經濟學理論模型在設計函數形式時應該注意哪些問題？

舉個例子，一個生產函數寫成不限範圍，會不會很古怪或者錯誤？（α、β在推導時兩者之和小於等於1才滿足條件，算是模型的一個小推論）。

謝謝 @白小經 的邀請。

經濟學的的函數形式，以及函數性質，剛剛讀文獻的時候都會覺得很神秘，我也覺得——怎麼他們就知道把函數設置成這個樣子呢？

後來多看文獻，自己也寫了一些，溫水煮青蛙被煮熟了，倒也不覺其異。其實主要是就是兩點：

• 現實中的原因，如果隨便代入幾個數字進去就有一個荒謬的結果，那是會被人攻擊的，所以至少要有一部分是貼合現實，這個函數性質的方方面面，在你所研究的這個問題上「看上去像那麼回事」。
• 數學上的原因，一般這個稱之為技術假設，目的是為了讓模型能夠被算出來。能算出來解析解當然最好，實在不行也要能描述出幾個特性出來。

就拿你舉的例子來說： 來說，如果這是一個利潤函數，裡面的x y z應該都是某種輸入，p是價格，然後f是個凈產出。如果你把其中一個參數，比如 設定成大於1的，當然不是不可以，但是這意味著函數是x的凸函數，二階導數大於0.。對x的投入越多越好，比如你往一群程序猿中間投一個妹子做鼓勵師，效率加成為10%，投兩個可能加成是30%，投三個加成為80%，投N個… 什麼Windows， OSX都是一天寫完加調試加debug^_^ 在很小的規模內或許是可行的，但是這個邊際生產率遞增，顯然和我們在現實中的觀察不一致的。

數學上說，一個凸函數，只有極小值，沒有極大值，而經濟學的收益最大化需要我們求極大值，怎麼求呢？這個時候問題就變得很沒趣，只要我們不斷的投入x，這個函數給我們創造的產出會越來越多，根本不存在一個最優的組合。這個數學上沒有問題，就說到無窮遠就好了，但是這個問題有什麼意義呢？最後得出的結論就是企業應該不斷的擴大擴大x的投入，然後生產出無窮多的產品。

除非x的價格可變，也是買越多，價格越貴，比如說, 這樣的話，函數又凹回去了, 又可以求最大值了。

有些套路是約定俗成的，當大家都知道怎麼回事的時候，用起來幾乎不需要解釋，不需要刻意的justify，所以越來越多的人會採用相似的設定。比如你例子中的柯布-道格拉斯函數就是一例，審稿人除非有特別的理由，一般不會去質疑你為什麼用這個形式。再比如當effort是線性的時候，effort成本往往就設成二次方，這樣求導的時候，正好能得出一個漂亮的解析解... 這都是很直觀的技術假設。

再舉一個稍微複雜一點的例子：

委託代理問題經常會要求 Inverse Hazard Rate 隨著代理人的類型單調。開始接觸的時候可能會覺得不知所以，但是如果你真的去解那個動態優化問題，就會發現如果這個東西不單調，就無法保證代理人的產出隨著代理人類型的不同而單調變化，從而無法保證你求的解是全局最優的。有兩種可能，第一你可能需要分情況討論不單調的時候是什麼產出水平（Bunching），這樣還算好的，因為只是麻煩了一點，還能得出有意義的結論；第二就是可能會導致整個模型不tractable，得不出一個漂亮的結論來說些什麼，那麼這個時候建模的意義又何在呢？

一切都是套路，多看看就好了，看得多了，自己也就有自己的套路了。

1. 看上去像真的，或者看上去像文獻

第二點有時候比第一點重要，視人而定