兩人如何分取一塊蛋糕？

01-11

題目描述是這樣子的：
A與B要一起分享一塊美味的大蛋糕，假設是一個規則的圓形，半徑有限大，首先，A將蛋糕分成有限若干小塊（每塊必須是以原來蛋糕圓心為圓心的扇形，圓心角任意大小），分好後兩人輪流拿蛋糕，每人一次只能拿一塊蛋糕，由B開始任意拿，B拿後規則補充為每個人只能拿走已經拿空區域的相鄰兩塊蛋糕，A拿，然後B再拿，此後A，B輪流拿蛋糕直到將蛋糕塊拿完為止。
問：A怎麼樣分蛋糕才能使自己拿到的蛋糕塊總量比B大，並說明詳細的蛋糕分法。
本人剛開始想這道題時，感覺無論A怎麼分，最後結果不是A比B拿的少就是A與B拿的一樣多（即均分偶數塊，各拿一半），但是經別人開導後來又想到一種情況可能會否定這個結論，但是又覺得不可能而又不會證明，那就是：B可能拿走了第一大塊，A可能拿走了第二大塊，等到下一輪，A可能又會拿到第三大，，，，，也許最後A拿到的會比B多，，究竟對不對呢？

由於本人智商較低，希望各位不喜勿噴，只想尋求一個合理的解釋(^_^)
補：由於是同學的朋友在組合數學課上老師給的題目，我又加了個相應標籤2333
再次補充: 假設A與B絕頂聰明，B第一次可能不會拿最大的那一塊（因為那樣B可能會輸）

A 無法拿到更多的蛋糕

否則，無論b從哪一塊蛋糕開始拿，a都有必勝策略。

給蛋糕編號：從1到n。

容易證明如果a有必勝策略則必定是在第一步實行。

否則假設在b走第i步（設i＞1）以後a才有必勝策略，那麼b可以改變第i步的策略來規避輸的結局（b在第i步有兩種選擇）那麼這時，由於題設b有必勝策略那麼這時b依然有應對策略，這時實際證明了b在走完i-1步時已經輸了。由遞歸可得，如果a有必勝策略，則在第一步實施。

下面，由於a有對b的每一種開局的應對方案，設s（i）是在b第一次選i時，且兩個人都在做最優解後兩人的蛋糕差，顯然s（i）≥0。設br（i）為a在b第一次選i時的策略。假設s（1）是所有s中最大的，則考慮b在第一步取br（1）的情況這是s（br（1））≤s（1）。考慮a在第一步去1 br（1）br(br(1))...的情況，（在br（i）有兩種選擇時我們在每次到達i總是選其中固定的一個）由於n為有限個必出現循環。

這個循環只有兩種可能要麼是全部n個原素的循環，要麼是最後兩個原素的循環，因為br（i）總是和i相近的原素，顯然循環節中的原素大小是一樣的。第一種情況所有原素一樣大，那麼a不可能有必勝策略。第二種情形中，假設最後的循環為i j則交換這兩項不影響最後的結果我們可以把他們剔除掉這樣做直到n＝0或1或者到第一種情況中，同樣得出a不可能有必勝策略。

綜上，a最多可能得到和b一樣多的蛋糕

先說結論：A不可能拿到比B更多的蛋糕，最好的情況就是平均分配。

下面用反證法來證明。

假設A把蛋糕分成n份，用S1到Sn來標記。B先拿，標記為S1，然後A拿，標記為S2，以此類推，最後A拿到S2，S4.。。。Sn，B拿到S1，S3.。。。Sn-1。

情況1： n為偶數。

假設存在一種分法，S2+S4+...+Sn &> S1+S3+...+Sn-1, 由於「每個人只能拿走已經拿空區域的相鄰兩塊蛋糕」，則必然存在B第一次拿的是S2(而不是本來拿的S1）的情況，,這將導致A第一次只能拿S1,或者S3。如果A第一次拿S1，則B拿Sn，如果A第一次拿S3，則B拿S4。以此類推，B可以保證最終的結果是B拿到S2, S4 .... Sn， A拿到的是S1,S3... Sn-1. 這樣B則可以分到比A更多的蛋糕。所以不存在一種分法，不管B怎麼先拿，A最終必然比B拿的多。

情況2： n為奇數。

B先拿，則B比如比A多拿一塊。B在和A拿一樣多塊的情況下都可以保證不輸，何況多拿一塊？假設B拿的最後一塊無限趨近於0，則該情況轉化為情況1.

命題不存在！半徑無限，切的完？

在兩個人絕對聰明的情況下先手肯定有優勢。分析下後手拿的a的優勢 1，他有刀 2，他來切要想多拿無非兩種辦法暴力或者偷雞暴力就不提了偷雞的話在切蛋糕的時候將一些蛋糕表面切開但是底部還是粘連的。這樣算是一塊吧。

你先告訴我這個老師是不是姓孫...

先說我切你拿，拿到刀，然後剁翻另一個人。。。

瀉藥。

A，B絕頂聰明，那麼我們可以認為A，B近似於兩個強大的AI，在腦中經歷各種遍歷後，A，B所做的每一步都是當前局面下的全局最優解。

這樣的話，對於比較A,B最終所得，如何切蛋糕已經不是問題的影響因素了。完全可以假設蛋糕是以任意形式切出，這種情境下第一個拿的人，做出的選擇便是整個博弈過程中的全局最優解。而這個最優的含義在兩個人的所得蛋糕數目比拼中，一定為大於等於對方。

問題假設兩個人都是最聰明的，那麼他們在每一個結點所做的決策一定是可以根據當前情況判斷出來的，我們作為第三者可以判斷，那麼兩個參與者也可以判斷出來。依照這個論點，一個被n分的蛋糕只有n種分配結果，而是哪個結果只取決於B的初始選擇。

那麼,B從一開始就會從n個可能的路線中選取最佳的一條，現在需要證明的是這條路不是平分就是勝出。

至於策略的具體描述。我覺得這與蛋糕情況分配狀況有關。或者無關卻有一個描述。這個需要再分析一步。

未完……

A來切成兩塊，B先拿。這樣兩人都沒意見，即公平。