有哪些定理有特例?

就是那種大部分情況都符合這個定理

但就是有那麼一兩個或者幾個不符合的情況


我的書架上有一本書,書名是《分析中的反例》。

試看其中的幾個例子:

第一個例子(摘自第三章:微分法):

第二個例子(摘自第九章 二元函數):

有趣的例子,向我們揭示了可微與連續性的關係。

連續函數不一定可導,例如絕對值函數f(x)=|x|當X=0時是連續的,但在此點不可導。原因很簡單,它的左、右導數不相等。我們再進一步,看看可微與連續性又是何種關係?連續函數一定可微嗎?或者反過來,可微的函數一定是連續的嗎?

我的這本書是1980年出版的,書價才0.56元!此書當然絕版了。不過亞馬遜有新書,如下:

我在學校圖書館看過此書,很有意思,很讓人開竅。此書值得收藏,也許過了30年,成為書中珍品也是很難說的。


有一個人叫做汪林,人送外號反例狂魔。著有數學分析中的反例,實分析中的反例,泛函分析中的反例,拓撲空間中的反例等等


由尼爾斯·玻爾提出的構造原理(Aufbau principle)決定了原子、分子和離子中電子在各能級的排布。構造原理認為,電子是一個一個地填入各能級的,它們「先」填入較低的能級,較低能級填滿後才填入更高的能級。例如,3d是比4s更高的能級,釩(V)原子在基態的電子組態為[Ar]3d3 4s2(這裡姑且只討論電子組態中的加粗部分,下同)。電子「先」填滿了可容納2個電子的4s能級,剩餘的3個電子「再「填入更高的3d能級。

如果依此類推,那麼鉻(Cr)原子的基態電子組態就應為[Ar]3d4 4s2,但實際上,其電子組態為[Ar]3d5 4s1,其中較低的4s能級僅填充至半滿。這便是構造原理的一個典型的特例。在元素周期表中,這樣的例外還有一些,它們大部分可以被洪德規則(Hund"s rules)的一個推論解釋:當能級處於全空、半滿或全滿的狀態時,相應的電子組態更加穩定。Cr原子基態的電子排布使得3d(可容納10個電子)、4s兩個能級均為半滿狀態,增加了穩定性。

繼續依此類推,對於在元素周期表中位於Cr下方的鉬(Mo)元素,其原子的基態電子組態也為半滿的[Kr]4d5 5s1。然而,到了Mo下方的鎢(W)元素,情況再次發生變化,基態電子組態變為[Xe]4f14 5d4 6s2,洪德規則也出現了特例,回到了構造原理預言的情況。為了解釋這種「特例中的特例」,又有其他理論被提出,例如惰性電子對效應(Inert pair effect)等。

不過嚴格地說,上面提到的這些理論都不是定理(theorem)。因為定理需要被從邏輯上被證明,而作為自然科學,物理學和化學領域的大量理論、規律是難以證明的,故不成為定理。


請學習化學


除了2之外所有的質數都是奇數


洛必達定理 大部分情況可以用 只有極少的極限不可以用洛必達定理求


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