一堆點都乘以同一個變換矩陣（4*4矩陣），這些點的相對位置會發生變化嗎？為什麼？求大神！?

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剛性變換（rigid transformation），即平移、旋轉、鏡射及它們的組合變換，把點變換後，點與點之間的距離維持不變。

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一般地，乘以矩陣相當於做了仿射變換，這些空間點會延矩陣各個特徵值的對應方向（即相應的特徵向量）產生一定程度（即特徵值大小）的拉伸和收縮。

當矩陣所有特徵值相同時，就是 @You XingJie提到的正交矩陣；當所有特徵值相同且均為1時，就是 @Milo Yip提到的剛性變換。此時點的相對位置保持不變。

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變換是一個函數，它把一個點（或向量）映射成另一個點（或向量）。

那麼變換可以大致劃分一下範圍：

變換 屬於線性變換 屬於仿射變換 屬於剛性變換

以下就是變換而不是線性變換。線性變換中，原來是直線的，在變換之後仍然保持直線。

我們可以用上圖表示一個變換或者用函數的形式：

Q=T(P)這是點的變換。而

v=R(u)是向量的變換。

上面對於變換的表述過於一般（適用於所有變換）以至於不是很有用。在計算機圖形學方面，如果運用這種變換的話。對一條線段的變換那就必須計算這個線段上所有點的變換，計算量太大，而且不實用。那麼另外一種計算變換的方式應運而生——那就是矩陣變換。在齊次坐標下的矩陣變換中，矩陣是4*4的。也就是題主說的那種格式。

這種矩陣變換是線性變換。

一個函數是線性變換，當且僅當對於任何標量和以及任何兩個頂點（或者向量）p和q，都有。線性函數的重要性在於：因為變換的線性組合等於線性組合的變換，所以只要知道p和q的變換就可以求出它們線性組合的變換，這樣就無須直接計算每個線性組合的變換了。

那麼什麼是仿射變換呢？

按照維基百科上的解釋

仿射變換，又稱仿射映射，是指在幾何中，一個向量空間進行一次線性變換並接上一個平移，變換為另一個向量空間。

這裡又提到了一次線性變換，不過這裡的線性變換姑且稱之為狹義的線性變換（就是不帶平移的線性變換）。

一個對向量平移，與旋轉放大縮小的仿射映射為

上式在齊次坐標上，等價於下面的式子

這裡的A矩陣就是說的狹義的線性變換，當y向量是0向量或0點時，A對這個向量或者點一點辦法也沒有，只有加上了b向量才更加自由。

也就是說，仿射變換中

對於點，4*4的變換矩陣只用到了12個，就是有12個自由度

對於向量，4*4的變換矩陣只用到了9個，就是有9個自由度

而對於廣義的線性變換，這個矩陣有12個自由度。

而對於題主說的相對位置不變，那就是剛性變換，當然會改變相對位置呀~

第一次作答，排版和表達不清見諒，說不明白的地方來諮詢。

參考資料：仿射變換

互動式計算機圖形學

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