在基本量子力學中 spectral theorem 有什麼意義？

01-11

Observables = self-adjoint operators，所以 spectral theorem 保證 observables 的 spectrum 存在，是不是這意思？
Spectral theorem 和疊加原理 (superposition of states) 有沒有關？

1，疊加原理：

公理：體系的純態由復可分Hilbert空間中的歸一化矢量表示。

疊加原理： $|psi_1 angle,|psi_2 angle in H$ ， $|psi_1 angle+|psi_2 angle in H$ 。這是公理的推論，線性空間上自然可以做加法，這和運算元的譜，譜定理，都沒有關係。

2，譜：

對於運算元 $A:D(A)subset H o H$ ，我們考慮方程 $A|psi angle=lambda|psi angle$ 。

（1）有限維：選定 $H$ 中基底，運算元 $A$ 可以用矩陣描述。此時， $lambdain C$ 只有兩種可能：

a， $lambda$ 是運算元 $A$ 的點譜（本徵值）；

b，矩陣 $(lambda I-A)^{-1}in L(H)$ 存在， $lambda$ 稱為正則值。

（2）無窮維：此時邏輯上可以分為下面幾種情況。

a， $(lambda I-A)^{-1}$ 不存在， $lambda$ 為點譜（本徵值）；

b， $(lambda I-A)^{-1}$ 存在， $R(lambda I-A)=H$ ， $lambda$ 是正則值；

c， $(lambda I-A)^{-1}$ 存在， $R(lambda I-A) e H$ ， $overline{R(lambda I-A)} =H$ ， $lambda$ 稱為剩餘譜；

d， $(lambda I-A)^{-1}$ 存在， $overline{R(lambda I-A)} e H$ ， $lambda$ 稱為連續譜。

當 $H$ 為無窮維Hilbert空間時， $A$ 的譜集 $sigma(A)=sigma_p(A)cupsigma_c(A)cupsigma_r(A)$ 。

舉幾個簡單的例子：

對於 $H=L^2[0,1]$ ，運算元 $A:psi(x) o -frac{d^2}{dx^2}psi(x)$ ，其定義域為：

$D(A)={psi(x)in C^2[0,1]|psi(1)=psi(0),dot{psi}(1)=dot{psi}(0)}$ 。此時 $sigma(A)=sigma_p(A)$ ， $A$ 只有點譜。

對於 $H=C[0,1]$ ，運算元 $A:x(t) o tcdot x(t)$ ， $sigma(A)=sigma_r(A)=[0,1]$ 只有剩餘譜。

對於 $H=L^2[0,1]$ ，運算元 $A:x(t) o tcdot x(t)$ ， $sigma(A)=sigma_c(A)=[0,1]$ 只有連續譜。

綜上，我們在這裡討論運算元的譜時，並不一定要牽扯到譜定理。這裡 $sigma(A)$ 取決於運算元 $A$ 本身，以及 $H$ 上的拓撲。

3，譜定理：

（1）有限維：

有限維的情況是非常簡單的， $sigma(A)=sigma_p(A)$ ，運算元只有點譜（本徵值）。此時我們對待方程： $A|psi angle=lambda|psi angle$ ，我們無非失去求解一個矩陣的本徵值問題，對於自伴運算元，我們可以將 $A$ （在其本徵矢下）寫成一個新的對角矩陣： $A=sum_{i=1}^nlambda_i P_i$ ， $P_i$ 就是相應的本徵值的投影運算元，滿足： $sum_{i=1}^n P_i=I$ 。也就是說有限維情況下，運算元的譜定理就是要把運算元（其本徵矢作為基底）寫成對角矩陣，即把運算元分解成一些投影運算元的倍數之和的形式。

（2）無窮維：

可以看出，在量子力學中譜定理對應的就是完備性條件。無窮維的情況無非是要將矩陣的對角化推廣而已（只不過研究的基本方法完全不同，而且要複雜很多），下面沒有時間做到嚴格證明，這能簡單的提一下projection-valued measure和譜定理在量子力學中是怎麼應用的。

記 $R$ 中的Borel子集組成的集類為 $B$ ， $H$ 上投影運算元的集合為 $P(H)$ 。在量子力學中，當我們觀測到某個力學量的值時，相應的量子態就會坍縮（投影）到觀測值所對應的態上。由此我們可以定義映射 $E:B o P(H)$ ，如果力學量的觀測值在 $Oin B$ 中，相應的作用在態上的投影算符就是 $E(O)$ 。如果我們確定力學量的觀測值在 $R$ 中（也就是說我們根本沒有觀測），則相應的投影算符為 $E(R)=I$ （沒有觀測，也就不會坍縮）。

由此，滿足一下條件的映射 $E:B o P(H)$ 稱為一個projection-valued measure：

a， $E(R)=I$ ；

b， $E(igcup_{i=1}^{infty}O_i)=lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}E(O_i)$ （運算元強極限下收斂）。

三元組 $(R,B,E)$ 稱為一個譜族。

自伴運算元的譜定理：對於Hilbert空間上的自伴運算元 $A$ ，存在唯一的譜族 $(R,B,E)$ ，使得： $(psi,Aphi)=int_{R}lambda d(psi,E_{lambda}phi)$ ，簡記為： $A=int_{R}lambda dE_{lambda}$ 。

舉個簡單的例子， $H=L^2(R)$ 中的位置算符 $X$ ： $X=int_{R}xdE_x$ ； $I=int_{R}dE_x$ ，相應的物理記法為： $X=int_{-infty}^{+infty}x|x anglelangle x| dx$ ； $I=int_{-infty}^{+infty}|x anglelangle x| dx$ 。

對於量子力學，只要我們在Hilbert空間的框架下討論問題，就一定會牽扯到泛函分析中的很多概念和定理（許多情況下我們用了它，但不知道它存在，比如譜定理。從這個角度看，泛函分析為量子力學提供了強有力的數學支撐）。它們有些是框架性的，例如Hilbert空間和自伴運算元的概念。還有些是技巧性的，例如處理運算元定義域，或者關於連續譜的問題。譜定理實際上就是一般量子力學教材中「完備性條件」的嚴格表述，在有限維情況下它就是矩陣的對角化。

疊加原理本身反應的是線性空間的性質啊，因為態矢空間是一個線性空間，所以才會允許矢量之間的加法。跟譜定理無關。