在數字調製中，為什麼經常將載波用復指數表示而不是正/餘弦函數？

01-11

看了幾個常式為什麼調製載波用指數表示exp(2*pi*f)而不是用正弦函數sin(2*pi*f)表示？用指數表示虛部作用是什麼?

謝邀。簡單來說，就是把載波的頻率-相位表示變成了只有頻率參數但是有I、Q兩路的表示。另外在信號等效低通表示時需要用複信號。

謝邀。我又扔下科研頂著被老闆爆頭的風險刷知乎了

題主說，為什麼數字調製 中載波往往用復指數 $e^{jomega_0 t}$ 表示，而不是用實函數 $cos(omega t)$ 表示。

道理其實不複雜，就是兩個字：

Too youn……啊不是……就兩個字……簡單

具體地說其實就是：表達簡潔，計算方便。

怎麼理解呢？既然題主已經將問題限定在數字調製範圍里了，那我們就在這個範圍里說。

首先，我在之前的一個回答中曾經提到過：

我們實際上在生活中實現的信號都是實信號

這裡說數字調製，那麼毫無疑問，這樣一個調製信號也好還是未調信號（有些情況下是包絡）也好，也都是實信號。那麼，為什麼有些時候信號會用複數表示？這是因為，在很多具體的情況下，我們的信號不能只用一路信號進行表示，而是採用了兩路或者多路信號，為了方便表示和計算，我們將信號表示成了複數形式

$s(t)=x(t) + j cdot y(t)$

典型的例子有信號的高階調製，比如 $QPSK$ 調製， $16-QAM$ 調製等等，在這些情況下，星座圖是二維的，如下所示：

為了實現這種二維調製，發射和接收機使用兩路信號（同相支路和正交支路）來對發送符號的星座進行表示，發射/接收機示意如下，那麼，將信號表示成 $s(t)=I(t) + j cdot q(t)$ 這種複數形式有很大優勢。

還有一些情況，例如為了減小信號帶寬，我們將信號處理成單邊帶，表示成為原信號的解析信號形式，這種情況下和上述類似，也是要用兩路信號進行表達，所以用複數表示。

但是，實際的信號是沒有複信號這種東西的。這一點要清楚。

那麼，你說的是不是這種情況？

廢話了這麼多，答案是：不是

我專門查了一下，Proakis-Salehi Digital Communication - 5th Editon 第三章數字調製裡面關於Pulse Amplitude Modulation (PAM)（幅度調製）的介紹中赫然寫著：

PS：我說了那麼多廢話，是為了說明書里的這一點：你的未調信號（原信號）是個實信號。

幅度調製可以理解成是一維的調製（因為只有信號的幅度變化而不涉及相位變化），這種情況用複數沒必要啊（看下面BPSK實例），但是，由於你的原信號是實的，那麼你使用復指數 $e^{jomega_0 t}$ 實部是你的調製信號，而引入的虛部是完全沒用的，可以忽略。但是在這種情況下，你表示解調、混頻或者單純的分析信號的譜的時候是可以大大簡化計算的。畢竟，複數的相乘和三角函數積化和差公式相比還是要容易一些……還可以節省很多墨水……

我們繼續印證這一想法，看書里關於 $QAM$ 調製的介紹：

式（3.2-35）調製信號被複指數信號調製後取實部，說明復指數信號的虛部是沒用的，引入復指數僅僅為了簡化計算和表達，而已。

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