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數量經濟學特許金融分析師協會CFAInstitute 統計學線性回歸

自由度什麼時候等於 n-1 什麼時候等於 n-2？

01-09

df=n-1
df=n-2
一直不明白這玩意是啥

自由度等於樣本量減去模型中的參數個數， $df = n -p$ ，也就是說可以自由變化的樣本個數。

參數模型就是用不同的參數來對這個總體（population）進行描述。

模型一：用總體均值來描述這個隨機變數X所在的總體，只有一個參數。

總體均值未知時，我們用樣本均值 $ar{x}$ 估計 $mu$ 。我們從這個總體中抽取n個樣本，獲得 $ar{x}$ ，這個模型就建好了。這時候我們說想從這個總體中再取n個樣本，滿足這個模型，當取到n-1個樣本時，為了使樣本均值和之前建的模型相符合，第n個樣本不能隨意取了，而是通過 $nar{x} -sum_{i=1}^{n-1}{x_i}$ 唯一確定了。所以自由變化的樣本個數就是n-1。

模型二：一元線性回歸隨機誤差 $varepsilon_{i}= y_{i}-eta_{0}-eta_{1} x_{i}$ ，有兩個參數。

我們用OLS估計 $b_{1} b_{2}$ 來估計 $eta_{0} eta_{1}$ 。但這個估計有兩個限制方程，即

$sum_{i=1}^{n}{(y_i - b_0 - b_1 x_i)}= 0$

$sum_{i=1}^{n}{(y_i - b_0 - b_1 x_i)x_i}= 0$

所以當再次抽取n個樣本時，為了滿足這個模型，可以自用變化的樣本個數就只有n-2個。

自變數個數，一個是-1，兩個是-2。

這麼理解，當你求有一個自變數的統計量的方差時，如果你只得到兩個觀測值，又不知道總體的平均值，你只好用兩個觀測值的平均數作為總體的平均數，這種情況下兩個觀測值其實只能確定出一個樣本方差的觀測值，所以自由度只有1（1=2-1），以此類推。

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