觀了，這時候你簡單的抽象一下應該也不難理解。
然後級數的話，直觀看就是用一堆逼近一個嘛，你把每一個數項也好函數項也好，都看成對要逼近的東西的拆分嘛，而且這裡的收斂刻畫，完全可以代替之前的那些等價無窮小（反正我都從來不記那堆無窮小，需要用就推一下），其實本來就是一個東西，你判別的時候就是看最後那個無窮小是不是夠收斂。(￣▽￣)~我感覺還挺直觀的吧。
求積分的還需要抽象嗎，那些題你不畫圖你光靠想你能保證對？反正我是不行，我都得畫出來再求，很多時候想的總會少點東西，那些看似很複雜的式子畫完之後反而很簡單，然後就列公式求唄。
隱函數好像更沒啥說的。反函數的話你就和映射聯繫一下，感覺一下，恩，然後還有啥，一個求導公式吧，別的還有么？沒了吧。
然後就是變數替換的，這個麻煩點，書上有一堆圖，挺不錯的。
差不多了吧，都能直觀吧應該，數分要是不能直觀的學習，那後來的代數學，泛函啥的還咋學呀！
你可以再說說哪需要直觀解釋我可以補充。
（PS:我學數學我最後總要把定理定義直觀成一個好理解的東西，難道我都學錯了？∑(O_O；)我不服(???????)別把數學當做哲學呀，20世紀的數學家很多都是哲學家，可是按抽象思維來學的話豈不是很難讓新學生接受。話說怎麼算抽象思維啊，仔細一想，難道我抽象思維很弱Σ(゜ロ゜;)，不會吧，大概是哪裡出了小問題，恩，一定是這樣）我也回答一下吧，雖然沒有被邀請。
作為數學專業的一雪糕渣，當年數學分析學校安排了三個學期，本人也是第二個學期才見見步入「正規」，雖然有些東西始終沒明白，但給我的感覺就是，第一學期沒懂的東西第二學期懂了，第二學期沒懂的東西，第三學期懂了。以前一直掙扎於證明之間，自認為數學分析就是證明證明，後來才發現，對於一個定理的證明可以看做是後人或者作者對定理的解釋，不僅讓讀者知其然，而且知其所以然，這句話也是我高等代數嘴邊常掛著的一句話。不至於想高等數學那樣，公式定理從中截斷，不知由來，因此他們也被用作工程。數學分析的證明很多，目的不僅僅是讓你知道每個定理怎麼證明的，而是想告訴我們一種證明的方法，怎麼將一個問題用嚴謹的解釋將其說明白——這是思維方法，數學分析這套東西對後來的專業課做了很厚的鋪墊，典型的高等代數、實變函數論、隨機過程這些裡面都有這類思想，因此，如果這套思維方法無法接受，後續的內容將難以理解。
數學，是個工具，很多人都這麼說。不僅是是用的工具，也是鍛煉思維的工具啊
極限論，嚴格地處理連續和無窮。線性化。
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