積分中值定理有什麼應用？

01-09

大一數學分析課上，我們學過積分中值定理
積分第一中值定理 設 $f, gin R[a,b], m=inf_{xin[a, b]}f(x), M=sup_{xin[a, b]}f(x)$ . 如果函數 $g$ 在區間 $[a,b]$ 上非負(或非正), 則
$[int_a^b (fg)(x) extrm{d}x=mu int_a^b g(x) extrm{d}x]$

其中 $muin [m,M]$
積分第二中值定理(Bonnet公式) 如果 $f, gin R[a,b]$ , 而 $g$ 在 $[a,b]$ 上單調，則存在點 $xiin [a,b]$ , 使
$int_a^b (fg)(x) extrm{d}x=g(a)int_a^{xi}f(x) extrm{d}x+g(b)int_{xi}^bf(x) extrm{d}x$
但這兩個公式給我的感覺是，學過之後就被束之高閣了，以後再也沒有見到用到過.
我的問題是，這兩個公式在數學領域有什麼好玩的應用嗎？在物理領域有什麼好玩的應用嗎？在化學領域有什麼好玩的應用嗎？在生物領域有什麼不好玩的應用嗎？在人民的生產和生活中有什麼好玩的應用嗎？甚至一些競賽習題用到它也可拿來分享可供玩味。

簡單說幾個在數學上的應用吧。

1 積分第一中值定理

1.1 積分的估計

例如，求 $lim_{n ightarrow infty} int_0^1 frac{x^n}{1+x} mathrm{d}x$ .

解由積分第一中值定理， $int_0^1 frac{x^n}{1+x} mathrm{d}x=frac{1}{1+xi} int_0^1 x^n mathrm{d}x = frac{1}{1+xi} cdot frac{1}{1+n},quad xi in (0,1).$

故 $lim_{n ightarrow infty} int_0^1 frac{x^n}{1+x} mathrm{d}x=0.$

1.2 推導過程中用到

例如，設 $f in Cleft[ 0,2pi ight],$ 證明：

$lim_{n ightarrow infty} int_0^{2pi} f(x)|sin nx| mathrm{d}x=frac{2}{pi} int_0^{2pi}f(x) mathrm{d} x.$

證明

$egin{equation} egin{split} int_0^{2pi} f(x) |sin nx| mathrm{d}x =sum_{k=1}^{n} int_{ frac{2(k-1)pi}{n}} ^{frac{2kpi}{n}} f(x)|sin nx| mathrm{d}x \ =sum_{k=1}^{n} f(xi_k)int_{ frac{2(k-1)pi}{n}} ^{frac{2kpi}{n}} |sin nx| mathrm{d}x \ =frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} f(xi_k)int_{2(k-1)pi } ^{2kpi} |sin x| mathrm{d}x \ =frac{4}{n} sum_{k=1}^{n} f(xi_k)int_{ 0} ^{frac{pi}{2}} sin x mathrm{d}x \ = frac{2}{pi} sum_{k=1}^{n} f(xi_k)frac{2pi}{n}. end{split} end{equation}$

取極限即得 $lim_{n ightarrow infty} int_0^{2pi} f(x)|sin nx| mathrm{d}x=frac{2}{pi} int_0^{2pi}f(x) mathrm{d} x. quad square$

2 積分第二中值定理

2.1 積分的估計

與積分第一中值定理類似，積分第二中值定理同樣可以用來估計積分。

例如，證明： $lim_{n ightarrow infty} int_n^{n+p} frac{sin x}{x} mathrm{d}x =0.quad forall pin mathbb{N}.$

證明由積分第二中值定理， $left| int_n^{n+p} frac{sin x}{x} mathrm{d}x ight| =frac{1}{n} left| int_n^xi sin x mathrm{d}x ight| leq frac{2}{n} ightarrow 0,(n ightarrow infty). quad forall pin mathbb{N}.$

其中 $xi in [n,n+p].$

因此 $lim_{n ightarrow infty} int_n^{n+p} frac{sin x}{x} mathrm{d}x =0.quad forall pin mathbb{N}. quad square$

2.2 反常積分的 $mathrm{Dirichlet}$ 和 $mathrm{Abel}$ 判別法

反常積分的 $mathrm{Dirichlet}$ 和 $mathrm{Abel}$ 判別法的證明都是用的第二積分中值定理和 $mathrm{Cauchy}$ 收斂原理，這也算是積分第二中值定理的應用。

暫時想到這些，歡迎補充討論 :）

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2016-09-26 更

上述 1.2 的條件可以減弱為 $f(x)$ 在 $[0,2pi]$ 上 Riemann 可積，結論同樣成立。即

設 $f(x)$ 在 $[0,2pi]$ 上 Riemann 可積，則 $lim_{n ightarrow infty} int_0^{2pi} f(x)|sin nx| mathrm{d}x=frac{2}{pi} int_0^{2pi}f(x) mathrm{d} x.$

證明設 $m_k=inf_{xin left[frac{2(k-1)pi}{n}, frac{2kpi}{n} ight]} f(x),quad M_k=sup_{xin left[frac{2(k-1)pi}{n}, frac{2kpi}{n} ight]} f(x),quad k=1,2,cdots,n.$

則

$frac{4}{n} m_k = m_k int_{frac{2(k-1)pi}{n} }^{frac{2kpi}{n}} left| sin nx ight| mathrm{d}xleq int_{frac{2(k-1)pi}{n} }^{frac{2kpi}{n}} f(x) left| sin nx ight| mathrm{d}x leq M_k int_{frac{2(k-1)pi}{n} }^{frac{2kpi}{n}} left| sin nx ight| mathrm{d}x = frac{4}{n} M_k.$

又

$int_0^{2pi} f(x) |sin nx| mathrm{d}x =sum_{k=1}^{n} int_{ frac{2(k-1)pi}{n}} ^{frac{2kpi}{n}} f(x)|sin nx| mathrm{d}x,$

故

$frac{2}{pi} sum_{k=1}^{n}m_k frac{2pi}{n} leq int_0^{2pi} f(x) |sin nx| mathrm{d}x leq frac{2}{pi} sum_{k=1}^{n}M_k frac{2pi}{n}.$

又 $f(x)$ 在 $[0,2pi]$ Riemann 可積，故

$lim_{n o infty} frac{2}{pi} sum_{k=1}^{n}m_k frac{2pi}{n} =frac{2}{pi} int_{0}^{2pi}f(x) mathrm{d}x = lim_{n o infty} frac{2}{pi} sum_{k=1}^{n}M_k frac{2pi}{n}.$

對上述不等式取 $n o infty$ 的極限即得

$lim_{n ightarrow infty} int_0^{2pi} f(x)|sin nx| mathrm{d}x=frac{2}{pi} int_0^{2pi}f(x) mathrm{d} x.quad square$