橢圓曲線中的橢圓是什麼意思？

01-09

一直有疑問，在用橢圓曲線加密的演算法中，橢圓曲線為一個y^2 = P(x),其中P為一個關於x的三次無重根多項式。但是我查了很多資料一直都不知道和橢圓有什麼關係。或許從代數幾何的角度上有解釋？（知乎上已經有類似的問題但是卻沒有一個明確的解答）先謝謝大家了。
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PS ：在評論區看到rainbow zyop 的回答給出的鏈接，基本完美解答了這個問題，大家如果感興趣可以去看看！

謝邀，不過由於不是學數學的，所以也只能現學現賣。之前在密碼學的課里甚至沒有遇到過橢圓加密。一句話回答問題，橢圓曲線橢圓一詞來源於橢圓周長積分公式。周長公式在變換後可以得到 $y=sqrt{x^3+Ax+B}$ 這一項。至於周長公式是什麼，怎麼變換，表問我。我的微積分停留在大一第一學期。

不過隨便看了下發現橢圓曲線這東西到真的是漂亮，聯繫了代數幾何分析數論，基本上數學的所有領域。如果是x+y=z 那麼就是一條直線，如果是 $x^2+y^2=z^2$ 那就是圓錐曲線，如果是 $x^3+y^3=z^3$ 那就是橢圓曲線。接下來……這不就是費馬大定理么……我發現了一個極為漂亮的證明，但是知乎給的地方太小寫不下。

只是把維基百科照搬過來了，直觀的描述我做不到……希望能拋磚引玉。

Elliptic curve

In mathematics, an elliptic curve (EC) is a smooth, projectivealgebraic curve of genus one, on which there is a specified point O. An elliptic curve is in fact an abelian variety – that is, it has a multiplication defined algebraically, with respect to which it is a (necessarily commutative)group – and O serves as the identity element. Often the curve itself, without O specified, is called an elliptic curve.

謝邀。

這個題邀請我真是受寵若驚… 我雖然是寫了一定量的有關雙線性群（Bilinear Groups）的論文，且雙線性群的基礎就是橢圓曲線，但是我本身對橢圓曲線的內部構造並不是很了解的…

下面的兩個答案沒有答到點子上，今天準備一答，發現已經有正確答案了，Given by @Goliath Li 。在計算橢圓曲線周長時，需要用到橢圓積分，而橢圓曲線的函數 $y^2 = {x^3 + ax + b}$ 與橢圓積分的形式很相似，所以以此得名。當然了，橢圓周長的結果是一個比較漂亮的公式：如果橢圓表示為 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2}=1$ ，其中 $0 < frac{b}{a} < 1$ ，那麼橢圓的周長為 $L=2 pi b+4(a-b)$ 。

在補充一下橢圓積分。橢圓積分出現的原因是為計算橢圓的周長，換句話說是為了計算橢圓的弧長而來。現在，橢圓積分定義為 $[f(x) = int_c^x {R[t,P(t)]dt} ]$ 。其中，R是兩個參數的有理函數，P是一個無重根3或4階多項式的平方根，c是一個常數。我們可以看看，橢圓曲線右邊也是無重根3階多項式，不過橢圓積分右邊多了一個平方根要求。如果我們以此兩邊再平方呢？就變成左邊是類似f(x)^2，右邊是類似橢圓曲線的形式了。

看數學鏈條：

橢圓曲線——橢圓函數——橢圓積分——橢圓周長。

計算橢圓周長引出橢圓積分，第一類橢圓積分的反函數引出橢圓函數，橢圓函數可以參數化非奇異三次代數曲線，有理域上的非奇異三次代數曲線曰橢圓曲線。