有沒有一些名字看起來簡單奇葩內容卻十分高深的定理定律？

01-09

鏡像問題：有沒有一些名字看起來高深內容卻簡單或奇葩的定理定律？ http://www.zhihu.com/question/55309321

我就不提代數拓撲那些看著簡單／奇葩但實際上很深刻的結論（Jordan曲線定理，毛球定理，火腿三明治定理等）

我提一下：靈魂定理與靈魂猜想（好像是被佩雷爾曼證明了，不過與較弱的靈魂定理區分，姑且還叫靈魂猜想，內容並不簡單但是名字夠奇葩）

靈魂定理：完備連通非負截面曲率黎曼流形M存在一個全凸全測地的緊子流形S使得M微分同胚於S的法叢，S稱為M的靈魂。同一流形M的兩個靈魂是同構的。（我們關心的是M非緊的情況，緊的話直接取S=M）

靈魂猜想：若完備連通非緊非負截面曲率黎曼流形M存在一點的曲率是嚴格正的，那麼其「靈魂」為一點，即M微分同胚於歐式空間。

這個結論有一種和Cartan—Hadamard定理對偶的感覺，不過不同的是，Cartan—Hadamard定理中exp（x）：TxM—&>M的同胚是由指數映射明確給出的，但是靈魂猜想不能。然而這個結論還是令人震撼的。

本科生懂得少，瑟瑟發抖地回答一發。這些定理沒有名字，但是都是那種敘述起來感覺非常牛逼，但實際非常…

1. 如果一個離散群G自由且純不連續地作用在一個道路連通且基本群為當然群的拓撲空間X上，那麼X/G的基本群為G。

人話：單位圓環和單位球面在拓撲上是不一樣的。

2. 根據Mayer-Vietoris定理以及蛇引理，我們發現高維球面S^n的同調群鏈復形中整數群Z出現的位置取決於n。

人話：R^n和R^m在拓撲上是不一樣的。

至於代數上還沒見到過什麼in jargon感覺很厲害，本質非常弱智的定理。不過這拓撲上還真是這種東西的聚集地…

選擇公理（Axiom of Choice）

這是一個集合論中的十分冷僻的公理，屬於ZFC公理系統的一部分（就是其中那個大寫C）。在研究這個公理的過程中人們發現過很多和它等價的表述，如良序原理等等。不過它有個看起來很簡單的定義：

設有多個非空集合組成一個集合C，則可以：從C中的每個集合里取出一個元素，用每個取出的元素和其原來所在的集合配成有序對來組成一個新集合。

用現實生活來建模的話，這個公理說的就是：C集合是很多堆沙子，其中每堆至少有一粒，那麼我們就可以從每一堆里取出一粒沙子，用這粒沙子和它所屬的那一堆沙配成一對，再拿著這些配好的對來組成一個新集合。

看起來似乎內容和名字一樣簡單明了，不太符合問題要求對吧？

「一開始它（選擇公理）似乎是明了的，但你越思考它，得出的推論就越奇怪，最後你完全不明白它是什麼意思了。」——數學家羅素

就從沙堆模型開始思考吧。選擇公理對一堆有限多的沙子顯然成立，對兩堆有限多的沙子顯然成立……無論多少堆這樣的沙子，好像選擇公理都是顯然成立的。

那麼，如果集合C是無限堆沙子，每堆沙子最多有無限粒呢？看起來好像沒什麼問題，但是再仔細想想：真的可以從一堆無限粒的沙子里選出一粒嗎？也許直覺的回答是隨便選一粒，但是怎樣的方案才能叫從無限種選擇里隨便選一種呢？

無限沙堆模型中選擇公理的正確性其實仍然是可以闡述的，但已經難以依賴生活語言，需要藉助數學。由於沙粒是可數的（可以1粒、2粒、3粒這樣枚舉），即使無窮也是可數無窮，沙堆也是如此，所以我們可以將它用數學語言抽象為：C為所有非空整數集的集合。

對於這樣的C，可以定義：取其中任一集合中最靠近0的元素（對只有1個元素的集合取這個元素，對與0差值相等的正負兩個元素則統一取負或者統一取正）與其所在集合構成有序對，所有有序對組成一個新集合。即選擇公理成立。

再走一步呢？如果沙堆里的沙子是不可數無窮的，或者連沙堆本身也是不可數無窮堆的呢？比如：C為實數集的所有非空子集的集合。事實上，對這樣的C，選擇公理究竟正確與否，至今也不得而知。

由這個看似簡單卻十分深刻的公理，已經得出了很多怪異的結論。例如著名的分球悖論（Banach-Tarski Paradox），在該悖論情形下，可以將一個單位球分割成有限個（目前所知至少5個）點集，再對這些點集進行平移和旋轉，即可「拼裝」出兩個單位球。這一悖論看似違反質量守恆定律，但是實際上物理上不可實現，因為分割出的點集不是勒貝格可測的，換言之，分球所切出的碎片無法定義出物理上的「體積」，這種碎片在現實中是無法切割出來的。

而正是選擇公理允許了一個點集勒貝格不可測。如果否定選擇公理，那麼一切點集都將是勒貝格可測的，分球悖論也就不會出現。

總之，至今這仍是一條令人十分矛盾的公理，也絕不像乍看上去那樣簡單無害。越深入地思考、研究它，它就顯得越發深邃神秘。

不動點定理, 名字很簡單, 就是說有唯一點在某類變換下不會動, 大多是指壓縮變換

奇妙的是各領域都有自己的不動點定理, 像是機率測度啥的, 計算機科學的什麼迭代函數, 都有相應的不動點定理, Banach不動點定理, 可以用來證明微分方程有唯一解

名字之簡單, 用途之廣泛, 綜覽各種定理都很少見

顧及外行, 不搞論證, 就隨便說個大概

大數定律算嗎，毛球定理算嗎_(:з」∠)_

首先取個集合，再取一個二元運算（稱為乘法「 $imes$ 」）。好了，我們來填點配料就會發生大事:

加入封閉性+結合律，這個集合就變為半群；

半群+單位元，就變成了幺半群；

幺半群+元素可逆，就變成了群；

這個集合+另一個二元運算（稱為加法「 $+$ 」）+交換（對運算「+」來說）+結合律+分配律，就變成了環；

環+乘群，就變成了體；

體+交換，就變成了域......

and so on

集合、二元運算、單位元、結合律、交換律、分配律......這些運演算法則多麼簡單，基本上都是小學學過的，然而世界上有一批人竭盡全力把它們相互組在一起，產生了上面的概念，於是世界就變複雜了。

夾逼定理/夾逼準則

四色定理：

四個顏色便可用於世界地圖塗色（兩兩不相連）。

看上去很easy，不過到目前為止只有計算機證明，沒有嚴格數學證明。

哥尼斯堡七橋問題：

四個點，七座橋（有兩組之間存在兩個橋），如何一筆連線。

初等數學中這是競賽問題，在高等數學中典型的圖論，Eular解決了這個問題。

哥德巴赫猜想：

任意一個大於2的偶數都可寫成兩個素數之和。

（即1+1=2）

近300年仍未解決。形象的闡釋什麼叫大家挖坑，後輩灌水。

還有很多吧，Lipschitz條件，Osgood條件，Fermat大小定理等等。

拉格朗日方程

費馬大定理

人被殺，就會死

楞次定律算么。。。

薛定諤的喵（不知道算不算是定理/定律）

好吧，我推薦「摩爾定律」。。。。

夾逼準則

薛定諤的貓，外行看起來簡單，因為複雜了也看不懂

我怎麼就想不出這樣的問題/托腮

牛頓第二定理。

正能量定理

當然少不了夾逼定理啦