有哪些定理有特例？

就是那種大部分情況都符合這個定理

但就是有那麼一兩個或者幾個不符合的情況

我的書架上有一本書，書名是《分析中的反例》。

試看其中的幾個例子：

第一個例子（摘自第三章：微分法）：

第二個例子（摘自第九章 二元函數）：

有趣的例子，向我們揭示了可微與連續性的關係。

連續函數不一定可導，例如絕對值函數f(x)=|x|當X=0時是連續的，但在此點不可導。原因很簡單，它的左、右導數不相等。我們再進一步，看看可微與連續性又是何種關係？連續函數一定可微嗎？或者反過來，可微的函數一定是連續的嗎？

我的這本書是1980年出版的，書價才0.56元！此書當然絕版了。不過亞馬遜有新書，如下：

我在學校圖書館看過此書，很有意思，很讓人開竅。此書值得收藏，也許過了30年，成為書中珍品也是很難說的。

由尼爾斯·玻爾提出的構造原理(Aufbau principle)決定了原子、分子和離子中電子在各能級的排布。構造原理認為，電子是一個一個地填入各能級的，它們「先」填入較低的能級，較低能級填滿後才填入更高的能級。例如，3d是比4s更高的能級，釩(V)原子在基態的電子組態為[Ar]3d3 4s2（這裡姑且只討論電子組態中的加粗部分，下同）。電子「先」填滿了可容納2個電子的4s能級，剩餘的3個電子「再「填入更高的3d能級。

如果依此類推，那麼鉻(Cr)原子的基態電子組態就應為[Ar]3d4 4s2，但實際上，其電子組態為[Ar]3d5 4s1，其中較低的4s能級僅填充至半滿。這便是構造原理的一個典型的特例。在元素周期表中，這樣的例外還有一些，它們大部分可以被洪德規則(Hund"s rules)的一個推論解釋：當能級處於全空、半滿或全滿的狀態時，相應的電子組態更加穩定。Cr原子基態的電子排布使得3d（可容納10個電子）、4s兩個能級均為半滿狀態，增加了穩定性。

繼續依此類推，對於在元素周期表中位於Cr下方的鉬(Mo)元素，其原子的基態電子組態也為半滿的[Kr]4d5 5s1。然而，到了Mo下方的鎢(W)元素，情況再次發生變化，基態電子組態變為[Xe]4f14 5d4 6s2，洪德規則也出現了特例，回到了構造原理預言的情況。為了解釋這種「特例中的特例」，又有其他理論被提出，例如惰性電子對效應(Inert pair effect)等。

不過嚴格地說，上面提到的這些理論都不是定理(theorem)。因為定理需要被從邏輯上被證明，而作為自然科學，物理學和化學領域的大量理論、規律是難以證明的，故不成為定理。