比較優勢是否有嚴格數學表示以及存在性證明？

01-09

比較優勢的多數介紹都是舉例子，嚴格且一般(無限國家，無限種商品)化的數學表示很少看到，這個原理有嚴格的存在性證明嗎？有沒有不成立的情況？比如交易成本為0，交換後仍然出現負和？

先擺結論吧，這個結論可以嚴格證明，而且這項工作幾年前才做出來。我們可以把這個進展一步一步放在這裡。起點就是教科書上經常用的，兩個國家兩種商品一種要素的情形。一些邊角的擴展沒有涉及，比如動態比較優勢（Redding, 1999）。這些部分期待更專業的來整理。

首先是推廣到兩個國家許多種商品加一種要素的情形，這個的證法和2+2+1的情形是完全一樣的，只是把證明過程用矩陣重新寫了一遍而已。很多本科的國際貿易課都會講這種情形，我自己最推薦的是Helpman 2530a的課件，講得非常清楚。另外還要說一點，每個國家至少不會在貿易中受損這一點其實不需要引入比較優勢，只需要凸的偏好+凸的科技+完全競爭+代表性個體就可以直接證。Helpman的課件有證明，而且很簡單。這個結論在更複雜的情況下也可以證（Eaton and Kortum, 2002; Arkolakis, Demidova, Klenow and Rodriguez-Clare, 2008)。如果偏好嚴格凸或者生產集嚴格凸，嚴格受益就可以證。假定的前兩個很難放鬆，非凸性不是經濟學家的套路。後兩點可以放鬆，不過模型相對來說就要難很多了。如果想拿掉完全競爭，基本就是規模報酬遞增+壟斷競爭的處理方法（Krugman，1990）；如果想引入企業或者消費者的異質性，用H-O設定的比較多，比較優勢只在企業層面上發揮作用（Bernard, Redding and Schott，2004）。同時放鬆兩者的就是Melitz的經典文章了（Melitz，2003）。也有用比較優勢的思路+Melitz的框架來處理貿易問題的，得到的結論和原始的比較優勢模型是一致的（Okubo，2009）。

進一步的推廣是DFS模型，這個模型的設定就是李嘉圖的比較優勢，進一步推廣到了兩個國家連續統商品加一種要素的情形（Dornbusch, Fischer and Samuelson, 1977）。結論非常直觀，和2+2+1的模型是一樣的。如果有一段商品被生產，那麼中間會有一個cutoff，兩個國家各自專業化生產一邊。在初始模型有的結論這裡基本都有，比如說某些個體可能在貿易中受損，存在一個總轉移支付使得每個人都變好，等等。這個模型的求解和原始形式很像，求解用的方法也是一樣的，供需平衡+貿易平衡，而且可以做很多方面的拓展，比如存在非貿易品，存在冰山成本，有關稅，有浮動/固定匯率制度等。出來的結果也很簡單直觀，如果存在冰山成本，用DFS模型做出來cutoff不再是一個點而是一整段。因為有這些優點，後面的很多理論/實證文獻都很喜歡拿DFS當起點，強烈建議看原文，技術性不算特彆強。

再往前就直接到頭了，邁出這一步的是國際貿易領域的新晉大牛Costinot。其實在中間有一些程度不等的推廣，也有人用一些比較強的函數形式討論了更一般的貿易情形（Ruffin,1988; Ohnsorge and Trefler, 2004; Helpman Melitz and Yeaple, 2004），但Costinot的工作是基本把比較優勢的工作一網打盡了。他在許多國家+許多產品+許多要素的模型中作出了一致的結論（Costinot, 2009)。他最天才的想法，是把以前只在博弈論和理論計量裡面使用的技術對數超模函數（log-supermodularity）引入了國際貿易中。對數超模函數的準確定義是：如果一個函數 $g ightarrow R^{+}$ 滿足對 $forall x,x^{$ ，滿足 $g(max(x,x^{$ ，那這個函數就是對數超模的。對數超模函數的強有力體現在兩方面。首先，直觀上，它特別好地反映了這樣的想法：如果一個函數裡面有幾個變數的值都已經比較大，那麼這時候提升其它變數的值會相對來說更重要。為了明白這一點，可以取一個二元的對數超模函數 $g:X_{1} imes X_{2} ightarrow R^{+}$ ，對 $forall x_{1}^{$ ，沿用前面的記號，馬上得到 $frac{g(x_{1}^{$ 。這個形式實際上就是李嘉圖模型和HO模型裡面稟賦的表達式的一般化，和Milgrom引入的MLRP條件是一致的（Milgrom, 1981）。其次，對數超模函數對於乘法封閉。如果一個對數超模函數 $g$ 是可積的，那麼對於任意一個定義在 $X_{i}$ 上的有限 $sigma$ 測度， $int_{X_{i} } g(x)dmu _{i} (x_{i} )$ 也是對數超模的。這意味著可以很方便地對這一類函數取概率。後面的討論比較技術，但主要就是不停地利用這些性質，結論和李嘉圖的也是一致的：一類要素比較豐裕的會專門生產此要素密集的產品，每個國家都會從貿易中受益。嚴格的敘述請參見原文。

最後，Costinot還基於比較優勢理論做了很多拓展和實證的工作（Costinot, Donaldson and Komunjer, 2011; Costinot and Donaldson, 2012; Costinot, Donaldson and Smith, forthcoming ) 。其中像最後這篇就特別有意思！以後再討論比較優勢，他的名字絕對避不開了。

參考文獻

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Redding S. Dynamic comparative advantage and the welfare effects of trade[J]. Oxford economic papers, 1999, 51(1): 15-39.

Ruffin R J. The missing link: The Ricardian approach to the factor endowments theory of trade[J]. The American Economic Review, 1988: 759-772.

Helpman的課件需要的話可以私信戳我，引用內容主要在lecture1的後半部分和lecture2。