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線性代數行列式

通俗地解釋行列式與其轉置行列式相等的原因？

01-11

行列式在基本行變換或基本列變換下是不變的（或變符號），而任何一個矩陣者可通過對角陣都可通過一系列基本行變換或或一系列有基本列變換得到，兩種方式互為轉置，行列式自然相等

謝邀。如果你知道singular value decomposition(SVD)的話這個結果應該很好理解。

考慮一個線性變換

$mathbf{y}!=!mathbf{A}mathbf{x}$

它的幾何意義是把空間中的一個點 $mathbf{x}$ 通過線性變換 $mathbf{A}$ 變到另外一個點 $mathbf{y}$ . $det(mathbf{A})$ 大概表示了從 $mathbf{x}$ 變換到 $mathbf{y}$ 的一個scaling factor.

根據SVD， $mathbf{A}mathbf{x}$ 可以分解成

$mathbf{A}mathbf{x}!=!mathbf{U}mathbf{Sigma}mathbf{V}^Tmathbf{x}$

其中 $mathbf{U},mathbf{V}$ 是unitary matrix，幾何意義是旋轉。也就是說線性變換 $mathbf{A}$ 作用於 $mathbf{x}$ 等價於先對 $mathbf{x}$ 旋轉得到 $mathbf{V}^Tmathbf{x}$ ,再伸縮得到 $mathbf{Sigma}mathbf{V}^Tmathbf{x}$ ,最後再旋轉得到 $mathbf{U}mathbf{Sigma}mathbf{V}^Tmathbf{x}$ .

同樣的道理， $mathbf{A}^Tmathbf{x}$ 可以分解成

$mathbf{A}^Tmathbf{x}!=!mathbf{V}mathbf{Sigma}mathbf{U}^Tmathbf{x}$

因為影響伸縮的對角矩陣 $mathbf{Sigma}$ 沒有變化，所以 $det(mathbf{A})!=!det(mathbf{A}^T)$

由行列式的定義可知，行列式的值就等於n!項的代數和，而每一項都是取自行列式的不同行不同列的元素的乘積，而每一項的符號只依賴於行號（或列號）排列的奇偶性。

轉置之後的行列式的值也等於n!項的代數和，且一定能取到之前相同的n!項，這些項的符號也不變

（因為轉置後只不過行排列的奇偶性變成列排列的奇偶性）。

因而行列式和它的轉置行列式相等。

考慮兩種乘法

$left( a+b+c ight) imes$

$left( d+e+f ight) imes$

$left( h+i+j ight)$

以及

$left( a+d+h ight) imes$

$left( b+e+i ight) imes$

$left( e+f+j ight)$

結果的差別在哪裡呢？

差別就是結果取自同列的那些項，

比如前個結果里有adh，同取自第一列，在後個裡絕不會出現。

而只要是不同列的，如afi，前後個同時會出現。

而行列式，只要是同列的，結果就為0，正好規避了這種區別。

所以行列式與其轉置行列式相等。

在C上考慮。 A=(a_{ij}),那麼 det A 是 C[a_{i,j}]中不可約多項式。 A-&>A"是線性映射，所以 det A"也是C[a_{i,j}]中不可約多項式。注意它們在 C^n中的0點相同，均問不可逆矩陣的集合。所以只能相差一個常數，即存在c
eq 0， det A=cdet A"。令 A=I，知c＝1.所以它們相等。

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