大家看看有道理沒：為什麼說小圓也是球面上的直線？

01-09

為什麼說球面上的小圓也是球面上的直線？
在球面幾何中，令點的坐標（α，β）表示經度和緯度。
容易知道通過原點的球面直線（大圓）的方程為
tanβ = k*sinα (1)
其中k 等於球面直線與赤道球面角的正切值（斜率）。

設球的半徑為R，設β=y/R，設α=x/R，則（1）式可以轉變為
tan(y/R) = k*sin(x/R) (2)
當球的半徑趨於無限大時，可以視（2）式為
y/R= k*x/R
也就是
y= k*x （3）
顯然（3）式為平面直線方程。也就是說，當球的半徑趨於無限大時，球面直線方程便趨於平面直線方程了。所以，可以認為大圓是球面上的直線。
容易知道，赤道的直線方程為
tan(y/R) = 0 (4)
當R趨於無限大時，（4）式可變為

y/R= 0
也就是
y=0
這就是與x軸重合的平面直線方程了。
那麼緯線呢？緯線的方程為
tan(y/R) = C/R (5)
其中C/R是不為零的常數。
當球的半徑趨於無限大時，（5）式可以轉變為
y/R = C/R
也就是

y = C (6)
（6）式顯然就是平行於x軸的平面直線方程了。所以可以認為小圓是球面直線。
結論，因為當球的直徑趨於無限大時，無論是大圓還是小圓都趨於直線，所以，在球面上無論是大圓還是小圓都是球面上的直線。

是是是，有道理，題主趕緊去發表論文吧，知網和Google Scholar上希望早日出現您的大作。

難道

大家都沒有發現

題主的這個球

沒有z坐標嗎

題主重新定義了球

還重新定義了經緯度

順帶著重新定義了測地線

題主答應我

拿到菲爾茲獎給我簽名

好嗎

也就是說，當球的半徑趨於無限大時，球面直線方程便趨於平面直線方程了。所以，可以認為大圓是球面上的直線。

再回答題主一次，說大圓是球面上的圓，並不是因為放大半徑的近似。

而是局部短程性。

更嚴格的叫法是測地線。

確切地講，球面上本來就沒有直線，說大圓是直線，只是一種為了方便的名稱濫用而已。

你有本事不拐彎沿著小圓走一圈啊？走不直說什麼直線？

為什麼說球面上的小圓也是球面上的直線？

在球面幾何中，令點的坐標（α，β）表示經度和緯度。

容易知道通過原點的球面直線（大圓）的方程為

tanβ = k*sinα (1)

其中k 等於球面直線與赤道球面角的正切值（斜率）。

設球的半徑為R，設β=y/R，設α=x/R，則（1）式可以轉變為

tan(y/R) = k*sin(x/R) (2)

當球的半徑趨於無限大時，可以視（2）式為

y/R= k*x/R

也就是

y= k*x （3）

顯然（3）式為平面直線方程。也就是說，當球的半徑趨於無限大時，球面直線方程便趨於平面直線方程了。所以，可以認為大圓是球面上的直線。

容易知道，赤道的直線方程為

tan(y/R) = 0 (4)

當R趨於無限大時，（4）式可變為

y/R= 0

也就是

y=0

這就是與x軸重合的平面直線方程了。

那麼緯線呢？緯線的方程為

tan(y/R) = C/R (5)

其中C/R是不為零的常數。

當球的半徑趨於無限大時，（5）式可以轉變為

y/R = C/R

也就是

y = C (6)

（6）式顯然就是平行於x軸的平面直線方程了。所以可以認為小圓是球面直線。

結論，因為當球的直徑趨於無限大時，無論是大圓還是小圓都趨於直線，所以，在球面上無論是大圓還是小圓都是球面上的直線。

思而不學則殆，這話送給題主。

那豈不是r無窮大的球上任意兩點距離最短的線有無數條了？

ps:看了題主以前許多問答，我覺得題主要明確兩個問題:1為什麼別人把大圓叫球面直線。2您所說的直線具備什麼條件。

麻煩題主複習射影幾何。

果斷無視民科

這一步有問題：

設球的半徑為R，設β=y/R，設α=x/R，則（1）式可以轉變為
tan(y/R) = k*sin(x/R) (2)
當球的半徑趨於無限大時，可以視（2）式為
y/R= k*x/R

R趨於無限大，y/R和x/R實際上還是β和α，所以沒有趨於0，所以不能近似sinx ~ x ~ tanx。