複數相乘求的是什麼?為什麼不等於這兩個向量的內積加上外積,求大神解惑
01-11
恩 ,是我說的不太明白,兩個複數相乘,取第一個複數的共軛複數然後相乘,結果剛好是這兩個向量的內積加上外積的模j ,因此就很不明白複數相乘到底求的是什麼?
謝邀。
對於複數相乘,你需要先了解複數的來歷。
複數域,通常被記為,是實數域的代數閉(algebraic closure),也就是說在實數域中加入所有的多項式的解所得到的代數延拓(algebraic extension)。很幸運的(或者說不幸的),我們發現複數域對於實數域的extension degree為2,所以我們可以選擇一個basis,一般為(1,i) with
,則所有的複數都可以唯一地表示為
的形式。類似的,我們也可以選擇不同的basis,例如(1,
) with
是一個
上的不可約多項式的零點,那麼同樣的,任意一個複數都有一個唯一的表示
。
而複數域上的乘法則是實數域上的乘法的唯一延拓,也就是說它的定義是由實數域上乘法定義的,再簡單的說,就是這是唯一一個滿足交換律,對加法的交換律,以及所有非零元都有逆元的運算,使得當我們把這個運算限制在上時,它和實數域上的乘法是一樣的。
複數是實數的推廣,複數中引入虛數單位
根據歐拉公式,複數也可以寫成「指數形式」:
硬要用通俗的方式理解的話,個人感覺複數代表著實數領域的擴充,也就是數也具有了方向性,所以複數相乘就是一種向量變換,好比向量相乘(a+ib)(c+id)=a(c+id)+ib(c+id)
=ac+iad+ibc+i^2bd
=ac-bd+i(ad+bc)個人理解,有錯請不吝指正。是時候鎮出這個視頻了
維度數學漫步5複數
然後再結合(或者是實現)歐拉公式和四元數,你就應該明白複數相乘的作用和意義了。推薦閱讀:
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