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複數相乘求的是什麼？為什麼不等於這兩個向量的內積加上外積，求大神解惑

01-11

恩，是我說的不太明白，兩個複數相乘，取第一個複數的共軛複數然後相乘，結果剛好是這兩個向量的內積加上外積的模j ,因此就很不明白複數相乘到底求的是什麼？

謝邀。

對於複數相乘，你需要先了解複數的來歷。

複數域，通常被記為 $mathbb{C}$ ,是實數域的代數閉(algebraic closure)，也就是說在實數域中加入所有的多項式的解所得到的代數延拓(algebraic extension)。很幸運的（或者說不幸的），我們發現複數域對於實數域的extension degree為2，所以我們可以選擇一個basis，一般為(1,i) with $i^2=-1$ ,則所有的複數都可以唯一地表示為 $a+bi,a,binmathbb{R}$ 的形式。類似的，我們也可以選擇不同的basis，例如(1, $omega$ ) with $omega$ 是一個 $mathbb{R}$ 上的不可約多項式的零點，那麼同樣的，任意一個複數都有一個唯一的表示 $a+bomega, a,binmathbb{R}$ 。

而複數域上的乘法則是實數域上的乘法的唯一延拓，也就是說它的定義是由實數域上乘法定義的，再簡單的說，就是這是唯一一個滿足交換律，對加法的交換律，以及所有非零元都有逆元的運算，使得當我們把這個運算限制在 $mathbb{R}$ 上時，它和實數域上的乘法是一樣的。

所以可以看到這個乘法一個代數定義，不是從幾何角度來的，複數並不是實數域上的一個vector，所以複數的乘法和vector的內積外積並沒有直接的聯繫。

複數是實數的推廣，複數中引入虛數單位 $i$ ，並規定 $mathrm{i}^{2} =-1$ ，任一複數都可表達為 $x+ymathrm{i}$ ，其中 $x$ 和 $y$ 都是實數，分別稱為複數之「實部」和「虛部」。

根據歐拉公式，複數也可以寫成「指數形式」：

$z=x+ymathrm{i}=r(cos heta +mathrm{i}sin heta )=re^{mathrm{i} heta }$

複數乘法的定義為：

$(a+bmathrm{i})(c+dmathrm{i})=(ac-bd)+(bc+ad)mathrm{i}$

或者寫成「指數形式」

$(r_{1} e^{mathrm{i} heta_{1}})(r_{2} e^{mathrm{i} heta_{2}})=(r_{1} r_{2})e^{mathrm{i}( heta_{1}+ heta _{2})}$

兩向量的內積是一個標量，外積是一個向量，標量怎麼和向量相加？

硬要用通俗的方式理解的話，個人感覺複數代表著實數領域的擴充，也就是數也具有了方向性，所以複數相乘就是一種向量變換，好比向量相乘

(a+ib)(c+id)

=a(c+id)+ib(c+id)

=ac+iad+ibc+i^2bd

=ac-bd+i(ad+bc)

個人理解，有錯請不吝指正。

是時候鎮出這個視頻了

維度數學漫步5複數

然後再結合（或者是實現）歐拉公式和四元數，你就應該明白複數相乘的作用和意義了。

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